Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ие три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, что вписанные в окружность углы, опирающиеся на равные хорды, равны; можно, далее, развить всю теорию подобия фигур, теорию измерения площадей, доказать теорему Пифагора. Всё это позволяет затем обосновать декартову аналитическую геометрию и тем самым арифметизировать евклидову геометрию.
Лобачевского, в зависимости от присоединения той или иной аксиомы параллельности. Никакой третьей геометрической системы при наличии аксиом IIV построить нельзя.
Возможность геометрии Лобачевского одновременно свидетельствует о том, что аксиома V или эквивалентный ей 5-й постулат Евклида не зависят от аксиом IIV. В связи с этим напомним, что для всех попыток доказательства 5-го постулата было характерно отсутствие правильной постановки этой проблемы; эта постановка носила неопределённый, расплывчатый характер, ибо не было известно полного перечня аксиом абсолютной геометрии, лишь на основе которых и следовало пытаться доказывать 5-й постулат.
Теперь, когда в нашем распоряжении имеется полная система аксиом Гильберта, возможно дать точную формулировку проблемы доказательства 5-го постулата Евклида. Проблема эта заключается в следующем: можно ли на основе аксиом ГруПП IIV доказать аксиому V (или равносильны и е и 5-й п о с т у л а т) и л и иначе: является ли аксиома V независимой от аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности или нет?
Построением своей геометрической системы Лобачевский дал уже известный нам отрицательный ответ на этот вопрос:* аксиому V нельзя вывести из аксиом I IV. Однако этот результат Лобачевского будет обладать несомненной убедительностью лишь в том случае, если мы докажем логическую непротиворечивость его геометрии.
В заключение следует ещё сказать, что если мы в системе
аксиом Гильберта отбросим и заменим некоторые другие аксио-
мы, то возможны геометрические системы, отличные и от гео-
метрии Евклида, и от геометрии Лобачевского. Такой, напри
мер, геометрией является эллиптическая геометрия Римана, в
которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни од
ной параллельной к данной прямой. Для построения этой гео-
метрии следует внести изменения в аксиомы II, III, IV групп.
Некоторое представление о двумерной эллиптической геометрии
Римана читатель получит, ознакомившись с содержанием 9
главы V.