Geum.ru

Информация по предмету Математика и статистика

  • 181. Замечательные кривые в математике
    Другое Математика и статистика

    Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).

  • 182. Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль ...
    Другое Математика и статистика

    Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).

  • 183. Зарождение и создание теории действительного числа
    Другое Математика и статистика

    Дедекинд, также как и Вейерштрасс, обнаружил логическую трудность перехода от геометрического анализа к арифметическому, состоящую в неопределенности вещественного числа. Свое построение действительного числа Дедекинд относит к осени 1858 года. Поход к вещественному числу Дедекинда близок к подходу Евдокса настолько, что некоторые математики не сразу видели различие[10]. Дедекинд исходит из геометрического представления о том, что точка делит прямую на две части, которые условно можно назвать правой и левой. Далее Дедекинд определяет сечение множества рациональных чисел как пару подмножеств Q, такую что любой элемент из одного множества всегда больше любого элемента из другого множества. Для определенности будем считать, что . Сечения могут быть определены рациональным числом, тогда либо имеет минимальный элемент, либо имеет максимальный элемент. Если же мы построим сечение обладающее таким свойством, то оно определяет рациональное число. Однако, существуют сечения не имеющие такое свойство, например сечение всех рациональных чисел, определенное неравенством . Таким образом, при помощи сечения можно определить новое число,которое однозначно определяется сечением. Отношение равенства и порядка устанавливаются при помощи двух множеств сечения Дедекинд показал, что существует только три соотношения между классами сечения, которые и определяют упорядоченность поля вещественных чисел. Как и Кантор, он доказал полноту построенного множества чисел.

  • 184. Зарождение математики в Древнем Китае
    Другое Математика и статистика

    ПЭКЧЕ. В VVI вв. в Китае прославились математики Цзу Чун и его сын Цзу Хэн. и строительство Цзу Чун вычислил отношение длины окружности к ее диаметру (число пи), которое получило приближение 3,1415927... В Европе к этому пришли лишь в 1573 г. Значение данного вычисления было высоко оценено математиками Дальнего Востока. В Японии число пи получило наименование «числа цзу». Цзу осуществил подробное исследование и комментарий китайской «Математики в девяти книгах» (Цзючжан суаньму»), разработку китайского календаря. Обмеры развалин дворцов и храмов Пэкче показывают, что в строительстве широко применялся принцип масштабности, пропорциональности. Так, при обмере строений горной крепости в Оксо ширина нижней части квадрата платформы составила 40 футов (т. е. чи государств Восточная Вэй и Коре), а верхней квадратной платформы 36 футов, таким образом, деревянная надстройка занимает 3/5 нижней платформы, т. е. 24 фута. Расстояние между столбами тоже составляет 8 футов. Верхняя часть платформы как бы делится на 20 частей. При постройке этой платформы в основу была положена ее нижняя часть, и в дальнейшем строители руководствовались простой пропорциональностью. Излюбленной формой при постройке платформ был квадрат или прямоугольник, одна из сторон которого была вдвое больше другой. Этот строительный прием уходит корнями в ханьскую архитектуру. Для выполнения ответственных строительных работ был создан при дворе инженерный отдел, в который входили мастера по возведению храмов, каменотесы-гранильщики, мастера по изготовлению черепицы, декораторы. Строители Пэкче славились своим мастерством, они помогали Силла возводить 9-этажную пагоду монастыря Хванёнса, в 577, 588 гг. они ездили в Японию с аналогичной целью. У себя в стране они воздвигали сложные дворцовые ансамбли.

  • 185. Зарождение науки о закономерностях случайных явлении
    Другое Математика и статистика

    Задача кавалера де Мере. Кавалер де Мере, один из французских придворных, был азартным игроком. Денежный выигрыш при игре в косит обычно зависит от комбинации выпивших чисел, на которую делается ставки. Одна из таких комбинацийвыпадение хотя бы одной шестёрки при четырёх бросаниях игральной кости. Де мере смог подсчитать число шансов этой комбинации. Общее число исходов при четырёх бросаниях игральной кости равно 64=1296. Число шансов появления хотя бы одной шестерки составляет 6-5 =671 , так как шестёрки не выпадает ни разу в 5 случаях. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки при четырёх бросаниях равна 671/1296~0,518> 1/2, поэтому при четырёх бросаниях выгодно делать ставку на то, что выпадет хотя бы одни шестёрка. чем на то, что не выпадет ни одной. Повидимому, многие опытные игроки знали, что первая комбинация появляется чаще, чем вторая, и найти партнёра ни такую игру было трудно. Более сложные комбинации возникали, если бросали сразу две кости. Де Мере пытался определить, сколько раз надо бросить пару костей, чтобы вероятность хотя бы одного появления двух шестёрок была больше 1/2. Он подсчитал, что достаточно 24 бросаний. Однако опыт игрока заставил де Мере сомневаться в правильности своих вычислений. Тогда он обратился с этой задачей к математику Блезу Паскалю, который предложил правильное решение. Учёный определил, что при 24 бросаниях пары костей две шестёрки появляются хотя бы раз с вероятностью, меньшей 1/2, а при 25 бросанияхс вероятностью, большей 1/2.В самом деле, если бросить один раз пару костей, две шестёрки выпадут с вероятностью 1/36, а не выпадутс вероятностью 1-1/36=35/36. При n бросаниях пары костей число шансов непоявления пары шестерок равно 35, а общее число исходов составит 35.Поэтому игрок, делающий ставку на событие А выигрывает примерно а 50,5% игр, а игрок, делающий ставку на событие А примерно в 49,1% игр. Эта задача кавалера де Мере заставила Паскаля заняться изучением случайных событий. А в переписке Блеза Паскаля и Пьера Ферма впервые стали упоминаться понятия теории вероятностей. Подсчёт всех возможных и благоприятствующих данному событию случаев нередко представляет большие трудности. Вот почему для решения таких задач некоторые игроки обращались к крупным учёным. Рассказывают, что Гюйгенсу был задан такой вопрос: Если бросить одновременно три игральных кости, то какая сумма очков будет выпадать чаще11 или 12? Подсчёт всех различных случаев здесь прост: N=6 =216. Подсчёт же М здесь сложен. Сумма 11 может получиться следующими шестью различными способами: 1+4+6, 1+5+5, 2+3+6, 2+4+5, 3+3+5. 3+4+4. Также шестью различными способами образуется сумма 12: 1+5+6, 2+4+6, 2+5+5, 3+3+6, 3+4+5, 4+4+4. Это обстоятельство наводит на мысль, будто обе суммы должны появляться одинаково часто. Однако это неверно. Уже на практике было замечено, что сумма 11 появляется чаще суммы 12. Дело а том, что вышеуказанные по три числа сами по себе неодинаково часто выпадают. Так, если каждую из трех костей окрасить по-разному, скажем в белый, красный и зелёный цвет, то становится ясным, что сочетание, а котором имеются три различных слагаемых, например (1+4+6), может получаться шестью различными способами:

  • 186. Звездные системы и метагалактика
    Другое Математика и статистика

    В этот же период Э.Хаббл, В.Слайфер, М.Хьюмасон и другие астрономы занимались фотографированием спектров галактик и обнаружили, что некоторые из галактик, согласно результатам измерений доплеровского смещения спектральных линий, движутся с поразительными скоростями. Эффект Доплера представляет собой изменение длины волны наблюдаемого света от объекта, который приближается к наблюдателю или удаляется от него. Если объект приближается, то возникает фиолетовое смещение, а если удаляется, то красное. Э.Хаббл показал, что скорость относительного движения галактик прямо пропорциональна расстоянию между ними (рис. 3). Почти у всех галактик наблюдались красные смещения, что говорило о том, что они от нас удаляются. И только галактики Местной группы имели фиолетовое смещение. Например, средняя скорость удаления от галактик скопления в созвездии Девы составляет 1000 км/с. В настоящее время астрономы обнаружили объекты, удаляющиеся со скоростями, равными 80 и более процентов скорости света. Связь между скоростями галактик и расстояниями до них известна под названием закона Хаблла

  • 187. Звезды и люди
    Другое Математика и статистика

    Знакомясь с техникой астрологических прогнозов, ученые обычно задаются двумя вопросами: насколько точно оправдываются прогнозы астрологов и в какой степени с точки зрения физики могут влиять планеты на Землю и человека? Рассмотрим сначала второй вопрос. Из всех видов физических взаимодействий сколько-нибудь серьезно можно говорить лишь о гравитации остальные поля, потоки частиц и излучения от звезд и планет так слабы в окрестности Земли, что их регистрация даже чуткими современными приборами требует немалых усилий. Какие небесные объекты влияют на Землю и в каково это влияние? Прежде всего, влияет Луна. Ближайшая к Луне точка земного шара притягивается к ней на 6% сильнее, чем наиболее удаленная. Эта разница сил растягивает нашу планету вдоль направления Земля Луна. А поскольку тело Земли вращается относительно этого направления с периодом около 25 часов, по телу нашей планеты с таких же периодом пробегает двойная приливная волна два «горба» в направлении растягивания и две «долины» между ними. В твердом теле планеты высота этих горбов невелика, всего около полуметра. Такая же она и в открытом океане. Поэтому мы не замечаем приливов ни в океане, ни на суше. И только на узкой береговой полосе можно заметить приливы-отливы благодаря подвижности океанской воды, которая, набегая приливной волной на берег, может по инерции подняться весьма высоко.

  • 188. Звезды. Классификация и строение звезд
    Другое Математика и статистика

    Когда весь водород в центральной области превратится в гелий, внутри звезды образуется гелиевое ядро. Теперь уже водород будет превращаться в гелий не в центре звезды, а в слое, прилегающем к очень горячему гелиевому ядру. Пока внутри гелиевого ядра нет источников энергии, оно будет постоянно сжиматься и при этом еще более разогреваться. Сжатие ядра приводит к более бурному выделению ядерной энергии в тонком слое у границы ядра. У более массивных звезд температура ядра при сжатии становится выше 80 млн. Кельвинов, и в нем начинаются термоядерные реакции превращения гелия в углерод, а потом и в другие более тяжелые химические элементы. Выходящая из ядра и его окрестностей энергия вызывает повышение газового давления, под действием которого фотосфера расширяется. Энергия, приходящая к фотосфере из недр звезды, распространяется теперь на большую площадь, чем раньше. В связи с этим температура фотосферы понижается. Звезда сходит с главной последовательности, постепенно превращаясь в красного гиганта или сверхгиганта в зависимости от массы, и становится старой звездой. Проходя стадию желтого сверхгиганта, звезда может оказаться пульсирующей, то есть физической переменной звездой, и остаться такой в стадии красного гиганта. Раздувшаяся оболочка звезды небольшой массы уже слабо притягивается ядром и, постепенно удаляясь от него, образует планетарную туманность. После окончательного рассеяния оболочки остается лишь горячее ядро звезды - белый карлик.

  • 189. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
    Другое Математика и статистика

    и построим две ступенчатые фигуры, состоящие из выступающих и входящих прямоугольников так, как показано рис. 1. Площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1, x = n, y=0 и кривой y = f(x) равна

  • 190. Значение решения проблемы V постулата Евклида
    Другое Математика и статистика

    Характерна в истории открытия неевклидовой геометрии роль одного из крупнейших математиков того времени К.Ф.Гаусса (1777-1855). Он много лет занимался теорией параллельных и ещё в 1824 году писал Тауринусу: «Допущение, что сумма углов треугольника меньше , приводит к своеобразной геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил её для себя вполне удовлетворительно». Однако за всю свою жизнь Гаусс среди множества своих научных работ не решился опубликовать ни одного исследования по неевклидовой геометрии. «Я боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения»,- писал он Бесселю, намекая на ограниченность современных математических кругов. Осторожность Гаусса в отношении к вопросам неевклидовой геометрии не только не позволила ему выступить от своего имени, но помешала даже поддержать своим авторитетом других новаторов геометрии: он умалчивал об их открытиях и расхолаживал обращавшихся к нему авторов в их намерениях. «Осы, гнездо которых вы разрушаете, подымутся над Вашей головой»,- писал он Герлингу, приславшему ему свою работу о параллельных. Восторженно отзываясь в одном из частных писем об «Аппендиксе» и называя молодого Бояи «гением первой величины», Гаусс тем не менее не оказал ему необходимой моральной поддержки и в отзыве, направленном его отцу, выражался очень сдержанно и подчёркивал, что открытия Яноша для него лично не являются новыми.

  • 191. Золотое сечение
    Другое Математика и статистика

    В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

  • 192. Золотое сечение
    Другое Математика и статистика

    Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты ,чертежи или наброски исходя из соотношения золотого сечения. Леонардо Да Винчи создавал свои шедевры досконально изучив параметры человеческого тела и используя формулу золотой пропорции. Ле Корбюзье возводил свои архитектурные произведения, считающиеся шедеврами инженерной мысли также используя формулу Фибоначчи. Самая главная книга всех архитекторов - справочник Нойферта «Строительное проектирование» основано на параметрах туловища человека, заключающих в себе золотую пропорцию. Пропорции различных частей нашего тела составляет число очень близкое к золотому сечению. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы соотношение по данной схеме всегда равно золотому сечению. В строении черт лица человека также есть множество примеров приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Наличие золотого сечения на лице и теле человека и есть идеал красоты. Если принять центром человеческого тела центр пупка , а расстояние от ступни человека до точки пупка за еденицу измерения, то весь рост человека равен соотношению 1:1,618. Кроме того есть еще несколько основных золотых пропорций нашего тела. Соотношения расстояния от кончиков пальцев до локтя и от запястья до локтя равно отношению 1:1,618. Соотношения расстояния от уровня плеча до макушки головы = 1:1618. Соотношение от точки пупка до макушки, от уровня плеча до макушки головы равно 1:1,618, от пупка до коленей и от коленей до ступней =1:1,618. Соотношение высоты лица и ширины лица =1:1,618 ,расстояние от бровей до центра губ и высоты носа=1:1,618, от макушки до подбородка и, от линии бровей до подбородка =1:1,168..соотношение ширины рта и ширина носа 1:1,618, соотношение ширины носа и ширины ноздрей, соотношение ширины между глазами и расстояния между бровями=1:1,618

  • 193. Золотое сечение в природе и искусстве
    Другое Математика и статистика

    Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.

  • 194. Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями
    Другое Математика и статистика

    В некоторых химических реакциях концентрации реагентов осциллируют в следующем смысле. Соединение каких-то начальных веществ приводит к их химическому взаимодействию, в результате чего образуются новые вещества, которые также начинают взаимодействовать с другими реагента-ми. В течении всех этих реакций концентрации реагентов колеблются и, на-конец, все химические преобразования завершаются и в качестве результата остаются какие-то определенные вещества, которые уже не реагируют между собой. Первая математическая модель осциллирующих химических реакций была предложена в работе Лотки [7].

  • 195. Известные математики (Софья Васильевна Ковалвская)
    Другое Математика и статистика

    решив добиваться права на посещение лекций знаменитого немецкого математика К.Вейерштрасса. Вейерштрасс читал лекции в Берлинском университете , куда женщины не допускались .Сам Вейерштрасс считал , что в университете , а особенно на математическом фркультете , женщинам учиться нельзя . Однако Ковалевская добилась того , чтобы Вейерштрасс проэкзаменовал ее . Вейерштрасс предложил ей задачи ,которые сам считал трудными для таких экзаменов . Каково же было удивление профессора , когда на следующий день молодая женщина принесла ему блестяще решенные задачи ! Вейерштрасс согласился заниматься с ней частным образом . Вскоре он признал особое математическое дарование своей ученицы.Он писал : * Что касается математического образования Ковалевской ,то я имел очень немного учеников ,которые могли бы сравниться с ней по прилежанию , способностям ,

  • 196. Измерение времени
    Другое Математика и статистика

    Нулевой меридиан проходит через Гринвичскую обсерваторию, расположенную недалеко от Лондона. Человек живет и работает по солнечным часам. С другой стороны, астрономам для организации наблюдений нужно именно звездное время. В каждой местности существует свое солнечное и свое звездное время. В городах, расположенных на одном меридиане, оно одно и то же, а при перемещении вдоль параллели оно будет меняться. Местное время удобно для повседневной жизни оно связано с чередованием дня и ночи в данной местности. Однако многие службы, например, транспорт, должны работать по одному и тому же времени; так, все поезда в России идут по московскому времени. Чтобы не возникало путаницы, было введено понятие гринвичского времени (UT): это местное время на нулевом меридиане, на котором расположена Гринвичская обсерватория. Но россиянам жить по одному времени с лондонцами неудобно; так появилась идея поясного времени. Были выбраны 24 земных меридиана (через каждые 15 градусов). На каждом из этих меридианов время отличается от всемирного на целое число часов, а минуты и секунды совпадают с гринвичскими. От каждого из этих меридианов отмерили 7,5° в обе стороны и провели границы часовых поясов. Внутри часовых поясов время всюду одинаково. Для того, чтобы отдельные населенные пункты не оказывались сразу в двух часовых поясах, границы между поясами немного сдвинули: они проводятся по границам государств и областей. В нашей стране поясное время было введено с 1 июля 1919 года. В 1930 году на территории бывшего Советского Союза все часы были переведены на час вперед. Так появилось декретное время. А в марте россияне переводят часы еще на час вперед (т.е. уже на 2 часа по сравнению с поясным) и до конца октября живут по летнему времени. Подобная практика принята во многих европейских странах.

  • 197. Изучение динамики затрат на машиностроительном предприятии
    Другое Математика и статистика

    Результаты приведены в Прил.2. На их основании можно сделать вывод, что основное снижение себестоимости продукции поизошло за счёт уменьшения затрат на покупные изделия и полуфабрикаты, что составило 829,2 тыс.руб.(2,6%). На 120 тыс.руб. (0,4%) снизиилась себестоимость за счёт уменьшеия заработной платы основных производственных рабочих. Также себестоимость снизилась за счет таких статей затрат как: затраты на топливо и энергию, отчисления на социальное старховаие и общепроизводственные расходы на 18; 7,2; 72 тыс. руб. соответственно. А за счёт увеличения объёмов общехозяйственных расходов, себестоимость выросла на 0,86% (258 тыс.руб.) За счёт увеличения объёма затрат на сырьё и материалы себестоимость повысилась на 0,48%, что составило 144 тыс.руб., а также за счёт увеличения затрат на содержание и эксплуатацию оборудования на 0,15% или на 44,4 тыс.руб.

  • 198. Изучение состава кадров на промышленном предприятии
    Другое Математика и статистика

    №ФИОПрофессияРазрядСтепень выполнения норм, %Стаж, летЗарплата,т.р.1АлексеевБурильщик5117,481100,12АнтоновБурильщик5118,381121,33БердяевПроходчик3102,45700,54ВоронинВзрывник5113,74801,55ДержавинПом.бурильщика4101,54714,56ДронинБурильщик7127,5171500,57ДьячновПроходчик6118,491100,98ЖилинПроходчик497,40,8575,89КняжевВзрывник7134,5191598,510КорлевПом.бурильщика498,52704,511КосинПом.бурильщика4101,57714,512ЛаминПом.бурильщика4109,47763,113МарковГорнорабочий2121,35670,414МосквинПроходчик4117,44764,315НосовВзрывник7129,761307,416ОсиповПом.бурильщика5118,64800,417ПахомовПом.бурильщика4103,33619,418ПетровБурильщик7136,7161607,419Порохов Взрывник6114,94614,120РодгеПом.бурильщика4100,32691,821РылинПом.бурильщика3100,92576,422СветловБурильщик599,64900,723ТихиновВзрывник6105,47587,324ТороповПроходчик6103,710814,425УфимовПроходчик5111,111767,526ФренкельБурильщик7127,3121409,527ФроловБурильщик7129,9151499,528ХвостовПом.бурильщика6117,711904,429ЦветовПом.бурильщика5105,410871,330ЯровПом.бурильщика5103,210860,5

  • 199. Изучение физических принципов работы аппаратуры в курсе "Технические средства обучения"
    Другое Математика и статистика

    Следует отметить, что преподаватели ТСО делятся на две группы, назовем их условно "методисты" и "техники". Первые считают, что в основе преподавания ТСО должна лежать методика применения технических средств, а знание техники - дело десятое. "Техники" же полагают, что основа данного предмета -- изучение устройства аппаратуры, ее принципа действия и правил технически грамотной эксплуатации. В "технической" концепции изучение методики применения ТСО есть прерогатива частных методик преподавания, а в курсе ТСО следует рассмотреть лишь самые общие принципы применения. Автор этой статьи является сторонником "технической" концепции.

  • 200. Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике
    Другое Математика и статистика

     

    1. Аносов Д.В. Проблемы модернизации школьного курса математики//Математика в школе. 2000. - №1. с.2-4.
    2. Беляков Е. Математика царица наук? Кажется, этот предмет немного устарел//Учительская газета. 1999. - №20.
    3. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М.: Мир, 1971. 246 с.
    4. Гнеденко Б.В. Статическое мышление и школьное математическое образование//Математика в школе. 1999. - №6. с.5-8.
    5. Историческое введение в теорию Галуа/Сост. Марков С.Н. Иркутск: ИГУ, 1997. 20 с.
    6. Каргополов М.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.
    7. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. М.: Наука, 1979. 112 с.
    8. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967. 648 с.
    9. Концепция математического образования в 12-летней школе//Математика (приложение к «Учительской газете»). 2000. - №7. с.1-5.
    10. Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей пед. институтов. М.: Просвещение, 1993. 288 с.
    11. Карп А.П. Даю уроки математики…: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1992. 191 с.
    12. Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я. Упражнения по теории групп. М.: Наука, 1967. 304 с.
    13. Монахов В.М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по математике//Математика в школе. 1981. - №6. с.8-10.
    14. Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. Минск: Издательство БГУ, 1982. 256 с.
    15. Методическая разработка по современной алгебре к разделу «Элементы теории групп и ее приложения»/Сост. Карижская Е.В., Толстова Г.С. Л., 1990. 42 с.
    16. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики/Сост. Калягин Ю.М. и др. М.: Просвещение, 1977. 480 с.
    17. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост. Черкасов Р.С., Столяр Е.С. М.: Просвещение, 1985. 336 с.
    18. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост. Оганесян В.П., Калягин Ю.М. М.: Просвещение, 1980. 368 с.
    19. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Проблемы современной методики математики. Минск: Университетское, 1989. 160 с.
    20. На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов/Сост. Маркушевич А.И. М.: Просвещение, 1980. 368 с.
    21. Новое в школьной математике//Сост. Яглом И.М. М.: Знание, 1972. 199 с.
    22. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. М.: Учпедгиз, 1963. 1999 с.
    23. Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Фомирование мыслительных операций у старшеклассников. М.: Педагогика, 1989. 152 с.
    24. Панамарчук В.Ф. Школа учит мыслить. М.: Просвещение, 1979. 144 с.
    25. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Высшая школа, 1986. 414 с.
    26. Фирсов В.В., Шварцбург С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике. М.: Просвещение, 1977. 48 с.
    27. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. Пер. с венгерского Данилова Ю.А. М.: Ми, 1979. 260 с.
    28. Холл Ю.А. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 468 с.
    29. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. 160 с.
    30. Шварцбург С.И., Фирсов В.В. О характерных особенностях факультативных занятий//Математика в школе. 1972. - №1. с.55-59.