1. Пространство и время: понятия, свойства, процедуры количественного описания Понятия пространства и времени

Вид материала

Документы

Содержание § 2. Силы инерции в равномерно вращающихся НСО Центробежная сила инерции Fцб =m··r·n § 3. Описание движения частиц во вращающихся СО. Сила Кориолиса В чем причина силы Кориолиса? Случай движения частицы в радиальном направлении относительно равномерно вращающейся НСО. Случай движения частицы по окружности (тангенциальное направление). Общий случай произвольного движения частицы в равномерно вращающейся СО. Особенности сил инерции.

Подобный материал:

• А. Закон инерции, 40.83kb.
• Постмодернизм план лекции: Трудность определения понятия «постмодернизм», 404.9kb.
• Воробьева Валентина Константиновна курс лекций, 273.12kb.
• Тема «Материя и движение, пространство и время» имеет важное значение для формирования, 258.39kb.
• Тема 1 основы системной концепции: понятия, сущность, атрибуты программная аннотация, 245.29kb.
• Отребляемые в настоящее время понятия образовательного нормотворчества и образовательных, 374.72kb.
• Анатолия Васильевича Мартынова, известного широкому кругу людей по книга, 5061.34kb.
• Обеспечение производства ЭВМ базовые понятия (сапр/астпп/саит), 710.17kb.
• Факультет электронной техники, пэ-04 курсоваяработ, 220.87kb.
• Линейное пространство, 700.44kb.

§ 2. Силы инерции в равномерно вращающихся НСО

Центробежная сила инерции.
Принцип Даламбера.

Рис.5.3. К выводу уравнения движения равномерно вращающегося шарика в связанной с ним НСО

 

 

 


Центробежная сила инерции стремится сместить горнолыжника с трассы при прохождении им виража. "Скоростной спуск". Трасса в Китцбюэле.
Фото В. Дановского

 

 

 

 

Центробежная сила инерции

Понятие центробежной силы инерции. Рассмотрим движение шарика, закрепленного на стержне, который равномерно вращается вокруг перпендикулярной ему оси, проходящей через один из ее концов, с постоянной угловой скоростью  (см. рис. 5.3). В ИСО XY шарик движется с нормальным ускорением a_n, обусловленным силой упругости стержня F_упр (центростремительной силой). В НСО, связанной с вращающимся стержнем, ускорение шарика отсутствует a' = 0, а равнодействующая сил, приложенных к нему, равна силе упругости и отлична от нуля (в вертикальном направлении действие сил тяжести и реакции стержня на изгиб скомпенсированы). Таким образом, второй закон Ньютона в выбранной НСО не выполняется.

Попробуем видоизменить этот закон, скомпенсировав равнодействующую силу некоторой дополнительной силой инерции. Исходя из вышеизложенного, имеем: 

F + (-m·a_n) = m·a' = 0.     (5.4)

Назовем слагаемое в скобках центробежной силой инерции F_и =F_цб. Тогда уравнение динамики примет вид, аналогичный второму закону Ньютона:

F + F_цб =m·a' = 0.     (5.5)

Из уравнения (5.5) следует, что

если тело покоится относительно равномерно вращающейся системы отсчета, то векторная сумма всех сил, действующих на него, и центробежной силы инерции равна нулю. 
Это утверждение называется принципом Даламбера.

Центробежная сила инерции направлена против вектора центростремительного ускорения и равна по величине центростремительной силе:

F_цб =m·²/r = m·²·r.
F_цб =m·²·r·n.

(5.6)

Центробежная сила инерции не характеризует какого-то взаимодействия, а обусловлена вращательным движением системы отсчета. Центробежная сила инерции и сила тяжести эквивалентны, если мы рассматриваем движение тел под воздействием этих сил в ограниченной области пространства, т.е. в области, где вектора силы не изменяются (например, около поверхности Земли). В общем случае силы инерции и тяжести различны по виду зависимости их величины от расстояния до оси вращения или центра гравитирующего тела, но обе эти силы вызывают движение тел с ускорением.

Пример. Ощущение действия силы тяжести в космическом корабле, находящемся в состоянии невесомости, можно создать, приведя его во вращение вокруг продольной оси симметрии.

§ 3. Описание движения частиц во вращающихся СО. Сила Кориолиса

Понятие силы Кориолиса и причины ее возникновения.
Кориолисово ускорение при движении частицы в радиальном направлении относительно равномерно вращающихся НСО.
Кориолисово ускорение при движении частицы в тангенциальном направлении относительно равномерно вращающихся НСО.
Кориолисово ускорение при произвольном движении частицы относительно равномерно вращающихся НСО.
Особенности сил инерции.

Рис. 5.4. К понятию силы Кориолиса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тело движется относительно НСО

Понятие силы Кориолиса и причины ее возникновения. Рассмотрим равномерно вращающийся со скоростью _c стол (см. рис. 5.4), на котором расположено некоторое тело. В случае отсутствия трения между телом и столом он будет покоиться относительно Земли. В ИСО, связанной с Землей, выполняется второй закон Ньютона, т.к. векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равняется нулю и оно находится в состоянии покоя.

В НСО, связанной со столом, тело движется с нормальным ускорением и на него действует центробежная сила инерции. Причем соблюдаются следующие условия:

	a' = an, следовательно, ускорение направлено к центру вращения;
	F = Fцб, следовательно, сила направлена от центра, т. е. против вектора ускорения an.

Второй закон Ньютона в НСО, связанной со столом, не выполняется. Для его корректировки по аналогии с предыдущими примерами требуется ввести дополнительную силу. Назовем ее силой Кориолиса. 

В чем причина силы Кориолиса? 

Во вращающейся системе отсчета в отличие от НСО, движущихся поступательно, соотношение между абсолютной, переносной и относительной скоростями и аналогичное соотношение для ускорений не однотипны. Для преобразования скоростей справедливо векторное уравнение

 = ' + _п.     (5.7)

При перемещении тела из одной точки вращающейся системы в другую изменяется как переносная скорость _п, так и направление вектора относительной скорости ', что связано с поворотом осей координат НСО. Это вызывает появление дополнительного ускорения, называемого кориолисовым ускорением  a_к, и, как мы покажем в дальнейшем, закон преобразования ускорений при переходе от ИСО к НСО примет следующий вид:

a = a' +  a_с + a_к,     (5.8)
где  a_с - переносное ускорение.

a_к = 2·['],     (5.9)
где  - вектор угловой скорости вращения НСО.

 





Маятник Фуко [11]

При описании движения в НСО закон преобразования ускорений примет вид (5.10):

a' = a -  a_с - a_к.     (5.10)

Ускорение a_к можно связать с действием на тело некоторой дополнительной силы, называемой силой Кориолиса F_к. Действительно, умножив уравнение (5.10) на массу, получим:

m·a' = F + F_цб + F_к;
F_к = -2·m·['].       (5.11)

Проявление действия силы Кориолиса:

	размытие правых берегов рек северного полушария, текущих в южном направлении;
	движение маятника Фуко. Маятник Фуко представляет собой массивное твердое тело, подвешенное на длинной нити. Если такой маятник вывести из положения равновесия, то он будет колебаться, совершая движение в некоторой плоскости. Действие силы Кориолиса вызовет медленное вращение этой плоскости относительно вертикальной оси;
	наличие дополнительного бокового давления на рельсы, а следовательно, их неравномерный износ, возникающий при движении поездов.

 





Рис. 5.5. К описанию движения тела, радиально перемещающегося в равномерно вращающейся НСО

Случай движения частицы в радиальном направлении относительно равномерно вращающейся НСО. Получим выражение для расчета Кориолисова ускорения в случае движения частицы в радиальном направлении. Пусть шарик A движется прямолинейно относительно стержня за счет силы упругости сжатой пружины. Стержень в свою очередь равномерно вращается вокруг оси OO' с угловой скоростью  (см. рис. 5.5). Относительно ИСО движение шарика будет непрямолинейным и неравномерным. Траектория представляет собой спираль. Чтобы найти силы инерции, действующие на шарик в НСО, связанной с вращающимся стержнем, сначала определим его ускорение относительно ИСО.

 





Рис. 5.6. Изображение составляющих векторов скорости тела относительно неподвижной СО

На рис. 5.6 изображены составляющие векторов скорости шарика в ИСО в различные моменты времени, разделенные интервалом dt. Эти составляющие представляют собой относительную ' и переносную _п скорости. Относительная скорость связана с движением шарика во вращающейся СО, а переносная - с движением НСО относительно лабораторной ИСО. Абсолютная скорость  движения шарика в неподвижной системе рассчитывается с помощью уравнения (5.7).

Изобразим составляющие вектора абсолютной скорости  в моменты времени 1 и 2 исходящими из одной точки (см. рис. 5.7, масштаб для удобства построений увеличен). 


Рис. 5.7. Изображение составляющих векторов скорости тела относительно неподвижной СО (вектора изображены исходящими из одной точки)

Найдем приращения относительной и переносной скоростей в разных точках ИСО, расположенных на расстояниях R и (R + dR) от оси вращения, имея в виду, что для малых углов d выполняются следующие скалярные равенства:

d = ·dt;
_п1 = ·R;_п2 = ·(R +dR);
dR = '·dt;
|₂'| - |₁'| = |d'| = d|'|,
следовательно, d₄ = d'.

(5.12)

Вектора d₁ и d₂ перпендикулярны радиусу и определяют тангенциальное приращение скорости. Вектора d₃ и d₄ коллинеарны радиальному направлению и определяют нормальное приращение скорости. Просуммировав все приращения скоростей с учетом их направлений и разделив результат на dt, получим выражение для расчета вектора ускорения в ИСО:

a = 2['] + ²·R·n - d'/dt·n = a_к + a_с + a',
где a_к = 2[, ']- Кориолисово ускорение, параллельное вектору ;
a_с - переносное (центростремительное) ускорение;
a' - относительное ускорение.

(5.13)

Преобразовав формулу (5.13), получим выражение для расчета ускорения в НСО:

a' = a - a_с - a_к = a + a_цб - a_к.     (5.14)

Следовательно, для НСО 2 закон Ньютона запишется в виде:

m·a' = F + F_цб + F_к,
где F_к = -m·a_к - сила Кориолиса;
F_цб - центробежная сила инерции;
F - равнодействующая сил, приложенных к частице в ИСО.

(5.15)






 

Случай движения частицы по окружности (тангенциальное направление). Получим выражение для кориолисова ускорения в случае движения тела по окружности с относительной скоростью  ' = [', R]. Ее угловая скорость относительно лабораторной ИСО равна:

w_л = ' + ,      (5.16)
где  - скорость вращения НСО относительно ИСО;
' - угловая скорость вращения тела относительно НСО.

Для расчета абсолютного ускорения получим следующее выражение:

a = (' + )²·R = 2··'·R + ²·R + '²·R =

= a_к + a_с + a'.     (5.17)

Так как движение тела в ИСО происходит по окружности с постоянной по величине скоростью, то все составляющие ускорения направлены вдоль радиуса. Следовательно, для кориолисова ускорения с учетом направления мы получим выражение, аналогичное ранее приведенному для случая радиального движения тела.






 

Общий случай произвольного движения частицы в равномерно вращающейся СО. В случае произвольной ориентации вектора относительной скорости ' вектор кориолисова ускорения можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, для вычисления которых справедлива одна и та же формула. Таким образом, в случае произвольно движущейся частицы в равномерно вращающейся НСО будет справедливо соотношение:

a_к = a_кn + a_к = 2·[, (_n' + _')] = 2·['].     (5.18)

Еще раз напомним причины, обуславливающие наличие кориолисова ускорения:

	изменение направления вектора относительной скорости, связанное с вращательным движением НСО относительно ИСО;
	изменение величины вектора переносной скорости, связанное с поступательным движением тела относительно НСО.

Особенности сил инерции. Рассмотрев различные силы инерции, можно заключить, что все они имеют общие черты и одновременно обладают рядом особенностей, по сравнению с силами, действующими в ИСО

	не характеризуют какого-либо физического взаимодействия, следовательно, не подчиняются третьему закону Ньютона (для них не существует противодействующих сил). Силы инерции всегда являются внешними. Внутри системы нет физических объектов, которые были бы материальными источниками сил инерции;
	силы инерции существуют исключительно в НСО и проявляются только как мера воздействия на тела системы;
	пропорциональны массе тела.