Линейное пространство

Вид материала

Документы

Содержание Замена базиса и системы координат V на себя реализуется как переход от одного базиса к другому, т.е. если в V

Подобный материал:

• Некорректные задачи геофизики. План лекций. Лекция I. Функциональные пространства., 64.34kb.
• Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется, 595.48kb.
• Введение в линейное программирование линейное программирование (ЛП), 139.72kb.
• Морозова Алена Витальевна. Требования к студентам : курс предполагает наличие знаний, 262.09kb.
• Линейное программирование, 346.17kb.
• Программа дисциплины Линейное программирование Семестр, 17.93kb.
• Программа вступительного экзамена по специальности в магистратуру физического факультета, 209.43kb.
• Деловая программа Девиз «Пространство культуры пространство доверия» Павильон, 75.38kb.
• Реферат по дисциплине: Философия на тему: Время и пространство в философии, 382.06kb.
• Пространство и материя, 398.24kb.

Полуплоскость

Далее для удобства будем использовать обозначение F(x,y) ≡ Ax + By + C.

Определение. Две различные точки плоскости M₀ и M₁ называются неразделёнными этой прямой, еcли отрезок [M₀;M₁] (т.е. множество всех точек M прямой M₀M , для которых равенство M₀M = t⋅M₀M₁ достигается при t ∈ [0;1] ) не имеет общих точек с этой прямой.

Предложение. Точки M₁(x₁;y₁), M₂(x₂;y₂) не разделяются прямой

F(x,y) = 0 ⇔ F(x₁,y₁)⋅F(x₂,y₂) > 0.

Замечание. Поскольку точки не лежат на прямой, F(x₁,y₁)⋅F(x₂,y₂) ≠ 0.

Доказательство. Точка пересечения прямых M₁M₂ и F(x,y) = 0 отыскивается из уравнения F((1 – t)⋅x₁ + t⋅x₂ ; (1 – t)⋅y₁ + t⋅y₂) ≡ (1 – t)⋅F(x₁,y₁) + t⋅F(x₂,y₂) ≡ F(x₁,y₁) + t⋅(F(x₂,y₂) – F(x₁,y₁)) = 0, так что точки разделены тогда и только тогда, когда

F(x₁,y₁) ≠ F(x₂,y₂) и 0 < t = F(x₁,y₁) / (F(x₁,y₁) – F(x₂,y₂)) < 1. Правая часть неравенства есть F(x₂,y₂) / (F(x₁,y₁) – F(x₂,y₂)) < 0. Следовательно, в случае, когда точки разделены, числа F(x₁,y₁) и F(x₂,y₂) имеют разные знаки.

^

Замена базиса и системы координат

Краткие сведения из алгебры.

Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из элементов (чисел, матриц, векторов и т.д.) aⁱ_j (i – номер строки, j – номер столбца)

a11

a12

a1n

a1

a21

a22

a2n

a2

a1

a2

an

am1

am2

amn

am

Матрица размера m×n Матрица - строка Матрица - столбец


Если элементы матрицы – вещественные числа, то её строки (столбцы) есть элементы Rⁿ (R^m ) и можно говорить о линейной зависимости (независимости) строк (столбцов). Более того, определив для матриц (одинаковой размерности) операции покомпонентного сложения и умножения на числа, мы превратим множество матриц одинаковой размерности в линейное пространство, лишь способом записи элементов отличающееся от Rⁿ . Та роль, которую матрицы играют в математике, проистекает из того, что для некоторых матриц определена ещё одна алгебраическая операция – умножение, и использование свойств этой операции берёт на себя ряд трудоёмких вычислительных процедур.


A × B = C , где сⁱ_j = aⁱ_k · b^k_j (суммирование по k от 1 до n)

m×n n×p m×p i = 1,...,m; j = 1,...,p


Эта операция ассоциативна (AB)C = A(BC). Действительно,

Матрица (AB)C имеет элементы (aⁱ_kb^k_l)c^l_j, а матрица A(BC) – элементы aⁱ_k (b^k_lc^l_j). Меняем местами порядок суммирования, отчего сумма не меняется.

Важный частный получается, когда рассматриваются квадратные матрицы n×n. Любые такие матрицы можно перемножать, получая снова такого же размера матрицы. Единицей умножения является матрица

	1	0	…	0
	0	1	…	0
E =	…	…	…	…
	…	…	…	…
	0	0	…	1

(других единиц нет), а дистрибутивность и однородность умножения (т.е. равенства A(B + C) = AB +AC и k(AB) = (kA)B = A(kB), справедливые для любых k ∈ R и матриц A, B) проверяются тривиально.

Поэтому множество квадратных матриц фиксированного размера является алгеброй (над полем R). Надо отметить, что умножение матриц некоммутативно: для многих матриц AB ≠ BA.

Важнейший вопрос во всякой алгебре – существование обратного элемента A^-1, т.е. такой матрицы, для которой A^-1A = E (⇒ AA^-1 = E). В отличие от поля действительных чисел, такой элемент для матриц существует далеко не всегда. В случае, когда существует, матрица называется обратимой. Обратная матрица A^-1 – единственна. Все обратимые матрицы образуют группу по умножению.

Очень важно уметь проверять обратимость. Обратимость, как нетрудно видеть, равносильна тому, что столбцы (строки) линейно независимы (как элементы линейного пространства Rⁿ). По-другому эта задача может быть решена при помощи следующего очень важного понятия.

Каждой квадратной матрице A ставится в соответствие по определённому правилу некоторое вещественное число, называемое её определителем и обозначаемое detA. Таким образом, на множестве матриц определена некоторая числовая функция

A → detA ∈ R .


Не будем сейчас подробно обсуждать свойства этой функции (это будет сделано в курсе алгебры). Отметим лишь, что она является многочленом от элементов матрицы, det (AB) = det A ∙ det B и det E = 1, откуда вытекает, что det A^-1 = 1 / det A, т.е. необходимым условием обратимости является условие невырожденности detA ≠ 0. Оно оказывается и достаточным. Это будет доказано в курсе алгебры.


Перейдём теперь к геометрии. Пусть в n-мерном линеале V имеются 2 базиса

e₁, …, e_n и f₁, …, f_n. Разложим векторы второго базиса по первому:

f_j = aⁱ_j ∙ e_i (j = 1…n). Составим из чисел aⁱ_j квадратную матрицу A размера n×n (она называется матрицей перехода от e к f; её столбцы состоят из координат второго базиса в первом), а векторы базисов объединим в строки.

e = (e₁…e_n) и f = (f₁…f_n) – это матрицы-строки, составленные из векторов.

Формулы перехода можно записать компактно, в виде матричного равенства:

f = e ∙ A. Но компактная запись – ещё не аргумент в пользу введения матриц. Преимущества начнут проявляться очень скоро. Пусть у нас есть третий базис g = (g₁, …, g_n) , и B – матрица перехода от f к g. Тогда

g = f ∙ B = (e ∙ A) ∙ B = e ∙ (AB), так что матрица перехода от e к g есть произведение матрицы перехода от e к f и матрицы перехода от f к g. Далее, если в качестве e взять g, то получится AB = E, т.е. всякая матрица перехода обратима и обратной к ней является матрица перехода от второго базиса к первому.

Заметим, также, что вообще любая невырожденная квадратная матрица является матрицей перехода от одного базиса к другому. Выбираем произвольным образом исходный базис e₁,…e_n. Тогда система векторов f₁,…f_n, где f = e ∙ A также образует базис (ибо столбцы линейно независимы, так что g₁, …, g_n линейно независимы).

Вспомним теперь, что всякий изоморфизм линеала ^ V на себя реализуется как переход от одного базиса к другому, т.е. если в V зафиксирован базис e, то задать изоморфизм Φ – это всё равно, что указать новый базис f.

Φ Ψ

V —————→ V, V —————→ V

e A_Φ f e A_Ψ g


Возникает матрица перехода A_Φ от e к f, f = eA_Φ. Другой изоморфизм Ψ порождается некоторым базисом g, ему отвечает матрица A_Ψ перехода от e к g, g = eA_Ψ . Выясним, какая матрица отвечает композиции изоморфизмов Ψ◦Φ. Надо посмотреть, во что переходит базис e под действием отображения Ψ◦Φ :


(Ψ◦Φ)(e) = Ψ(f) = Ψ(eA_Φ) = Ψ(e)A_Φ = gA_Φ = (eA_Ψ)A_Φ = e(A_ΨA_Φ).


Итак, если изоморфизму Φ отвечает матрица A_Φ , а изоморфизму Ψ – матрица A_Ψ, то композиции Ψ◦Φ отвечает произведение матриц A_ΨA_Φ. Обратному изоморфизму Φ^-1 отвечает A_Φ^-1. Поэтому группа автоморфизмов линеала V может быть отождествлена с группой невырожденных матриц n×n. Это отождествление связано с выбором базиса e в V.

Пусть теперь имеем произвольный вектор x ∈ V. Разложим его по базису e₁,…e_n, а затем по базису f₁,…f_n. Как связаны координаты одного и того же вектора в разных базисах?

Имеем x = xⁱe_i = x´ⁱf_i. Если составить из координат вектора x матрицы-столбцы x = (x¹, . . ., xⁿ)^T , x´ = (x´¹, . . ., x´ⁿ)^T, то можно записать, что x = e∙x = f∙x´ = (e ∙ A) ∙x´= e ∙ (A ∙x´) ⇒ x = A ∙x´, т.е. та же матрица A описывает переход от новых координат к старым. Но стоит она слева.

Преобразование координат точек в аффинном пространстве при переходе от одной аффинной системы координат к другой связано лишь с одним дополнительным фактором – изменением положения начала отсчёта.

Пусть имеются две координатные системы Oe₁…e_n и O´e´₁…e´_n , xⁱ (x´ⁱ) – координаты вектора OM (O´M) в базисе e₁,…e_n (e´₁,…e´_n). Записывая векторное равенство OM = OO´ + O´M в координатах в базисе e₁,…e_n , получим xⁱ = bⁱ + c_jⁱx´^j (i = 1, …, n) или, в матричной форме, x = b + C∙x´. Здесь b есть столбец координат нового начала координат O´ в старой системе координат Oe₁…e_n , а C есть матрица перехода от базиса e₁,…e_n к базису e´₁,…e´_n.