Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
налогичную теорему для пространства.
Определение. Пусть а некоторая плоскость и точки Л и В не лежат в плоскости а. Если отрезок AВ не пересекает а, то говорят, что точки A и В лежат по одну сторону от плоскости а, если отрезок AВ пересекает а, говорят, что точки A и В лежат по разные стороны от а.
Теорема 4.8. Каждая плоскость а. разделяет все точки пространства, не лежащие на а, на два класса так, что любые две точки А и В одного и того же класса лежат по одну сторону от а, а любые две точки А и В разных классов лежат по разные стороны от а.
Таким образом, каждая плоскость разделяет пространство на две области, называемые полупространствами.
Определение. П a p а л у ч е й h, k, выходящих из точки О и не при надлежащих одной прям о и, называется углом, который обозначается знаком < (h, k) и л и < (k,h). Если A и В т о ч к и, лежащие соответственно на лучах h и k, то угол обозначается т а к ж е < AОВ и л и < ВОA
Точка О называется вершиной угла, лучи h и k сторонами угла ).
Определение. Пусть дан угол (h, k). Дополним лучи h и k до полных прямых лучами h и k (черт. 105). Все точки плоскости, проходящей через эти прямые (теорема 3.5), отличные от точки О и не лежащие на лучах h и k, делятся углом на две области: все точки, которые лежат с той же стороны от прямой h, h, что и точки луча k, и с той же стороны от прямой k, k, что и точки луча h,
называются внутренними точками угла (h, k}, а их совокупность называется внутренней областью угла; все остальные точки плоскости называются внешними, а их совокупность внешней областью. Можно показать, что прямые h, k и
h, k плоскость на 4 области, по-
парно не имеющие общих точек, это внутренние области углов (h, k), (k, h),
(h, k), (k, h).
Сформулируем без доказательства следующую теорему. Теорема 4. 9. Если А и В внутренние точки угла, то отрезок А В не пересекает сторон угла и не проходит через вершину угла; если А точка луча h, а В точка луча k, то все точки отрезка АВ внутренние точки угла, если А внутренняя, а В внешняя точка угла, то отрезок АВ пересекает одну сторону угла или проходит через вершину угла О.
Определение. Пусть h, k, L три луча с общей вершиной О, лежащие в одной плоскости. Будем говорить, что луч L лежит между лучами h и k или что L проходит внутри угла (h, k), если все точки луча L являются внутренними точками этого угла.
Теорема 4.10. Всякий луч I, проходящий внутри угла КОВ через его вершину О, пересекает отрезок KB; обратно, всякий луч, проходящий через вершину угла и точку отрезка KB, соединяющего две точки К и В, лежащие на сторонах угла, есть внутренний луч угла КОВ.
Теорема 4. 11. Из трёх лучей h, k, I с общей вершиной О, расположенных в общей полуплоскости относительно прямой, проходящей через О, один и только один лежит, между двумя другими.
Рассмотрим ещё понятие ломаной и многоугольника.
Определение. Совокупность конечного числа отрезков АВ, ВС, CD, . . ., KL с общими концами В, С, . . ., К называется л о м а н о й, составляющие отрезки называются звеньями ломаной, начальная точка А и конечная L называются концами
ломаной. Если А и L совпадают, то ломаная называется многоугольником, причём А, В, . . ., L называются вершинами многоугольника, звенья ломаной сторонами многоугольника. Если все вершины многоугольника лежат в одной плоскости, то многоугольник называется плоским. Плоский многоугольник называется просты м, если: 1) все его вершины различны, 2) ни одна из его вершин не лежит внутри какой-либо стороны, 3) никакие две несмежные его стороны не пересекаются.
Например, многоугольники, изображённые на чертеже 107, не являются простыми.
Укажем на важнейшее свойство простого многоугольника.
Теорема 4. 12. Всякий простой многоугольник делит все точки плоскости, отличные от точек многоугольника, на две области: любые две точки первой области (внутренней) всегда можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и не существует прямой, целиком лежащей внутри этой области; любые две точки второй области (внешней) также можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и существует пряная, целикои лежащая в этой области; если две точки принадлежат разньм областям, то всякая ломаная, их соединяюш1ая, пересекает многоугольник.
5. ГРУППА Ш. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ
В Началах Евклида в учении о равенстве фигур основным понятием является понятие движения. Однако это Евклидом явно не формулируется, и свойства движения (неизменяемость формы и размеров фигур) не получают точного описания в аксиомах. По существу движение у Евклида непосредственно связано с представлением о механическом движении твёрдого тела. Такое понимание движения неизбежно связано с введением в геометрию чуждых понятий времени и скорости, а также предполагает рассмотрение всех промежуточных положений фигуры.
В первой главе мы уже говорили о неприменимости такого понимания движения к геометрическим фигурам.
В учении о равенстве фигур время, скорость и путь движения никакой роли не играют, важно лишь начальное и конечное положение фигуры.
Напомним также о той двойственной позиции, которую Евклид занимал, считая движение основным понятием и в то же время стремясь из философских соображений изгнать его из геометрии.
В современном научном