Образное мышление как необходимая компонента теоретического мышления (на материале математики)
Дипломная работа - Психология
Другие дипломы по предмету Психология
±ольше его ширины. Когда ширину увеличили на три метра, то площадь его увеличилась на 24 метра. Определить первоначальную длину и ширину прямоугольника.
При решении этой задачи может возникнуть ряд вопросов. Во-первых, для того, чтобы решить подобную задачу требуется составить уравнение, для которого нужно два параметра, через которые выражается третий, в этой задачи не дано не одного значения. Во-вторых, площади двух прямоугольников связаны отношением целого и части через величину их разницы - 24 , но значения этих площадей не даны. Таким образом, получаем, что мы не можем решить задачу, используя стандартные способы для составления уравнения, позволяющего ее решить.
Новое средство решения задачи - применение графических изображений. Построение изображений:
1.Длина прямоугольника больше его ширины:
2.Когда ширину прямоугольника увеличили на 3 метра
Поскольку относительно длины ничего не сказано, то предполагается, что она осталась прежней. Появляется изображение второго прямоугольника.
…то площадь его увеличилась на 24 .
Теперь введя в изображение обозначение параметров, мы получим искомое уравнение, при этом необходимо опираться на представление о связи трех параметров через соотношение .
Ширина первого прямоугольника
Длина первого прямоугольника вдвое больше ширины
Длина второго прямоугольника осталась прежней
Ширина второго прямоугольника увеличилась на 3 метра:
Подставляем эти выражения в изображение:
и, поскольку площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, имеем:
Искомое уравнение:.
Отметим, что изображение устроено таким образом, что по вертикали откладывалась ширина, а по горизонтали - длина прямоугольника. Выписывая, зависимость величин площади от ширины и длины прямоугольника получим
,
где - длина прямоугольника, - ширина прямоугольника.
Таким образом, мы показали, как с помощью учебного образа можно решить задачу, казалось бы, на первый взгляд не разрешимую. Стоит заметить, что в данной задаче речь идет о геометрических фигурах - прямоугольниках (в условии сказано, что требуется найти ширину и длину именно прямоугольника). Можно подобным образом, используя прямоугольники, как учебный образ решить негеометрическую задачу.
Рассмотрим задачу № 1199 из [20].
Задача: Бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 27 деталей, бригада за 7 дней работы не только выполнила задание, но и еще изготовила 54 детали сверх нормы. Сколько деталей в день изготовляла бригада?
Чтобы решить эту задачу требуется составить уравнение. Но при составлении могут возникнуть вопросы: например, как выразить три слагаемых в уравнении, если дано только одно.
Для того чтобы решить задачу воспользуемся опять образом - прямоугольником. По вертикали и горизонтали будем откладывать время и мощность (производительность в день), а в центре прямоугольника писать значение для работы. По алгоритму предшествующей задачи, мы получим такое изображение:
В результате получим:
То есть, имеем уравнение . Таким образом, используя прямоугольники, мы смогли выразить три слагаемых через одно.
Если выписать формулы соответствующей зависимости величины работы от мощности и времени, то можно заметить, что
,
где - работа, - мощность, - время.
Сопоставляя формулы для работы и площади из предыдущей задачи, приходим к выводу: во-первых, в них связываются три величины; во-вторых, если обозначать эти величины (параметры) буквами , то их зависимость задается формулой . Итак, осознанное решение задачи можно достичь, не меняя условия задачи, как это делается в большинстве случаях в школе. А, используя образ, в данном случае - прямоугольник, можно решить задачу быстрее и достичь осознанного решения.
2.Образ в исследовании
Применение образа для вывода теоремы (формулы):
(Пример учебного исследования)
Учебный образ позволяет создать (восстановить) связь субъективного и объективного содержания. Образ должен способствовать возникновению теоретического понятия. Рассмотрим, как, применяя образ можно вывести теоретическое понятие, на примере формул сокращенного умножения.
Рассмотрим четыре формулы сокращенного умножения, которые в школе не выводятся, а даются как уже готовый материал.
В начале рассмотрим формулу:
.
Если отбросить правую часть, то получим , т.е. разность квадратов и . Известно, что площадь квадрата выражается формулой , где - сторона квадрата. Таким образом, можно заметить, что - это разность площадей двух квадратов, со сторонами и . Возьмем в качестве образа - квадрат.
Возьмем два квадрата со сторонами и , причем квадрат со стороной находится внутри квадрата со стороной
Если мы из одного квадрата вырежем другой, то у нас останется фигура площади , которую можно разбить на два прямоугольника.
Один со сторонами и ; его площадь . Другой прямоугольник со сторонами и площадь, которого равна
Так как, два прямоугольника составляют полную фигуру, то, приравнивая, получаем:
,
В итоге, получаем:
Теперь рассмотрим формулу:
.
В данном случае