Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
µнием этих преобразований.
III 3. Совокупность всех движений образует группу, т. е.:
а)Произведение двух движений есть так
же движение.
б)Существует движение, при котором
каждая точка преобразуется сама в себя.
Такое движение называется тождественным и играет роль единицы группы движений.
в)Для каждого движения существует об
ратное движение, произведение которого
сданным движением даёт тождественное
движение.
г) Про из в еден и е движений ассоциативно, т. е. удовлетворяет сочетательному закону.
III4 Если три точки A,_B, С, и з которых В лежит между А и С, п р и движении преобразуются в точки А, В, С, то В л е ж и т между А и С.
III.5 Существует одно и только одно движение, преобразующее данную точку A, определённый луч с вершиной в А и определённую полуплоскость относительно этого луча соответственно в другую данную точку у А, в определённый луч с вершиной в А и в определённую полуплоскость относительно этого луча
Ш.6 С у щ е с т в у е т движение, при котором отрезок АВ переходит в отрезок В А.
III.7 С у щ е с т в у е т движение, при котором (h, k) п е р е х о д и т в (k, К).
III.8. Если точка О и исходящий из неё луч преобразуются движением в самих себя, то каждая точка этого луча преобразуется сама в себя.
При помощи предложений Ш,-8 можно далее доказать целый ряд других_теорем__движениях. Сформулируем некоторые из них:
- Каждое движ е н и е преобразует прямую
в прямую, луч в луч, угол в угол, плоскость
в плоскость, полуплоскость в полупл-
скость, полупространство в полупространство. - Любое движение можно свести к после-
довательному осуществлению двух част-
ных случаев движения: сдвига и вращения
около точки, т. е. любое движение можно
рассматривать как произведение сдвига
и вращения. - Задание двух конгруэнтных тетраэд-
ров вполне определяет движение, преоб
разующее первый тетраэдр во второй, т. е.
положение пространственной фигуры
вполне определяется четырьмя её точка
ми, не лежащими в одной плоскости. - Заданием двух конгруэнтных треугольника.
Определение. Две фигуры называются конгруэнтными, если существует такое движение, которое преобразует первую ф и гуру во вторую.
Таким образом, мы можем резюмировать связь между понятиями конгруэнтности и движения следующим образом: при наличии аксиом Гильберта III аксиомы к о н груэнтности Гильберта III1-5 и аксиомы движения Ш1-8 являются эквивалентными.
6. ГРУППА IV (ПО ГИЛЬБЕРТУ V). АКСИОМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Наше наглядное представление о прямой или окружности неразрывно связано с представлением об их непрерывности, т. е. с представлением об отсутствии у них просветов. или зияющих отверстий. Факт непрерывности прямой обладает для нас столь непосредственной и принудительной очевидностью, что в течение всего многовекового развития геометрии вплоть до середины XIX столетия ни у кого не возникало и мысли, что понятие непрерывности нуждается в логическом обосновании. Евклид в вопросах геометрии, связанных с понятием непрерывности, неизменно прибегал к очевидности чертежа, считая соответствующие факты геометрии само собой разумеющимися, о чём уже подробно говорилось в первой главе.
Между тем целый ряд вопросов и проблем геометрии не мог получить строгого обоснования без точной логической формулировки понятия непрерывности. Таковы, например, упоминавшиеся уже нами вопросы о пересечении окружности с прямой и окружностью. Нельзя было также логически обосновать такую важнейшую проблему геометрии, как теорию измерения отрезков, углов, площадей и объёмов. Аналитическая геометрия, исходящая в своём координатном методе из идеи непрерывности прямой и из взаимно однозначного соответствия _, между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, также, начиная с Декарта, строилась исключительно на данных наглядного представления, а не на логических основаниях. В связи с последним обстоятельством в математическом анализе имело место такое положение, что при отсутствии строгой теории действительного числа весь анализ фактически держался на шатком фундаменте наглядных представлений о прямой. С одной стороны, при доказательстве многих теорем о пределах и непрерывности ссылались на непрерывность геометрических образов, иллюстрирующих соответ-
ствующие понятия анализа; с другой стороны, непрерывность самих этих геометрических образов сводилась к нашим смутным пред-
ставлениям, не получившим точной математической формулировки
в аксиомах.
Таким образом, вся теория пределов и связанная с ней непрерывность функции была в логическом отношении построена на песке.
Первый, кто поставил этот вопрос и дал точную формулировку сущности понятия непрерывности, был Дедекинд (18311916)*). Он поставил и разрешил две задачи: 1) в своей известной аксиоме он дал точную логическую формулировку понятия непрерывности прямой и этим создал надёжную основу для дальнейших умозаключений геометрии; 2) независимо от геометрии он построил чисто арифметическую теорию иррациональных чисел исключительно на основе свойств системы рациональных чисел и тем самым освободил анализ от необходимости апеллировать к наглядным геометрическим представлениям, ибо теперь свойства системы действительных чисе?/p>