Линейное пространство

Вид материала

Документы

Содержание Уравнения прямой Уравнение пучка прямых

Подобный материал:

• Некорректные задачи геофизики. План лекций. Лекция I. Функциональные пространства., 64.34kb.
• Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется, 595.48kb.
• Введение в линейное программирование линейное программирование (ЛП), 139.72kb.
• Морозова Алена Витальевна. Требования к студентам : курс предполагает наличие знаний, 262.09kb.
• Линейное программирование, 346.17kb.
• Программа дисциплины Линейное программирование Семестр, 17.93kb.
• Программа вступительного экзамена по специальности в магистратуру физического факультета, 209.43kb.
• Деловая программа Девиз «Пространство культуры пространство доверия» Павильон, 75.38kb.
• Реферат по дисциплине: Философия на тему: Время и пространство в философии, 382.06kb.
• Пространство и материя, 398.24kb.

^

Уравнения прямой

Если в A выбрана точка O – начало отсчёта, то, поскольку M₀M = OM – OM₀ = r – r₀, получаем векторное параметрическое уравнение прямой r = r₀ + ta (-∞ < t < +∞ ).

Прямая, проходящая через 2 разные точки M₀ и M₁ , имеет параметрическое уравнение r = r₀ + t(r – r₀), или r = (1 – t)r₀ + tr₁ (-∞ < t < +∞ )

При наличии в A аффинной координатной системы Oe₁…e _n можем записать эти уравнения в координатной форме : xⁱ = xⁱ₀ + taⁱ, или xⁱ = (1 – t)xⁱ₀ + txⁱ₁ (i = 1…n; -∞ < t < +∞). Здесь xⁱ (xⁱ₀) – координаты точки M (M₀) прямой в заданной системе, т.е. координаты радиус-вектора r (r₀) в базисе e₁,…,e_n ; aⁱ – координаты вектора a .

В случае плоскости (n = 2) имеем x = x₀ + tl, y = y₀ + tm (здесь M₀(x₀;y₀), a (l,m)).

Эти параметрические уравнения равносильны одному уравнению l(y – y₀) – m(x – x₀) = 0 (если, например, l  0, то t = (x – x₀) / l, а если m  0, то t = (y – y₀) / m). Условимся последнее уравнение записывать в виде (x – x₀) / l = (y – y₀) / m. При l = 0 (m ≠ 0) запись означает, что x = x₀, а при m = 0 (l ≠ 0), что y = y₀. Это – каноническое уравнение прямой, заданное точкой M₀(x₀;y₀) и вектором a. Если прямая проводится через точки M₀ M₁ ,то каноническое уравнение примет вид :

(x – x₀) / (x₁ – x₀) = (y – y₀) / y₁ – y₀)

Для придания большей симметрии записи l∙(y – y₀) – m∙(x – x₀) = 0 обозначим B = l , A = – m: A∙(x – x₀) + B∙(y – y₀) = 0, а если ещё ввести обозначение C = – Ax₀ – By₀, то получим Ax + By + C = 0 (|A| + |B| ≠ 0).

Нас интересует соответствие между прямыми на аффинной плоскости, на которой задана аффинная система координат Oe₁e₂, и линейными уравнениями вида Ax + By + C = 0 (|A| + |B| ≠ 0). Мы видим, что каждая прямая является решением уравнения такого вида, т.е. точка с координатами (x;y)  прямой тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению. Наоборот, если есть такое уравнение, в котором, например, A ≠ 0, то возьмём точку M₀ (– C/A;0) и проведём через неё прямую параллельно вектору a(B;–A). Она будет решением этого уравнения. Будет ли рассматриваемое соответствие взаимно однозначным? Покажем, что различные (непропорциональные) уравнения не могут задавать одну и ту же прямую. Пусть уравнения A_ix + B_iy + C_i = 0 (|A_i| + |B_i| ≠ 0, i = 0;1) различны. Значит, либо A₀ / A₁ ≠ B₀ / B₁ , либо A₀ / A₁ = B₀ / B₁ ≠ С₀ / С₁ (если A₀ / A₁ = B₀ / B₁ = С₀ / С₁, то уравнения совпадают).


Замечание. Соотношения вида A₀ / A₁ = B₀ / B₁ рассматривается не как равенство чисел, а как пропорция. Это подразумевает, что существует ρ ≠ 0 : A₀ = ρA₁, B₀ = ρB₁. Не исключён и случай, когда один и только один из знаменателей равен 0. Тогда соответствующий числитель тоже равен 0.


В первом случае (прямые не параллельны, т.е. направляющие векторы не коллинеарны) у двух уравнений есть лишь одно общее решение (прямые имеют лишь одну общую точку) x₀ = (B₀C₁ – C₀B₁) / (A₀B₁ – A₁B₀) ,

y₀ = (A₁C₀ – A₀C₁) / (A₀B₁ – B₀A₁).

Во втором случае (прямые параллельны) предположение о существовании хотя бы одной общей точки приводит к противоречию : A₀ = ρA₁ , B₀ = ρB₁ ⇒ C₀ = ρC₁ , так что в этом случае общих точек вообще нет – прямые не пересекаются.

^

Уравнение пучка прямых

Пара непараллельных прямых A_ix + B_iy + C_i = 0 (|A_i| + |B_i| ≠ 0, i = 0;1) определяет точку M₀ их пересечения.

Предложение. Прямая проходит через точку M₀ ⇔ прямая имеет уравнение

(A₀μ + A₁ν)x + (B₀μ + B₁ν)y + C₀μ + C₁ν = 0 для некоторых (μ, ν) ≠ (0, 0). Это уравнение называется уравнением пучка прямых, определяемых парой непараллельных прямых.

Замечание. Из условия непараллельности исходных прямых вытекает, что при (μ, ν) ≠ (0, 0) одновременное обращение в 0 коэффициентов при x и y невозможно. Так что справа действительно имеем уравнение прямой.

Необходимость очевидна :

(A₀μ + A₁ν)x₀ + (B₀μ + B₁ν)y₀ + C₀μ + C₁ν = (A₀μ + A₁ν)x + (B₀μ + B₁ν)y + C₀μ + C₁ν = 0.

Достаточность: Пусть уравнение прямой есть Ax + By + C = 0. Опять же ввиду непараллельности исходных прямых мы можем единственным образом подобрать числа μ₀, ν₀ так, чтобы A₀μ + A₁ν = A, B₀μ + B₁ν =B. Эти числа одновременно не равны нулю, так как |A| + |B| ≠ 0. Кроме того, имеем

A₀x₀ + B₀y₀ + C₀ = 0 | ∙ μ₀

+

A₁x₀ + B₁y₀ + C₁ = 0 | ∙ ν₀

Ax₀ + By₀ + C₀μ₀ + C₁ν₀ = 0

Но Ax₀ + By₀ + C = 0 ⇒ С = C₀μ₀ + C₁ν₀ .