Общая характеристика аксиоматики Гильберта

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

изложении учение о равенстве фигур строится двумя способами: либо в качестве основного принимается понятие равенства или конгруэнтности, главные свойства которого описываются в аксиомах, и тогда понятие движения является производным, определяемым; либо за основное принимается понятие движения, главные свойства которого явно формулируются в ряде аксиом, и тогда понятие равенства или конгруэнтности делается производным, определяемым.

Гильберт пошёл по первому пути, приняв в качестве основного понятие конгруэнтности или равенства. Поэтому в системе Гильберта понятие движения является производным и может быть совершенно исключено из геометрии, так каково используется в геометрии только для установления конгруэнтности фигур. При этом, конечно, Гильберт в понятие конгруэнтности не вкладывает никакого конкретного смысла, это может быть любое отношение между отрезками и углами, удовлетворяющее аксиомам третьей группы.

Что касается терминов равенство или конгруэнтность, то предпочтительнее пользоваться вторым термином, ибо рассматриваемое понятие не обладает важнейшим свойством равенства: если к равным прибавить равные, то получатся равные. Так при рассмотрении плоских или пространственных фигур мы не можем утверждать, что в случае конгруэнтности частей фигур будут конгруэнтны и целые фигуры*).

Итак, вводим неопределяемое понятие конгруэнтный в применении к отрезкам и углам, свойства которого выражаются в следующих аксиомах:

Ш.1 Если А и В две точки прямой а и А точка на той же или другой прямой а , то существует на прямой а по данную сторону от точки A такая точка В, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку АВ, что обозначается знаком АВ=АВ. Всегда АВ =ВА.

Короче говоря: Каждый отрезок может быть отложен на любой прямой в ту или другую сторону от любой её точки.

Заметим, что в аксиоме П^ утверждается лишь существование точки В, но ничего не говорится о её единственности, что будет доказано ниже.

Ш2. Если АВ = АВ и АВ^А"В", то АВ = А"В".

Ш3. Пусть АВ и BC Два отрезка прямой а без общих внутренних точек и пусть АВ и ВС два отрезка прямой а (отлично и от а или с ней совпадающей) также без общих внутренних точек. Если

АВ=АВ, ВС^ВС, то АС = АС.

Короче: суммы соответственно конгруэнтных отрезков также конгруэнтны.

Ш4. Пусть дан угол (h, k) в плоскости а, а также определённая относительно прямой а полуплоскость плоскости а, пусть Клуч прямой а, выходящий из точки О. Тогда на плоскости к существует один и только один луч k, такой, что <(h, k) конгруэнтен угол (h, k) и при этом все внутреннее точки угол (h, k) лежат в данной полуплоскости а.

 

Короче говоря: Каждый угол может быть однозначно отложен в данной плоскости по данную сторону при данном луче.

Ш.5. Если для двух треугольников ABC и АВС имеют место конгруэнции: АВ=АВ, AC=AC, ^ ВАС == ^ В АС, т о ^ ABC = ^ АВС,

Теоремы о конгруэнтности отрезков, углов и треугольников

Докажем прежде всего единственность точки В в аксиоме Ш.1, а также свойства рефлективности и симметричности для конгруэнтности отрезков.

Теорема 5. 1. Точка В, о существовании которой говорится е аксиоме III1единственная.

Теорема 5. 2. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е.
AB=BA (свойство рефлективности).
Доказательство:

По аксиоме III.3 AB^ВA и ВA=AВ. Предположим, что AВ^AВ; пусть AВ=AВ, где Вточка луча ДВ. Тогда по аксиоме Ш2 из AВ=ВA и АВ=АВ следует, что ВA=AВ. Но так как ВA=АВ, то по теореме 5.1 точка В совпадает с точкой В, т. е. AВ=AВ.

Теорема 5.3. Если АВ=АВ, то и АВ^АВ (свойство симметричности).

Доказательство:

Пусть AВ=AВ. По теореме 5. 2 АВ=АВ. Следователь-то,

т.о аксиоме III2 AВ=AВ.

Поэтому можно говорить, что отрезки ДВ и ДВ конгруэнтны друг другу.

Теорема 5. 4. Если AВ=AВ и AВ=A"В", то ДВ=A"В". (свойство транзитивности в другой форме).

Теорема 5. 6. (Первая теорема о конгруэнтности треугольников.) Если у двух треугольников ABC и АВС имеем (черт. 109) AВ=AВ, AС=AС, угол A=углуA, то AВС=AВС

Теорема 5. 7. (Вторая теорема о конгруэнтности треугольников.) Если у двух треугольников ABC и АВС имеем (черт. 110)

AВ=AВ, ^А=^А, ^В=^В, то AВС= AВС.

Теорема 5. 8. В равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны.

Доказательство:

Пусть в треугольнике AВС имеем AС=ВС. Рассматриваем этот треугольник, как два треугольника: AВС и AВС, причём вершины последнего соответственно совпадают с вершинами В, A, С данного. Тогда имеем: AС=AС, ВС=ВС, ^AСВ=^АСВ. Следовательно, по теореме 5. 6 AВС=AВС, а поэтому ^ВAС=^ВAС, т. е. ^ВAС=^AВС.

Обратим внимание, что в этих доказательствах мы нигде не пользуемся наложением или вращением, т. е. движением. Везде речь идёт о существовании соответствующих конгруэнтных отрезков или углов. Это полное отсутствие использования понятия движения характерно и для всех прочих доказательств.

Прежде чем получить доказательство третьего признака конгруэнтности треугольников, придётся р