Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
зываем плоскостями и обозначаем их а, р, 7, . точки называются также э л е ментами линейной геометрии, точки и прямые называются элементами плоской геометрии и, наконец, точки, прямые и плоскости называются элементами пространственной геометрии или элементами пространств а.
Далее, предполагается, что точки, прямые, плоскости находятся в некоторых взаимных отношениях, и обозначаем эти отношения словами лежат, между, параллельный, конгруэнтный и непрерывный)4; точное и для математических целей полное описание этих отношений даётся аксиомами геометрии.
Таким образом, в системе Гильберта основные понятия и аксиомы представляют собой дальнейший процесс абстракции от вещей реального мира, они становятся абстрактными формами с переменным содержанием. Теперь уже слова точка, прямая, плоскость и т. д. обозначают не обязательно те объекты, которые под этими словами привыкли понимать обычно, а могут обозначать объекты любой другой природы, лишь бы отношения между ними лежит, между, конгруэнтный, также понимаемые определённым образом, удовлетворяли той же системе аксиом. Эго значит, что мы теперь абстрагируемся от качественной природы геометрических объектов, для нас важно лишь, чтобы структура отношений между ними была такова, что для них выполняются все аксиомы Гильберта. Но раз для различных систем объектов будут справедливы эти аксиомы, то и все логические следствия из них, т. е. все теоремы геометрии, остаются справедливыми, независимо от природы рассматриваемых объектов, т. е. отпадает необходимость повторять доказательства теорем для каждой системы объектов.
Это приводит нас к возможности различных истолкований одной и той же геометрии. Удаляя из геометрии всё, что связано с обычными пространственными представлениями, и оставляя лишь её логический скелет, мы получаем возможность заполнять его различным конкретным материалом.
Пространственное представление играет чрезвычайно большую роль при самом построении аксиоматики. Оно определяет, что должно быть охвачено системой аксиом, и указывает путь, на ко котором могут быть получены новые результаты, новые абстрактные формулировки.
Однако в готовой уже системе ссылки на ту или иную конкретную интерпретацию не должны иметь место. Пространственное представление можно сравнить в этом отношении с лесами, необходимыми при постройке аксиоматического здания, но которые убираются, когда оно закончено (Р. Б а л ь д у с Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933).
Обычное понимание геометрических элементов и отношений между ними является лишь одним из таких возможных истолкований. Так, например, аксиома Через всякие две точки проходит одна и только одна прямая может быть истолкована обычным образом. Но мы можем придать ей другой смысл, понимая под точками пары вещественных чисел (х, у), под прямой уравнение ах + + by +==0, а под термином прямая проходит через точку тот факт, что числа х, у удовлетворяют указанному уравнению. Можно также под точками понимать обычные прямые, проходящие через данную точку О, а под прямой плоскость, проходящую через две такие прямые, и опять указанная аксиома в этом новом истолковании остаётся справедливой.
Другим примером может служить выполнение всех аксиом евклидовой планиметрии на орисфере в системе орициклов. Понимая под плоскостью орисферу, под прямой орицикл на орисфере, под точкой точку на орисфере, мы получаем новое истолкование всех аксиом Евклида.
Этот процесс совершенно аналогичен процессу абстрагирования , в алгебре, когда, например, под символом а + Ь сперва понимается лишь обычное сложение двух конкретных чисел, а затем сложение любых чисел, а затем под а, Ь и + понимаются объекты и отношения другой природы, как, например, сложение векторов, матриц, тензоров и т. д.
Однако не нужно думать, что при таком абстрактном понимании геометрия теряет реальную почву. Наоборот, возможность различных реализаций, разнообразных конкретных истолкований геометрии расширяет область её приложений.
Если раньше геометрия развивалась применительно к объектам конкретной области, то теперь, когда в аксиомах не сообщается, о каких объектах идёт речь и каков конкретный смысл отношений, в которых эти объекты выступают, мы в геометрии изучаем свойства количественных отношений и пространственных форм во всей их общности. Оказалось, таким образом, что хотя геометрия была изобретена и развита с той целью, чтобы изучить свойства физического пространства, но её истины имеют, однако, более общее значение и остаются в силе и для многих объектов, которые качественно отличны от объектов, связанных с обычными нашими геометрическими представлениями.
Огромная степень абстракции не уменьшает, а неизмеримо умножает возможности применения геометрии к изучению закономерностей реального мира. Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит, если оно правильное, от истины, а подходит к ней... Все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее (В. И. Ленин).
Таковы общие замечания по вопросу о понимании сущности основных понятий и аксиом в системе Гильберта, которые читатель должен иметь постоянно в виду.
С указанной точки зрения понятно, что, строго говоря, при построении геометрической абстрактно-логической системы чертежи и обычные пространстве