Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?ез всякие три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. Эту плоскость можно обозначить через"ABC.
I6. Если две точки A и В прямой а принадлежат п л о с к о с т и а, т о и каждая точка прямой а принадлежит плоскости а.
Определение. Относительно прямой а, каждая точка которой принадлежит плоскости а, будем говорить, что прямая а принадлежит плоскости а или что прямая а лежит на плоскости а или что плоскость а проходит через прямую а.
Таким образом, понятие принадлежности в отношении прямой и плоскости является определяемым понятием.
I7.Если две плоскости а и (3 имеют общую
точку A,то они имеют по меньшей мере ещё
одну общую точку В.
I8.Существуют по меньшей мере четыре
точки, не принадлежа щ и е одной плоскости.
Аксиомы 11-3 называются плоскостными, аксиомы
I4_8 пространственными.
Обратим внимание на то, что аксиомы первой группы обеспечивают существование на прямой лишь двух двух точек, существование трёх точек, не лежащих на одной прямой, и существование лишь одной точки, лежащей на плоскости. Таким образом, пока наши прямые и плоскости чрезвычайно бедны точками. Если бы мы исходили из наглядных представлений, то мы неизбежно включили бы в аксиомы требование существования на прямой и плоскости бесконечного всюду плотного множества точек. Теперь же, поскольку это требование отсутствует, существование бесконечного множества точек на прямой должно быть строго доказано.
Заметим ещё, что аксиомы 114 соответствуют первому постулату Евклида. Аксиом, соответствующих остальным аксиомам первой группы, у Евклида нет.
Следствия аксиом соединения
Рассмотрим теперь несколько теорем, которые могут быть доказаны с помощью лишь одних аксиом первой группы.
Теорема 3. 1. Две прямые не могут иметь более одной общей точки.
Доказательство:
Предположим, что две различные прямые а и Ь имеют две общие точки А и В. Но по аксиоме I.2 существует не более одной прямой, проходящей через точки A и В. Следовательно, прямые а и Ь совпадают, что противоречит условию. Таким образом, две прямые а и d либо вовсе не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку.
Теорема 3. 2. Две плоскости или не имеют ни одной общей точки, или имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.
Доказательство:
Пусть две различные плоскости M и V имеют общую точку A. Тогда у них существует по меньшей мере ещё одна общая точка В (аксиома I7). Точки A и В определяют единственную прямую, проходящую через эти точки (аксиомы I.1I.2). Эта прямая AВ принадлежит каждой из плоскостей аир (аксиома I6). Никаких других общих точек плоскости M и V не имеют, ибо если предположить противное, т. е. что существует общая точка С плоскостей V и M, не лежащая на прямой AВ, то в силу аксиом I 4_5 существовала бы лишь одна плоскость AВС, проходящая через точки A, В, С, а потому плоскости VиM должны совпасть, что противоречит условию.
Теорема 3.3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.
Доказательств о:
Если предположить, что прямая а, не лежащая в плоскости M, имеет с ней две общие точки A и В, то по аксиоме I6 каждая точка прямой а должна лежать в плоскости M, т. е. прямая а лежит в плоскости M, что противоречит условию.
Теорема 3.4. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость.
Доказательств о:
Пусть дана прямая a и не лежащая на ней точка А, На прямой a существуют по меньшей мере две точки В и С (аксиома 13). Точки А, В и С не лежат на одной прямой.
В самом деле, если допустить противное, то проходящая через них прямая должна совпасть с прямой а, так как в силу аксиом I.1-I.2 существует лишь единственная прямая а, проходящая через точки В и С. Но в таком случае прямая а, проходит через точку А, что противоречит условию. Итак, точки А, В и С не лежат на одной прямой, а потому через них проходит единственная плоскость а (аксиома 14 и 15). Плоскость а, проходя через точки В и С прямой а, проходит через прямую а (аксиома 16). Итак, плоскость а проходит через прямую а и точку А.
Теорема 3.5. Через две прямые, имеющие общую точку, проходит одна и только одна плоскость.
Доказательство:
Пусть а и Ь две прямые с общей точкой С. На прямой Ь существует по меньшей мере ещё одна точка В, отличная от С (аксиома Is). Точка В не лежит на прямой а, ибо в противнем случае прямые а и Ь, имея общие точки В и С, совпадали бы в силу аксиом Ii_2. На основании теоремы 3.4 через прямую а и точку В проходит одна и только одна плоскость а. Эта плоскость проходит через точки С и В, а следовательно, и через прямую Ь (аксиома 16/).
По аксиоме I4 на каждой плоскости существует по меньшей мере одна точка; теперь мы можем доказать существование на плоскости трёх точек.
Теорема 3.6. На каждой плоскости существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.
Доказательство:
Пусть дана плоскость M. По аксиоме I4 на плоскости существует точка А. По аксиоме I3 существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Если точки В и С лежат на плоскости M, то теорема доказана. Если С не лежит, а В лежит на плоскости M, то найдена вторая точка В, лежащая на плоскости M. Если ни В, ни С не