Линейное пространство

Вид материала

Документы

Содержание Элементы теории поливекторов V называются m-векторами (конечно, m  n = dim V V= 3). В случае трёхмерного линеала V

Подобный материал:

• Некорректные задачи геофизики. План лекций. Лекция I. Функциональные пространства., 64.34kb.
• Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется, 595.48kb.
• Введение в линейное программирование линейное программирование (ЛП), 139.72kb.
• Морозова Алена Витальевна. Требования к студентам : курс предполагает наличие знаний, 262.09kb.
• Линейное программирование, 346.17kb.
• Программа дисциплины Линейное программирование Семестр, 17.93kb.
• Программа вступительного экзамена по специальности в магистратуру физического факультета, 209.43kb.
• Деловая программа Девиз «Пространство культуры пространство доверия» Павильон, 75.38kb.
• Реферат по дисциплине: Философия на тему: Время и пространство в философии, 382.06kb.
• Пространство и материя, 398.24kb.

^

Элементы теории поливекторов

Далее мы основательно проэксплуатируем уже введённое нами более тонкое (по сравнению с одноимённостью) понятие унимодулярной эквивалентности. Это приведёт нас к теории поливекторов, тесно связанных с кососимметрическими полилинейными формами.

Определение. Классы унимодулярно эквивалентных линейно независимых семейств из m векторов линеала ^ V называются m-векторами (конечно,

m  n = dim V ). Такой m-вектор, содержащий семейство a₁,a₂,…,a_m, называется внешним произведением векторов a₁,a₂,…,a_m и обозначается

a₁a₂…a_m.

К m-векторам дополнительно причисляется нулевой m-вектор, по определению состоящий из всех m-членных линейно зависимых семейств. (Определение нуля здесь следует воспринимать формально, т.к. никакой операции сложения на множестве m-векторов у нас пока нет).

Итак, a₁a₂…a_m= 0 означает, что векторы a₁,a₂,…,a_m линейно зависимы, а равенство a₁a₂…a_m= b₁b₂…b_m говорит о том, что от системы a₁,a₂,…,a_m цепочкой элементарных преобразований можно перейти к системе b₁,b₂,…,b_m, или, что тоже самое, данные семейства линейно эквивалентны (векторы одного семейства линейно выражаются через векторы другого) и матрица перехода унимодулярна.


Замечание. При m = 1 условие унимодулярной эквивалентности двух векторов a и b означает, что a = b, так что 1-вектор – это просто вектор.


Далее для простоты изложения мы построим теорию поливекторов в трёхмерном пространстве (n = dim^ V= 3). В случае трёхмерного линеала V содержательны понятия вектора, бивектора и тривектора. Множества бивекторов и тривекторов будем обозначать

VV= {a₁a₂ : a₁,a₂  V }, VVV = {a₁a₂a₃ : a₁,a₂,a₃  V }.

Повторим, что a₁a₂ обозначает класс унимодулярно эквивалентных линейно независимых систем из двух векторов, т.е. a₁a₂ = b₁b₂ по определению означает, что от системы a₁,a₂ цепочкой элементарных преобразований можно перейти к системе b₁,b₂ , или, что тоже самое, семейства a₁,a₂ и b₁,b₂ линейно эквивалентны,

b₁ = c₁¹a₁ + c₁²a₂ b₂ = c₂¹a₁ + c₂²a₂, а матрица перехода C унимодулярна :

	c11	c21
det C =	c12	c22	= c11 c22 – c12c21 = 1.

Класс a₁a₂ называется внешним произведением векторов a₁ и a₂ ( – значок внешнего произведения). В случае линейной зависимости векторов a₁,a₂ пишут a₁a₂ = 0. Аналогично определяются тривекторы (здесь ситуация даже упрощается ввиду того, что любые тройки линейно независимых векторов в трёхмерном пространстве линейно эквивалентны и надо лишь смотреть на определитель матрицы перехода). Вскоре мы увидим, что множества бивекторов и тривекторов обладают естественными структурами линейных пространств (трёхмерного и одномерного). Кроме того, во множестве всех поливекторов (векторов, бивекторов и тривекторов) определяется «сквозная» операция внешнего произведения: внешнее произведение векторов a₁ и a₂ есть по определению бивектор a₁a₂ ,а внешнее произведение бивектора a₁a₂ на вектор a₃ есть по определению тривектор a₁a₂a₃.

Замечание. Надо ещё проверить корректность последнего определения, т.е.

показать, что a₁a₂ = b₁b₂ ⇒ a₁a₂a₃ = b₁b₂b₃ (интуитивно ясно, что, меняя основание параллелепипеда так, чтобы площадь этого основания оставалась постоянной, мы не изменим и объём параллелепипеда).

Формальная проверка: b₁ = c₁¹a₁ + c₁²a₂ , b₂ = c₂¹a₁ + c₂²a₂, где

c11	c21
c12	c22	= 1.

Но b₁ = c₁¹a₁ + c₁²a₂ + 0a₃ , b₂ = c₂¹a₁ + c₂²a₂ + 0a₃ ,

a₃ = 0a₁ + 0a₂ + 1a₃ , так что

c11	c21	0
c12	c22	0	=	c11	c21	= 1.
0	0	1		c12	c22

(случай линейной зависимости тривиален).

Аналогично, произведением вектора a₁ на бивектор a₂a₃ называется всё тот же тривектор a₁a₂a₃ , так что ассоциативность операции внешнего произведения вытекает прямо из определения:

(a₁a₂)a₃ = a₁a₂a₃ = a₁(a₂a₃).

Попытка определить таким же образом произведение вектора на тривектор, бивектора на бивектор или бивектора на тривектор в случае трёхмерного линеала ничего интересного не даёт: все системы из более чем трёх векторов в трёхмерном промтранстве линейно зависимы, т.е. (формально) получается один ноль. Содержательными оказываются лишь внешние произведения вектора на вектор и бивектора на вектор.

С точки зрения линейных операций рассмотрим вначале множество VVV как более простой случай.

На самом деле здесь нам остаётся только лишь надлежащим образом определить операцию умножения тривекторов на скаляры.

Определение. Произведением тривектора a₁a₂a₃ на число k называется тривектор (ka₁)a₂a₃. Проверяем корректность. Показываем, что

a₁a₂a₃ = b₁b₂b₃ ⇒ (ka₁)a₂a₃ = (kb₁)b₂b₃.

Без ограничения общности считаем системы линейно независимыми

(в противном случае равенство тривиально выполняется). Если матрицей перехода от базиса a к базису b служит матрица C с элементами c_jⁱ

(i,j = 1,2,3), то матрицей перехода от базиса ka₁,a₂,a₃ к базису kb₁,b₂,b₃ будет матрица

c11	c21/k	с31/k
kc12	c22	с32	,
kc13	c23	с33

имеющая тот же определитель, что и C , т.е. 1. Таким образом, эти базисы унимодулярно эквивалентны.

Конечно, роль первого элемента случайна:

(ka₁)a₂a₃ = a₁ (ka₂)a₃ = a₁a₂(ka₃).

Операция умножения тривекторов на скаляры удовлетворяет аксиомам

k(l) = (kl) , 1 = , и, кроме того, 0 = 0 (нулевому тривектору). Здесь

k,l  R ,   VVV .

Ключевой момент. Вспоминаем, что для любых двух базисов a₁,a₂,a₃ и b₁,b₂,b₃ , b = aC, базис b₁,b₂,b₃ унимодулярно эквивалентен базису

det Ca₁,a₂,a₃ , т.е. b₁b₂b₃ = (det Ca₁)a₂a₃ = det C(a₁a₂a₃) в силу определённой выше операции умножения на скаляры.

Итак, 0 ≠ ,  VVV имеем  = k, т.е. все ненулевые тривекторы пропорциональны (полученное выше равенство распространяется на случай линейно зависимой системы b₁,b₂,b₃). Это делает введение операции сложения на множестве тривекторов совершенно прозрачным: фиксируем базис e₁,e₂,e₃ в V, для любой пары тривекторов  и  записываем представление  = ae₁e₂e₃  = be₁e₂e₃, и, если мы хотим, чтобы сложение удовлетворяло пятой аксиоме линейного пространства, мы должны положить  +  = ae₁e₂e₃+ be₁e₂e₃ = (a + b) e₁e₂e₃.