Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АКСИОМАТИКИ ГИЛЬБЕРТА
Имеется принципиальная разница в постановке вопроса об аксиоматическом обосновании геометрии у Гильберта от той постановки, которая имела место до него.
Евклид в своих Началах наметил идеал строго логического изложения геометрии, хотя и не смог до конца выполнить свой замысел. Согласно этому замыслу необходимо строго отделить минимум того, что должно быть заимствовано и абстрагировано из опыта и геометрической интуиции и с полной ясностью и отчётливостью высказано в аксиомах, от того, что должно быть выведено из аксиом исключительно логическим путём без всяких обращений к очевидности и опыту. Весь длительный путь развития геометрии от Евклида до Гильберта показывает, насколько было трудно осуществить эту задачу. Трудность её таилась в трудности преодоления влияния очевидности, наглядных представлений на логический процесс при выяснении необходимых и достаточных первоначальных предпосылок геометрии.
Наше пространственное воображение, наглядные представления и конкретное понимание геометрических понятий являются весьма ценным и необходимым спутником нашего мышления. Они в логическом процессе играют наводящую роль и служат как бы предварительной ориентировке в изучаемых явлениях. Они дают возможность охватить эти явления в целом и наметить тот путь, по которому следует направить логические рассуждения для окончательного доказательства истины и проверки фактов, добытых при помощи наблюдения и опыта.
Короче говоря, созерцание намечает, логика проверяет; созерцание предсказывает, логика устанавливает; созерцание открывает, логика доказывает (В. Ф. Каган).
Одна логика не может нам объяснить, почему мы в качестве аксиом выбираем то или иное предложение, почему мы выбираем .для изучения то или иное понятие. Первостепенную роль при выборе аксиом и геометрических понятий играют опыт, индукция, наглядные представления, чертёж. Они играют большую роль также в нахождении самого пути логического доказательства, в построении той цепи умозаключений и аргументов, которые обосновывают доказываемое предложение. Одна логика не может объяснить, почему при доказательстве избираются эти построения и преобразования, а не другие. Здесь мы имеем широкое поле действия геометрической интуиции, наглядности, догадки*).
Во-первых, если наши геометрические понятия о точке, прямой и т. д. неразрывно связаны с определёнными конкретными наглядными представлениями, то это ведёт к потере общности и к сужению поля применимости геометрических истин и логических рассуждений, ибо создаётся впечатление, что эти истины и рассуждения справедливы только по отношению к тем объектам реального мира, которые отражаются в наших наглядных представлениях, хотя, возможно, они имеют силу и в отношении объектов другой природы. Таким образом, из-за деревьев мы не видим леса.
Во-вторых, при строго логическом построении геометрии в геометрических понятиях и аксиомах должны найти своё выражение лишь те свойства и отношения объектов реального мира, которые являются существенными для логических рассуждений. Только эти существенные признаки и должны быть отмечены в аксиомах и определениях. Все остальные признаки и стороны этих объектов должны быть оставлены в стороне, как не играющие никакой роли в рассуждениях и не имеющие значения для дедукции. Мы должны от них отвлечься. Между тем если наши геометрические понятия срастаются с обычными их наглядными конкретными представлениями, то указанные существенные свойства сливаются в нашем представлении со многими другими несущественными для логических выводов свойствами. Эго чрезвычайно затрудняет выделение существенных для дедукции признаков и установление их логических зависимостей. Вместе с тем чрезвычайно затрудняется выделение минимума исходных предпосылок геометрии и проверка их на непротиворечивость, независимость и полноту.
Поэтому, если мы ставим перед собой задачу составить полный перечень аксиом геометрии, а также разработать принципы проверки их на непротиворечивость и независимость и сохранить общность геометрических истин, мы прежде всего должны позаботиться о максимальном устранении влияния наглядных представлений на наши рассуждения. Мы должны отвлечься от всего несущественного и безразличного для логического построения геометрии, добиваясь наибольшей общности и применимости получаемых выводов к изучению объектов реального мира.
И вот Гильберт установил совершенно новую точку зрения на .основные понятия и аксиомы геометрии Если до Гильберта под аксиомами геометрии понимались совершенно конкретные познавательные истины, относящиеся к вполне определённым конкретным объектам точкам, прямым, плоскостям и т. Д., которые связаны с вполне определёнными пространственными представлениями, то для Гильберта основные понятия геометрии (а следовательно, и производные) не связываются ни с какими конкретными объектами, они вводятся без п р я м ы х определений и всё, что о них необходимо знать, излагается в" аксиомах. Аксиомы Гильберта являются в этом смысле косвенными оп ре делениями основных понятий.
Гильберт, начиная изложение своих Оснований геометрии, предполагает существование трёх различных систем вещей, природа которых безразлична: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем их А, В, С,...; вещи второй системы называем прямыми и обозначаем их а, Ь, с,...; вещи третьей системы мы на