Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
лежат на плоскости M, то три точки A, В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной и только одной плоскости V (аксиомы I4_5). Плоскость , имея с плоскостью а общую точку A, имеет с ней ещё одну общую точку D (аксиома 17). Остаётся доказать существование ещё одной точки на плоскости а.
По аксиоме I8 существует точка М, не лежащая в плоскости V.
Точки A, В и М не лежат на одной прямой, ибо прямая AВ лежит в плоскости V (aксиома I6), а точка М не лежит в этой плоскости. Если точка М лежит на плоскости M, то теорема доказана. Если точка М не лежит на плоскости M, то через три точки A, B и М, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость I (аксиомы 14-8), имеющая с плоскостью а одну общую точку А. По аксиоме 17 плоскости к и у имеют ещё одну общую точку F. Три точки А, D и F плоскости M не лежат на одной прямой. Действительно, если бы A, D и F принадлежали бы одной прямой, то, проходя через точки A и D плоскости I.3, эта прямая по аксиоме I6 лежала бы в плоскости V, а проходя через точки A и F, ока принадлежала бы плоскости у, т. е. эта прямая была бы общей прямой плоскостей V и M. Кроме того, точка В, не лежащая на этой прямой (ибо она не лежит в плоскости M), также является общей точкой плоскостей (В и у. По теореме 3.4 плоскости и долyна на совпасть и, следовательно, точка М должна лежать плоскости V. Полученное противоречие и доказывает, что точки A, D и F не лежат на. одной прямой.
Как впоследствии будет доказано , при помощи одних лишь аксиом соединения нельзя доказать существование бесконечного множества точек у прямой или плоскости. Но если мы воспользуемся аксиомами следующей группы, аксиомами порядка, то это окажется возможным.
4. ГРУППА II АКСИОМЫ ПОРЯДКА
В аксиомах второй группы описываются основные свойства неопределяемого понятия лежать м е ж д у, выражающего некоторое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой. Напоминаем ещё раз, что никакого конкретного содержания и наглядного представления мы с термином лежать между не связываем.
II1. Если точка В лежит между точкой A и точкой С, то A,В,С различные точки одной прямой и В лежит также между С и заметим, что в этой аксиоме фигурируют три точки прямой, одна ко их существование не постулируется, а даётся условно (если...). В следующей аксиоме прямая обогащается ещё одной точкой.
II 2. Если A и В две точки, то на прямой ЛВ всегда существует по меньшей мере одна такая точка С, что В лежит между A и С.
II 3. Из трёх точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.
Эта аксиома означает, что для трёх точек А, В, С прямой не может быть одновременно, чтобы В лежала между A и С, A лежала между В и С и С лежала между A и В. Может иметь место не более одного из указанных положений. Однако будет ли обязательно иметь место одно из них, об этом в аксиоме не говорится и будет впоследствии доказано.
Заметим, что аксиома II3 означает незамкнутость прямой. Если точки A, В и С лежат, например, на окружности, то каждая из этих точек, будет лежать между двумя другими.
Определение. Система двух точек прямой A и В называется отрезком AB или ВA; точки A и В называются концами отрезка; точки, лежащие между А и В (если такие точки существуют), называются точками отрезка АВ или внутренними точками отрезка АВ; все остальные точки прямой АВ называются в н е ш нимии точками к отрезку АВ.
Заметим, что аксиомы II.1-3 не утверждают существования
внутренних точек отрезка, но из аксиомы П2 вытекает, что для всякого отрезка существует по крайней мере одна внешняя точка.
Аксиомы III.1-3 называются линейными аксиомами порядка;
следующая аксиома является плоскостной.
П4. (Аксиома Паша.) Пусть А, В, С т р и т о ч к и, не лежащие на одной прямой, и а прямая в плоскости ABC, н е п р о х о д я щ а я ни через одну из то ч е к А, В, С. Тогда если прямая а проход и через внутреннюю точку отрезка АВ, то она проходит также через внутреннюю точку одного и только одного из двух других отрезков, АС или ВС).
Напомним, что в Началах Евклида совершенно отсутствуют аксиомы, соответствующие аксиомам расположения Гильберта. Перейдём теперь к рассмотрению важнейших теорем, которые вытекают из аксиом первой и второй групп. Прежде всего займёмся установлением существования бесконечного множества точек на отрезке. Как известно, в школьном преподавании этот факт принимается без доказательства.
Теорема 4. 2. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит "между двумя другими.
Доказательство:
Пусть A, В, С точки одной прямой, причём А не лежит между В и С и С не лежит между A и В. Докажем, что обязательно В лежит между A и С. По аксиоме I3 существует точка D, не лежащая на прямой АС (черт 102). По аксиоме П2 на прямой BD существует такая точка G, что D лежит между В .и G. По аксиоме Паша П4, применённой к точкам В, С, G и прямой AD, последняя пересекает отрезок GC в точке Е, лежащей мгжду G и С. Аналогично докажем, что прямая "CD пересекает отрезок AG в точке F. Применяя аксиому П4 к точкам Л, G, Е и прямой CF, убедимся, что точка D лежит между А и Е. Наконец, применяя аксиому П4 к А, Е, С и прямой BG, докажем, что В лежит между Л и С. В силу аксиомы П3 теорема 4.2 полностью доказана.
Деление прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости, пространства на два п?/p>