Общая характеристика аксиоматики Гильберта

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

°ние по крайней мере одной точки Z, ибо единственность этой точки может быть доказана

В самом деле, допустим, что существуют две различные точки Zl и Z2, лежащие внутри всех отрезков A,В, (1,2,3,...) В таком случае легко доказать, что все точки отрезка ZlZ.i лежат внутри всех этих отрезков A,В,, или, иначе говоря, отрезок ZXZ, лежит внутри всех этих отрезков, что противоречит условию принципа Кантора

 

Теорема 6.1. Из аксиом Гильберта I/// ц аксиомы Дедекинда
вытекает постулат Архимеда.

Теорема 6. 2. Из аксиом Гильберта I/// и аксиомы Дедекинда вытекает принцип Кантора.

Теорема 6. 3. Из аксиом Гильберта I/// и предложения Архимеда IV.1 и Кантора IV.2 вытекает предложение Дедекинда IV

Теорема 6. 4. Аксиома Дедекинда при наличии аксиом I/// эквивалентна совокупности двух аксиом, аксиомы Архимеда и аксиомы Кантора

Теорема 6. 5. (Предложение Дедекинда для углов.) Если все внутренние лучи, выходящие из вершины 0^(h, k), а также лучи h k распределены, на два класса так, что:

1) каждый луч принадлежит одному и только одному из классу, луч h принадлежит первому классу, а луч k второму;

2) каждый луч первого класса, отличный от h, лежит между h и любым лучом второго класса, то существует один и только один такой пограничный луч I, что всякий луч, лежащий между h и I, принадлежит первому классу, а всякий луч, лежащий между I и k, принадлежит второму классу. Сам луч I принадлежит либо первому, либо второму классу.

Все замечания, сделанные в отношении аксиомы Дедекинда для отрезков, сохраняют свою силу и для углов.

 

Доказательство:

>, Пусть отрезок АВ (черт. 121) соединяет точки Л и В, взятые соответственно на лучах h и k. По теореме 4. 10 лучи, лежащие между h и k, пересекают отрезок АВ во внутренних его точках. Ставя друг другу и соответствие внутренний луч с точкой его пересечения с отрезком АВ, мы приведём во взаимно однозначное соответствие множество всех внутренних лучей ^ (h, k) с множеством всех точек отрезка АВ с сохранением одинакового взаимного расположения тех и других. При этом разбиению лучей на Черт. 121. два класса будет соответствовать разбиение

точек отрезка АВ на два класса, удовлетворяющее условиям аксиомы Дедекинда. Поэтому на отрезке АВ существует единственная точка L, производящая сечение. Луч I проходящий через точку L, и будет пограничным лучом.

Формулировку предложений Архимеда и Кантора для углов предоставляем читателю.

Как уже говорилось в начале настоящего параграфа, аксиомы непрерывности вместе с аксиомами IIII дают возможность решить проблему измерения отрезков и углов, а также установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, что позволяет установить несчётность множества точек прямой и обосновать введение координат на прямой, плоскости и в пространстве. Оставляя рассмотрение всех этих вопросов до главы IV, остановимся на доказательстве теоремы о пересечении окружности с прямой .

Теорема 6.6. Прямая, лежащая в одной плоскости с окруж
ностью и проходящая через внутреннюю точку k окружности, пе-
ресекает эту окружность в двух точках.

Теорема 6. 7. Если две окружности лежат в одной плоскосmu, причём одна из них проходит через внутреннюю и внешнюю точки к другой, то эта окружности пересекаются в двух, точках

 

Теорема 6. 8. Для каждого отрезка АВ, каково бы ни было натуральное число п, существует такой отрезок AD, что

n*AD=AB или AD*1/n *AB

 

7. ГРУППА V (ПО ГИЛЬБЕРТУ IV). АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

Совокупность рассмотренных нами аксиом, входящих в группы I IV, ещё недостаточна для обоснования евклидовой геометрии, необходима ещё аксиома параллельности.

Все те предложения геометрии, которые могут быть доказаны на основе аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности, составляют абсолютную геометрию.

К абсолютной геометрии относится, как мы видели, теорема о том, что через точку, лежащую вне прямой, в определяемой ими плоскости проходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая данной прямой (теорема 5. 24); гарантируя существование такси прямой, эта теорема, однако, не предрешает, будет ли указанная прямая единственной.

 

В зависимости от того, примем ли мы в качестве дополнительного требования, чтобы указанная прямая была единственной или нет, мы получим соответственно либо геометрию Евклида, либо геометрию Лобачевского. Абсолютная геометрия, основанная лишь на аксиомах групп IIV, является общей частью этих геометрий,

Аксиому параллельности евклидовой геометрии можно сформулировать так:

 

V. Пусть а-произвольная прямая и А точка, лежащая вне прямой; тогда в плоскости, определяемой ими, через точку А можно провести не более одной прямой, не пересекающей а*).

 

На основании теоремы 5. 24 и аксиомы V немедленно заключаем, что через точку А проходит одна и только одна прямая, не пересекающая а; эта прямая называется пара л л е л ь н о и к прямой а.

Теперь, опираясь на аксиомы IV, мы имеем возможность доказать весь ряд теорем собственно евклидовой геометрии. Мы можем доказать 5-й постулат Евклида, теорему, обратную теореме 5. 23, теорему о том, что SA = 2d; что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним на смежных. Можно также доказать, что через всяк