Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
» становились логическими следствиями общего определения действительного числа.
С этого момента были поставлены на строго логическую почву все чисто геометрические построения, связанные с непрерывностью прямой, вся теория измерений в геометрии и все здание аналитической геометрии и математического анализа (теория пределов).
Вскоре после Дедекинда понятие непрерывности получило логическую обработку в других формах в работах Вейерштрасса и Г. Кантора. Гильберт в своих Основаниях геометрии выразил непрерывность прямой в виде, отличном от указанных теорий. *//Гильберт в своей системе не пользуется аксиомой Дедекинда, / а вместо неё вводит две.аксиомы аксиому Архимеда и так называемую аксиому полноты, которые в своей совокупности эквивалентны аксиоме Дедекинда относительно аксиом IIII групп. Мы в своём изложении будем исходить из аксиомы Дедекинда. Аксиома Дедекинда формулируется так:
IV. Если все точки отрез к а АВ, включая и его концы, распределены на два класса так, что:
- каждая точка отрезка принадлежит одному и только одному из этих классов,
точка Л принадлежит первому классу,
а точка В второму классу;
каждая точка первого класса, отличная от А, л е ж и т между A и
л ю б о й т о ч к о и в т о рого класса, т о на отрезке АВ
су щеотвует одна и только одна такая точка С, что в с я-
кая точка, лежащая между A и С, п р и я а д л е ж и т первому классу, а всякая точка, лежащая между С и В, принадлежит второму классу. Сама точка С принадлежит либо
первому, либо второму класс у.!
(Не исключено, что точка С может совпасть с одной из точек А или В.)
Точка С называется точкой пограничной между двумя классами; говорят также, что точка С определяет дедекиндово сечение отрезка (дедекиндова точка). \
Замечания: 1) Строго говоря, требование единственности точки С является лишним, ибо может быть доказано. Действительно, допустим, что имеется ещё одна точка С1; производящая сечение отрезка ,4В, и для определённости предположим, что С лежит между А и С1 Так как Q лежит между А и В, то по теореме 4.4 точка С лежит также между С и В. Пусть, теперь M любая точка, лежащая внутри отрезка СС1 По теореме 4-4 эта точка М лежит между А и С х,
т. е. попадает в первый класс; но по той же теореме М лежит между С и В и, значит, относится ко второму классу. Полученное противоречие и доказывает единственность точки С.
2)В условии аксиомы IV говорится, что каждая точка первого
класса, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой
второго класса Можно доказать, что каждая точка
второго класса, отличная от В, лежит между В
и любой точкой первого класса.
В самом деле, пусть Y есть некоторая точка второго класса и X любая точка первого класса. По условию аксиомы точка X лежит между А и Y, в то же время Y лежит между A и В; следовательно, по теореме 4.4 точка Y лежит между X и В.
3)Далее, можно доказать, что ни одна
точка одного из классов не лежит между
к а к о й - л ибо парой точек другого класса. Действительно, допустим, что точка Y второго класса лежит между точками Х1 и X2 первого класса. Тогда по условию аксиомы Х1 лежит между A и К, а К по допущению лежит между X1 и .2, отсюда по теореме 4.3 Y лежит между А и Ха, т. е Х2 не лежит между А и Y (теорема 4.2). Но, с другой стороны, точка первого класса Х2 по условию аксиомы лежит между А и У. Полученное противоречие и доказывает требуемое.
4)Заметим, наконец, что аксиому Дедекинда можно
высказать для всей прямой, для чего достаточно
к первому классу дополнительно отнести все точки прямой, лежащие относительно А по другую сторону, нежели Б, а ко второму
классу все точки прямой, лежащие относительно В по другую
сторону, нежели A.
Из аксиомы Дедекинда можно вывести два фундаментальных предложения постулат Архимеда и принцип Кантора.
IV.1. (Постулат Архимеда.) Пусть АВ и CD д в а произвольных отрезка и пусть на луче AВ с вершиной в A взяты точки A1,A2, A3,..., р а с п оложенные- так, что A1 лежит между A и A2, т очка A2 лежит между A1иA3 и т. д., причём о т-езки AA1, А1А2, A2A3, ... конгруэнтны отрезу CD. Тогда существует такой номер п , что точка С лежит между A и A1
Если воспользоваться понятиями меньше и больше, то постулат Архимеда можно высказать следующим образом. Каковы бы ни были отрезки A В и CD, в с е г д а м о ж н о на прямой последовательно отловить отрезок CD только раз. чтобы полуденный отрезок был больше отрезка A В. Если мы полученный отрезок AA1 обозначим в виде произведения CD, то постулат Архимеда можно ещё выразить так:
Каковы бы ни были отрезки АВ и CD, существует такое натуральное число п, что nCD>AВ.
IV.2. (Принцип вложенных отрезков Кантора.)
Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков Av Вг, A2В2, A3В3, ..., и з которых каждый последующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка. лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой а существует одна я только одна точка Z, лежащая внутри всех отрезков А1В1> A2B2, A3В3,...
Замечание. Если принять принцип Кантора за аксиому, то, строго говоря, в предложении 1V2 достаточно утверждать существов?/p>