Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?лупространства
Перейдём теперь к рассмотрению ряда других предложений, которые в школьном преподавании всегда считаются само собой разумеющимися, предложений о делении прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости и пространства на два полупространства. Введём следующую терминологию.
Определение. Пусть А, В, О три точки прямой. Если О лежит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой по разные стороны от О, если О не лежит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой с одной стороны от точки О.
Теорема 4.6. Каждая точка О прямой а делит все остальные точки этой прямой на два класса так, что любые две точки, принадлежащие одному и тому же классу, лежат с одной стороны от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.
Доказательство этой теоремы является простым, но громоздким. Наметим лишь ход доказательства. Возьмём на данной прямой произвольную точку A, отличную от О, и разобьём все точки прямой на два класса: к первому классу отнесём точку A и все те точки, каждая из которых лежит вместе с A по одну сторону от О, а ко второму классу все те точки, из которых каждая лежит с точкой A по разные стороны от О. Далее доказываем, что всякая точка данной прямой, кроме О, попадает в один и только один из этих классов. Затем, пользуясь теоремами 4.2, 4.3 и 4.4, доказываем, что если В и С точки одного и того же класса, то точка О не лежит между В и С, если же точки В и С принадлежат разным классам, то О лежит между В и С.
Теорема 4.6 позволяет ввести понятие луча.
Определение. Множество всех точек прямой а, лежащих по одну и ту же сторону от точки О, т. е, принадлежащих к одному классу, называется лучом или полупрямой, исходящей из точки О, называемой началом или вершиной луча.
Таким образом, теорема 4.6 говорит о том, что каждая точка прямой делит её на два луча.
Определение. Пусть в плоскости к дана прямая а и две точки А и В, не лежащие на прямой а. Если отрезок АВ не пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от а; если отрезок АВ пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от а.
Теорема 4. 7. Каждая прямая а в плоскости а делит все точки этой плоскости, не лежащие на прямой а, на два класса так, что любые две точки, принадлежащие одному классу, лежат с одной стороны от а, а всякие две точки, принадлежащие разным классам,, лежат по разные стороны от а.
Доказательство:
Пусть А точка плоскости а, не лежащая на прямой а. Разобьём все точки плоскости а, не принадлежащие прямой а, на два класса. К первому, классу отнесём точку А и все те точки,
которые вместе с А лежат по одну сторону от а. Ко второму классу отнесём все те точки, которые с точкой А лежат по разные стороны от а.
Каждая точка плоскости а, не принадлежащая а, попадает в один и только один из указанных классов, ибо какова бы ни была точка В плоскости а, возможны лишь два случая: либо отрезок АВ пересечёт прямую а, либо не пересечёт.
Покажем, что любые две точки одного класса лежат с одной стороны от а.
Пусть В и Вдве произвольные точки первого класса (черт. 104), т. е. отрезки А В и АВ не пересекают а. Если точки А, В, В не лежат на одной прямой, то отрезок ВВ не пересекает а, ибо если предположить противное, то отсюда следовало бы по аксиоме П4, что прямая а пересекает один из отрезков: АВ или АВ, что противоречит условию.
Если точки А, В, В лежат на одной прямой /, то возможны лишь два случая: либо / пересекает а, либо не пересекает. Если / пересекает а в некоторой точке S, то точки А и В, а также А и В лежат с одной стороны от 5, а потому и точки В и В лежат с одной стороны от S, т. е. отрезок ВВ не пересекает а, а значит, В и В лежат с одной стороны от а. Если же / не пересекает а, то и отрезок ВВ не пересекает а, и снова точки В и В лежат с одной стороны от а.
Пусть теперь С и С точки второго класса. Докажем, что они также лежат с одной стороны от а.
Если A, С, С не лежат на одной прямой, то прямая а, пересекая отрезки АС и АС, по аксиоме П4 не может пересечь отрезок СС.
Если А, С, С лежат на одной прямой /, то эта прямая пересекает а в некоторой точке S, причём S лежит между A и С, а также между А и С, т. е. А и С, а также Л и С лежат на / по разные стороны от S, а поэтому по теореме 4.6 точки С и С лежат по одну сторону от S и, следовательно, отрезок СС не пересекает а.
Пусть, наконец, В точка первого класса, С второго класса, Это значит, что отрезок АВ не пересекает а, а отрезок АС пересекает а. Докажем, что В и С лежат по разные стороны от а.
Если А, В, С не лежат на одной прямой, то по аксиоме П4 прямая а пересекает отрезок ВС, ибо она пересекает отрезок АС, но не пересекает отрезка АВ.
Если А, В, С лежат на одной прямой /, пересекающей прямую а в точке 5, то Л и В лежат по одну сторону от S, а точки A и С по разные. Следовательно, по теореме 4.6 точки В и С лежат по разные стороны от S, т. е. отрезок ВС пересекает а, а это значит, что В и С лежат по разные стороны от а.
, Каждый из двух рассмотренных классов точек называется
п о луплоскостью плоскости а. Таким образом, каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости.
Сформулируем ещё а