Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ассмотреть ряд других теорем.
Определение. Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, не общие стороны которых составляют одну прямую, называются смежными. Два угла с общей вершиной, стороны которых попарно составляют прямые линии, называются вертикальными.
Теорема 5. 9. Если угол ^ (h, k) конгруэнтен углу (h. k), то и угол, смежный первому углу, конгруэнтен углу, смежному c вторым углом.
Теорема 5. 10. Вертикальные углы конгруэнтны. Легко доказывается на основе теоремы 5. 9
Теорема 5. 11, Пусть h, k, I и h, k, I лучи, исходящие соответственно из точек О и О, и каждая из этих троек лучей расположена в одной плоскости; пусть при этом лучи h, k и h, k расположены либо те и другие по одну сторону от луча I, соответственно /, либо те и другие по разные стороны. Тогда из ^(h, l)==^(h, Г) и -4(/, k)=^(t, k) следует ^ (h, k) = = ^.(h, k).
Теорема 5. 12. (Третья теорема о конгруэнтно с-пи треугольников.) Если у треугольников ABC и АВС
АB = АB, АС = АС, ВС=ВС, то
треуг.ABC =треуг. ABC
Теорема 5.13. Если ^(h. k) =^(h, k) и ^ (h, k)=^(h", k"),
mo ^ (h, k) = ^ (h", k").
Теорема 5. 16. Прямой угол существует. Доказательство:
Возьмём произвольный угол (A, k). По аксиоме Ш4 по другую сторону от луча А, нежели луч k, существует такой луч (черт. 116). Взяв на луче k некоторую точку A, мы можем на луче / найти такую точку В, что ОА^=
В
е
Черт. 116.
= ОВ (аксиома Ш^. По теореме 4. 7 отрезок AВ пересекает прямую, которой принадлежит луч А. При этом возможны 3 случая: либо точка пересечения С принадлежит лучу А, либо совпадает с его вершиной О, либо принадлежит лучу h, дополнительному к А.
Теорема 5. 17.
Теоремы о делении отрезка и угла пополам и другие
Теорема 5. 18. Каждый отрезок можно разделить пополам и притом единственным образом. Доказательство:
Теорема 5. 19. Каждый угол можно разделить пополам и притом единственным образом.
Вводя далее обычные определения биссектрисы угла, а также медианы и высоты треугольника, мы можем доказать следующие теоремы:
Теорема 5.20. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине есть медиана и высота.
Теорема 5.21. Через всякую точку плоскости проходит единственный перпендикуляр к данной прямой, лежащей в этой плоскости.
Далее можно доказать теоремы.
Теорема 5.22. Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они не пересекаются между собой.
Теорема 5.23. Если две прямые при пересечении с третьей образуют конгруэнтные соответственные или внутренние накрест лежащие углы, то они не пересекаются.
Теорема 5. 24. Если в плоскости а. даны прямая а и не лежащая на ней точка А, то в плоскости а через точку А проходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая прямой а.
Сравнение отрезков и углов
Для отрезков и углов можно ввести соотношения больше и меньше при помощи следующих определений.
Определение. Пусть даны два отрезка AВ и AВ. Если существует такая внутренняя точка С отрезка AВ, что AС=AВ, то говорят, что отрезок А В меньше отрезка ЛВ или что отрезок AВ больше отрезка AВ, что записывается так: AВAВ.
Теорема 5. 25. а) Для всяких двух отрезков АВ и CD имеет место одно и только одно из трёх соотношений: либо AB=CD, либо AВ>СО, либо AВ<СО; б) Если AВ<AВ и АВ<А"В", то AВ<A"В" (свойство транзитивности).
Можно, далее, ввести понятие суммы и разности отрезков и доказать:
в)Если AВ = AВ, CD<CD, то АВ + CD < А B +CD;
г)Если AВ>СО, то AВ> CD.
Такими же свойствами обладают понятия большие, меньше в применении к углам. Затем вводим понятия острый и тупой углы.
Теорема о внешнем угле треугольника и другие
Теорема 5. 26. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, с ним не смежного.
Теорема 5. 27. Если две стороны одного треугольника соответственно конгруэнтны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, не конгруэнтны, то против большего из этих углов лежит и большая сторона (и обратная теорема).
Движение
Выше говорилось, что в системе Гильберта можно определить понятие движения как производное. Дадим теперь это определение.
Определение. Движением называется такое преобразование пространства в самого себя, при котором всякий отрезок преобразуется в конгруэнтный отрезок.
Нетрудно видеть, что определённое таким образом движение существенно отличается от механического движения, ибо время, скорость, промежуточные положения фигуры в этом определении не играют никакой роли, фиксируется лишь положение прообраза и образа. Коль скоро понятие конгруэнтности может иметь различный смысл, то и понятие движения может получить различные конкретные истолкования.
III.1 Каждую т о ч к" у пространства движение преобразует в точку того же пространства,
III.2. Если прямая а и л еж а щ а я на ней точка А движением преобразуются в прямую а и точку A, то точка А лежит на прямой а.
Заметим, что последовательное применение двух преобразований называется произвед?/p>