Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
нные представления являются лишь вспомогательными средствами; они облегчают находить путь логических рассуждений и позволяют проверить правильность логического вывода на конкретном материале.
Изучение аксиоматики Гильберта необходимо связать с двумя важнейшими задачами. Во-первых, читатель должен получить ясное представление о строго научном построении геометрии на точно очерченной аксиоматической базе; во-вторых, будущий педагог должен в результате этого изучения получить отчётливое понимание того, насколько школьный курс геометрии отличается от строго логического изложения геометрии. Он увидит, что целый ряд предложений, которые со всей тщательностью, до тонких деталей доказываются при строго логическом изложении, в школьном преподавании принимаются без доказательства .просто как само собой разумеющиеся. Таковы, к примеру, предложения о том, что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость на две полуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество точек, что простой многоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий из вершины треугольника, пересекает противоположную сторону треугольника и т. д. Знать это различие чрезвычайно важно для учителя. Школьный курс геометрии по необходимости приспособляется к возрастным особенностям учащихся, к требованиям практики и психологии, а поэтому не может совпадать со строго логическим курсом. Но знание строго научной трактовки вопросов геометрии предостережёт педагога от ряда ошибок и слепого следования учебнику; учитель будет понимать, где даётся мнимое доказательство," а где действительно дан строгий вывод, где даётся простое описание, а где настоящее определение; он не будет видеть полного доказательства там, где имеется неизбежный пробел, и будет открыто и сознательно, а не слепо допускать в случае необходимости 1акие отступления.
Аксиомы Гильберта Делятся на 5 групп:
Группа I. Аксиомы связи (соединения, сочетания) (8аксиом).
Группа II. Аксиомы порядка или расположения (4 аксиомы).
Группа III. Аксиомы конгруэнтности (5 аксиом).
Группа IV. Аксиома непрерывности (1 аксиома).
Группа V. Аксиома параллельности (1 аксиома).
Всего 19 аксиом. Заметим, что в отношении порядка и содержания аксиом групп IV и V мы допускаем некоторые отступления от изложения у Гильберта *).
3. ГРУППА I. АКСИОМЫ СОЕДИНЕНИЯ
Как уже говорилось, у Гильберта основными элементами геометрии являются неопределяемые понятия точка, прямая, плоскость. Между этими элементами в первой группе аксиом устанавливается некоторое отношение, выражаемое неопределяемым понятием лежать на, связывающим точку и прямую, а также точку и плоскость. Так, мы говорим: Точка лежит на прямой или на плоскости. Но то же отношение выражается словами: прямая проходит через точку или плоскость проходит через точку. Для единообразия терминологии вводится единый термин принадлежности или и н ц и д е н т н о с т и. Мы говорим: Точка и прямая принадлежат друг другу или инцидентны друг другу. При этом никакого конкретного смысла в понятие принадлежности или инцидентности мы не вкладываем, это может быть любое отношение между элементами геометрии, лишь бы оно удовлетворяло аксиомам первой группы. Аксиомы соединения представляют собой косвенное определение "понятия инцидентности.
Мы всё же наряду с этими терминами будем употреблять привычные выражения, связанные с обычными наглядными представлениями: точка лежит на прямой, прямая проходит через точку и т. д. Будем также говорить: на прямой а существует точка Л. Если точка А принадлежит прямой а и прямой Ь, то мы также будем говорить: Прямые а и d имеют общую точку Л или Прямые а и d пересекаются в точке A. Если прямая а принадлежит двум точкам А и В, то мы будем говорить: Прямая проходит через точки А и В или соединяет точки A и В.
Формулируем теперь аксиомы первой группы.
I.1. Д л я любых двух точек А и В с у щ е с т в у е т прямая, принадлежащая каждой из них.
(В обычной терминологии: через любые две точки А и В проходит прямая.)
I.2. С у щ е с т в у е т не более одной прямой, принадлежа щ е и каждой из двух данн ы х
т о ч е к А и В.
Если аксиома I.1 утверждает, что через две точки проходит не менее одной прямой, то аксиома I.2 утверждает, что через две точки проходит не более одной прямой. Отсюда непосредственно следует теорема: Через любые две точки проходит одна и только одна прямая, т. е. прямая вполне определяется двумя точками. Эту прямую .можно обозначать через АВ или В А.
I.3 . На каждой прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по меньшей мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
Аксиомы 11 3 устанавливают связь между понятиями точка и прямая. Следующие аксиомы выражают связи между этими понятиями и понятием плоскость.
I4. Для любых трёх точек А, В, С, к е принадлежащих одной прямой, существует плоскость, принадлежащая каждой из этих точек; каждой плоскости принадлежит по меньшей мере одна точка.
I5. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, принадлежащей каждой из трёх точек А, В, С.
Из аксиом I4 и I5 непосредственно вытекает предложение:
Теорема. Че?/p>