Математика и статистика

2321. Шар и сфера
Информация пополнение в коллекции 09.12.2008
Оглавление:
1. Вступление…………………………………………………………………………………..2
2. Шар и сфера…………………………………………………………………………………3
3. Шар и шаровая поверхность……………………………………………………...3
4. Взаимное расположение шара и плоскости……………………………………..3
5. Принцип Кавальери. Нахождение объёмов тел с помощью принципа Кавальери…………………………………………………………………………..6
6. Интегральное исчисление. Понятие интеграла…………………………………9
7. Вычисление объёмов тел с помощью интеграла………………………………10
8. Объём шара………………………………………………………………………12
9. Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента…………………………………12
10. Шаровой слой. Объём шарового слоя…………………………………………14
11. Шаровой сектор. Объём шарового сектора……………………………………14
12. Площадь поверхности шара…………………………………………………17
13. Площадь поверхности сектора шара……………………………………….18
14. Площадь поверхности шарового пояса…………………………………….18
2322. Широкополосное согласование комплексных нагрузок на основе теории связанных контуров
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Теория колебательных систем в наиболее полном виде была разработана в 30-х годах прошлого века З.И. Моделем /3/ и базируется на нескольких основополагающих понятиях, среди которых одним из основных является понятие резонанса. Различают два типа резонанса - последовательный (резонанс напряжений) и параллельный (резонанс токов). Первый из них наблюдается в последовательной цепи, состоящей из индуктивности , емкости и резистора , второй - в параллельной цепи из таких же элементов. Частота, на которой наблюдается резонанс, определяется величинами входящих в состав контуров и , не зависит от и равна Величина сопротивлений емкости и индуктивности на резонансной частоте называется характеристическим сопротивлением контура. Отношение запасаемай в реактивных элементах контура к рассеиваемой за период колебаний резонансной частоты в его диссипативном (резистивном) элементе энергий называется добротностью контура . Для последовательного контура , для параллельного -
2323. Шифросистемы с открытым ключом. Их возможности и применение.
Информация пополнение в коллекции 09.12.2008

Существуют и другие типы атак, позволяющие, однако, вскрыть только одно сообщение и не позволяющие нападающему вскрыть прочие сообщения, зашифрованные тем же ключом.
Самое простое нападение на единственное сообщение атака по предполагаемому открытому тексту. Нападающий, имея зашифрованный текст, предполагает, что сообщение содержит какой-то определенный текст, например, "Нападение на рассвете", затем шифрует предполагаемый текст открытым (public) ключом получателя и сравнивает полученный текст с имеющимся зашифрованным текстом. Такую атаку можно предотвратить, добавив в конец сообщения несколько случайных битов. Другая атака единственного сообщения применяется в том случае если кто-то посылает одно и то же сообщение M трем корреспондентам, каждый из которых использует общий показатель e = 3. Зная это, нападаюший может перехватить эти сообщения и расшифровать сообщение M. Такую атаку можно предотвратить вводя в сообщение перед каждым шифрованием несколько случайных бит. Также существуют несколько атак по зашифрованному тексту (или атаки отдельных сообщений с целью подделки подписи), при которых нападающий создает некоторый зашифрованный текст и получает соответствующий открытый текст, например, заставляя обманным путем зарегистрированного пользователя расшифровать поддельное сообщение.
2324. Школьная астрономия: концепция нового подхода
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Среди перечисленных факультатив особого внимания учителей и методистов заслуживают факультативы для начальной школы. Младшие школьники исключительно восприимчивы к информации, касающейся строения Вселенной и романтике космических полетов. Для многих из них это становится ощутимым мотивом к учебе, внеклассному чтению, отслеживанию новостей науки в телевизионных передачах. Уже накоплен в разных школах определенный опыт внеурочной работы с детьми на факультативных занятиях. Все это, а также появление значительного числа детских книг по астрономии и космонавтике (Земля и Вселенная, 2004, № 1) может быть положено в основу создания книги «Методика проведения внеурочных занятий по астрономии и космонавтике с младшими школьниками». Такое методическое руководство должно, во-первых, объяснять учителям и руководителям школ, зачем и как нужно знакомить детей с элементами астрономии и космонавтики. Во-вторых, давать примерное планирование таких занятий (по годам IIV кл.) и раскрывать содержание каждого из занятий. Опыт работы с детьми в начальной школе свидетельствует о том, что им интересно на каждом занятии узнавать «новости» (это могут быть сообщения о том, что можно будет увидеть на небе в ближайшие вечера, чем занимаются космонавты на МКС, какая информация поступила от летящих к далеким планетам АМС или от запущенных к близким небесным телам космическим аппаратам).
2325. Шпаргалка (математика)
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008
Основ. св-ва сход. рядов:
1. Если члены сход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход. ряда, т.е. ??n=1 un = S; ??n=1 ?•un = ?•S
2. Если ряд 1 сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. число слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся.
3. Если ряд с членами un сход-ся и его сумма = ??n=1 un = S и ряд с членами vn сход-ся и его сумма = ??n=1 vn = ?, то ряд с чл. (un + vn) сход-ся и его сумма = ??n=1 (un + vn) = S+ ?
2326. Шпаргалка по высшей математике
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде x=(x1,x2,xi,xn), где Xi-компонента X. Два N-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: x =y, если xi=yi i. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством. Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным координатным пространством. Система nмерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не 1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора а ив называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.
2327. Шпаргалка по геометрии и алгебре
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008

0/6/4/3/22/33/45/63/2030456090180120135150270sin01/22/23/2103/22/21/2-1cos13/22/21/20-1-1/2-2/2-3/20tg01/3130-3-1-1/3ctg311/30-1/3-1-30sin2+cos2=1 sin=±1-cos2 sin(-)=-sin tg(-)=-tg
2328. Шпаргалка по математике
Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

град 0 30 45 60 90120135180 -/2-/3-/4-/6 0/6/4/3/22/33/43/6 sin -1-3/2-2/2- 0 2/23/2 1 - 0cos 13/22/2 0 - -2/2- 3/2 -1tg -3 -1-1/3 01/3 1 3 -3 -1 0ctg --- 3 11/3 0-1/3 -1 --
2329. Шпаргалка по численным методам
Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

if f(xk)*f(a)<0 then xk1:=xk-f(xk)*(xk-a)/(f(xk)-f(a))
2330. Шпаргалка: математика_Latvija_LLU
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008
Rindu sauc par alternejosu, ja jebkuriem rindas blakus locekliem ir pretejas zimes: u1-u2+u3-...+(-1)n-1un+..., kur burti u1,u2,u3,...apzime pozitivus sk., ir mainzimju rindas. Leibnica pazime: Mainzimju rinda konverge, ja tas locekli tiecas uz nulli, visu laiku dilstot pec absolutas vertibas. Tadas rindas atlikumam ir tasda pati zime ka pirmajam atmetajam loceklim un tas ir mazaks par to pec absolutas vertibas. Rinda konverge, ja izpildas divi nosacijumi: 1) an>an+1, 2) . Absoluta un nosacita konvergence: Rinda u1+u2+...+un+... (1) katra zina konverge, ja konverge pozitiva rinda |u1|+|u2|+...+|un|+... (2), kas sastadita no dotas rindas loceklu absolutajam vertibam. Dotas rindas atlikums pec absolutas vertibas neparsniedz atbilstoso rindas (2) atlikumu. Dotas rindas summa S pec absolutas vertibas neparsniedz rindas (2) summu S, t.i., |S|?S. Vienadiba ir tikai tad, ja visiem rindas (1) locekliem ir viena un ta pati zime. Definicijas: Rindu sauc par absoluti konvergentu, ja konverge rinda, kas sastadita no tas loceklu absolutajam vertibam. Rindu sauc par nosaciti konvergentu, ja ta konverge, bet rinda, kas sastadita no tas loceklu absolutajam vertibam, diverge.
1. Pakapju rinda, tas konvergences intervals, Abela teorema.Par pakapju rindu sauc sada veida rindu: a0+a1x+ a2x2+ ...+anxn+... (1) un ari visparigaka veida: a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ ...+an(x-x0)n+... (2), kur x0 ir patstavigs lielums. Par rindu (1) saka, ka ta ir attistita pec x pakapem, par rindu (2), ka ta attistita pec x-x0 pakapem. Konstantes a0, a1,..., an,... sauc par pakapju rindas koeficentiem. Pakapju rinda vienmer konverge vertibai x=0. Attieciba uz konvergenci citos punktos var rasties tris gadijumi: a) var gadities, ka pakapju rinda diverge visos punktos, iznemot x=0. Tada, piem, ir rinda x+22x2+33x3+...+nnxn+..., kurai visparigais loceklis nnxn=(nx)n pec absolutas vertibas neierobezoti aug, sakot ar momentu, kad nx klust lielaks par vienu. Tadam pakapju rindam praktiskas nozimes nav. b) Pakapju rinda var konverget visos punktos. Tada, piem, ir rinda: 1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+...+(xn-1/(n-1)!)+..., kuras summa jebkurai x vertibai ir vienada ar ex. c) Tipiskaja gadijuma pakapju rinda viena punktu kopa konverge, cita-diverge. Pakapju rindas: a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+... konvergences apgabals ir kads intervals (-R;R), kas ir simetrisks attieciba pret punktu x=0. Dazreiz tani jaieskaita abi gali x=R, x=-R, dazreiz tikai viens, bet dazreiz abi gali jaizsledz. Intervalu (-R;R) sauc par pakapju rindas konvergences intervalu, pozitivo sk. R par konvergences radiusu. Abela teorema: Ja pakapju rinda a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+... konverge (absoluti vai nosaciti) kada punkta x0, tad ta konverge absoluti un vienmerigi jebkura slegta intervala (a,b), kas atrodas intervala (-|x0|,+|x0|) ieksiene.
2. Funkciju izvirzisana pakapju rinda. Teilora un Maklorena rinda.
2331. Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008

Элементы линейной алгебры. Задачи о перевозках. На 2-х складах А1 и А2 сосредоточено а1, а2 тон однородного груза, которые нужно доставить в 3-и пункта назад в В1, В2, В3, потребн пунктов назначения, равны в1, в2, в3 тон. Известно стоимость перевозки одной тонны груза, из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения. Требуется составить такой план перевозки, при котором общая стоимость перевозок была бы наименьшей.
2332. Шпаргалки по высшей математике
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008
Интегрирование тригонометрических выражений:
2333. Шпаргалки по высшей математике (1 курс)
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008

Основные понятия мат анализа. Матем-наука о простых формах и количеств отношений окружающего нас мира. Переменой величиной наз величина d ринимает различн числовые значения. величина значения d не меняется наз постоянной величиной. Совокупность всех числовых значений переменой величины наз областью изменения этой переменной. Окрестность х0 наз производный интервал (a;b) содержащий эту . If каждому значению переменной х э неd области соответствует 1 определенное значение др переменой у, то у есть f(х)=у. способы задания f. 1)таблица 2)графический совокупность M(х;у) не лежащих на прямой // оу, определяет зависимость у=f(х) 3)аналитический. Аналитическим выражением наз символическое обознач совокупности известных матем операций d производятся в определ последовательности над числами и буквами обозначающиеем постоянные и переменные величины. if f зависимость у=f(х) такова, что f обозначается аналитич выражением, то f задана аналитически. F f(х) наз периодической if t: х f(х+t)=f(x). Четная, нечетная, монотонная f. Элементарные f. 1)постоянная у=с, с-действительное число; 2)степенная у=х^а, а-д.ч. 3)показательная у= f^х a>x a?1 4)логорифмическая у=loga x a>x a?1, 5)тригонометрические 6)обратные тригонометрические. Предел функции. (Коши) число а наз lim f f(х) в х0б if для Е>0 б>0, такое что для всех х0 х э ?, х ? 0 и удовлетвор |х-х0|<б верно |f(х)-А|<Е. (Гейне) число А наз lim f f(х), if последовательности хn (хn, хnх0), сходящейся к х0, соответствующая последовательность значений f сходится к числу А. Оба определения эквивалентна, т.е. if f f(х) имеет предел А в смысле определения I, то она имеет тот же предел А в смысле определения II, и наоборот. Замечание. if f(х)в при ха, так что х<а, то lim f(х)=в (ха-0). Опр. If lim спр or сл =, то это будет lim в смысле данного выше опр. Для сущ lim f приемного отделения ха не требуется чтобы f была опр в а. БМВ. F ?(х) наз бмс ха if ?(х)=0 if для Е б: |x-?|<б |?(х)|<Е. св-ва 1) if ?(х) и ?(х)-бм f при хх0, то их ? ?(х)+?(х) и произвед=бм f при хх0 2)f(х)-ограниченая f ?(х)*?(х)=бм f при хх0 3)?(х)-бм при хх0, f(х) имеет в х0 конечный предел, lim f(х)=А, то f ?(х)*f(х) и ?(х)/f(х)=бм при хх0 4)if ?(х) бм при ха но не обращ в 0, то у=1/?(х)=?. Основные Т о пределах. 1)lim ? конечного числа f= ? их lim, if они сущ. Д. (ха) ?1,?2-бм lim u1=a1, lim u2=a2, u=u1+u2, u1=a1+?1, u2=a2+?2; lim u=lim(u1+u2)=lim (a1+a2 +?1+?2) =a1+a2 2)lim произведения конечного числа f= произведению lim, if они сущ. Lim аналогично. Следствие: const множитель можно выносить за знак lim. 3)lim частного= частному lim, if знаменатель ? 0. Д.(ха) lim (u(x)/v(x))=(lim u(x))/(;im v(x), lim v(x)?0, Lim u=a1,lim v=a2?0;u=a1+?, v=a2+?;?,?-бм;u/v=(a1+?)/(a2+?)=a1/a2+(a1+?)/(a2+?)a1/a2= a1/a2 + (?*a2-?*a1)/(a2(a2+?)), u/v=a1/a2+?, lim(u/v)=a1/a2 4) if для соответствующих значений 3 f u(x), z(x), v(x) выполняется неравенство u?z?v и lim u(x)=lim v(x)=b lim z(x)=b Д. u-b?z-b?v-b E б1 |x-a|<б1|u(x)-b|<E, б2 |x-a|<б2|v(x)-b|<E б=min(б1,б2), -E<u-b<E E<u-b?z-b?v-b<E, -E<v-b<E E<z-b<E |z-b|<E 5)if y?0, lim y=bb?0 Д. b<0 |y-b|?|b| E=|b|, < |y-b|<E=|b| пришли к противоречию. Замечание: if у>, то Т тоже выполняется в той же формулировке (b?0). 6)if v?u в неd окрестности а lim v?lim u Д. v-u?a lim (v-u) ?0lim v-lim u?0lim v?lim u Сравнение бмв. (xa)О. if lim(?/?)?0, lim(?/?)?0, то ? и ? наз бмв одного порядка (zb x^2 и 2x^2). O if lim ?/?=0, то ?-бм высокого порядка чем ?.О бмв ? наз бм nго порядка относительно ?, if lim ?/?n=A?0. О. if lim ?/?=1, то ?,? эквивалентные бмв. Т. If ?, ?-экивалентные бмв, то ?-?-бмв более высшего порядка, чем ? и ?. Д. lim ((?-?)/?)=lim(1-?/?)=1-1=0 1 Зам lim. S?MOA<Sсект MCA<S?COA; S?MOA=½OA*MB= ½ sin x; Sсект MCA= ½ x*1= ½ x; S?COA= ½ OA*AC= ½ tg x; sin x<x<tg x |:x; 1<x/sin x<1/cos x; 1>sin x/x>cos x; sin x/x1; sin(-x)/-x=sin x/x; cos (-x)=cos x 2 зам lim. Т . переменная величина (1+ 1/n)n, при n? имеет lim заключенный между числами 2 и 3. (1-1/n)n=1+n*1/n+n(n-1)/2n2+n(n-1)(n-1)/(2*3*n3)…=1+1+½(1-1/n){<1}+ 1/(1*2*3) (1-1/n{<1})(1-2/n{<1})+…+1/(1*2*…n)*(1-1/n{<1})*(1-2/n{<1})…(1-(n-1)/n). При переходе от n к n+1 добавляется 1 слагаемое, каждое слагаемое возрастает. Это выражение является последовательностью. Полагаем, что она ограничена. {2<}(1+1/n)n<1+1+1/ (1*2)+1/(1*2*3){1/22}+…+(1/(1*2*3…n)<1+2+½+1/22+1/2n-1=1+(2-(½ )n-1)<3 и огран последов. Непрерывность f. у=f(х) х=х0+?х. ?f=f(х)-f(х0)=f(х0+?х)-f(х0); f(х)=f(х0)+ ?f. О. f f(х) наз непрерывной в х0, if она опр в этой и в неd ее окрестности и lim ?f=0(?х0).( ?х0) lim (f(х0+ ?х)-f(х0))=0, lim f(х0+ ?х)=f(х0). хх0 lim f(х)=f(х0) lim f в =значению в этой . Zb у=х2 докажем, что f непрерывна в х0. ?f=(х0+ ?х)2-х02=х02+2х0?х+(?х)2-х02=2х0?х+(?х)2. lim ?f{x0}=l (2x0?x+(?x)2)=0. Т. If f f1 и f2 непрерывны в х0, то их ? тоже непрерывна в х0. Д. ?(х)=f1(х)+f2(х). {xx0}lim ?(x)=lim(f1(x)+f2(x))=Lim f1(x)+lim f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=?(x0). Следствие:Т справедлива для конечного числа слагаемых. Т1. произведение 2 непрерывных f будет есть непрерывная f. 2. частное 2 непрерывных f будет непрерывной f, if знаменатель не обращается в 0. 3. if f u=f(х)непрерывна в х0 и f f(u) непрерывна в u0=?(х), то сложная f f(?(u))непрерывна в х0. Т. Всякая элементарная f непрерывна в каждой в d она определена (sin,log…). О. if f f(х) непрерывна в каждой неd интервала (a;b), то говорят что она непрерывна на этом интервале. О. if f определена при х=а и lim f(х)=f(а) {xa+}, то говорят что f непрерывна в а справа, аналогично слева. О. if f(х) непрерывна в каждой интервала (a;b), в а непрерывна справа, f в в слева(а<в ), то говорят, что f f непрерывна на отрезке (a;b). О. if в х0 не выполняется АО крайней мере 1 из условий непрерывной, т.е. if при х=х0 f неопределенна или не существует lim f(х){xx0} or он ? значению f в , то говорят, что f разрывна в х0. х0 в э том случае разрыва f. Классификация разрыва. 1) if lim f(х), но f неопределенна в этой , либо нарушено условие lim f(х)?f(x0){xx0}, тогда х0 наз устранимого разрыва 2) не lim f(х){xx0}, но lim справа и слева, lim f(x){x x0+}?lim f(x){xx0-}-f имеет разрыв 1 рода.3)if хотя бы 1 lim не or =?, то говорят, что f имеет разрыв 2 рода. Свойства непрерывной f. Т if f f(х) непрерывна на неd отрезке [а;в], то на этом отрезке найдется по крайней мере 1 х, такая, что значение f в этой будет удовлетворять соотношению: f(х1)?f(х), где х- др отрезка. Значение f(х1) наз наибольшим значением f f(х) на [a;b]. Т. Пусть f f(х) непрерывна на [a;b] и на концах этого отр принимает значение разных знаков, тогда между а и в найдется по крайнем мере 1 с, такая что она будет =0. Т. Пусть f f(х) определена и непрерывна на [a;b], if на концах этого отрезка f принимает ? значении А и В (A<B), то для числа ? MA?M?B c: f(c)=?. Следствие: if f у=f(х) непрерывна на неd интервале, она принимает по крайней мере 1 раз ,заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями. Производная f.. Пусть f f=f(х) опред в неd внутренней интервала (а;в). Зададим аргументу х в х0 произвольное приращение ?х такое, что x0+ ?х также находится на (а;в). Тогда f у=f(х) получит приращение ?у=f(х0+?х)-f(х0), d, является f приращения аргумента ?х при фиксированном х0. О. lim ?у/?х при ?х0 (if существует) наз производной f у=f(х) в х0 и обознач {?x0}lim ?у/?х=lim (f(х0+?х)-f(х0))/х?. Операция нах производной наз дифференцирование. Геометрический смысл производной. If М1М0 секущаязанять предельное значение. Прямая занимающая предельное положение наз касательной. Tg ?=?f/?x tg ?={MnM0}lim tg ?={?x0}lim ?f/?x=f `(x). Значение произв в = tg < накл касательной к оси ох. F f(х) наз дифференцируемой в х, if ?f предоставлена в виде ?f=А?х+?(?х)*?х, где А-число, ?(х)-бмв при ?х0. Т. Дифференцируемость f в эквивалентно существованию производной {?x0} lim ?f/?x=lim (A?x+?(?x)?x)/?x=0(?x)=lim (A+?(?x))=A; ?f/?x=f `(x)+?(?x). Т. If дифференцируема в , то она непрерывна в этой . Д. f `(x)={?x0}lim ?f/?x, ?f=f `(x)?x+?(?x)?x, lim ?f=lim (f `(x)?x{бмв}+?(?x)?x{бмв})=0 обратное неверно. Основные Т о производных. Т. Производная ? конечного числа f = ?их произведений, if последние сществуют. Д. f(x)= u(x)+v(x), f(x+?x)=f(x)+?f, u(x+?x)=u(x)+?u; v(x+?x)=v(x)+?v; ?f=?u+?v; f(x+?x)-f(x)=u(x+?x)+v(x+?x)-u(x)-v(x); f `={?x0} lim ?f/?x=lim (?u+?v)/?x=lim ?u/?x+lim ?v/?x=u`+v`. Т. If f=uvf `=u`v+v`u, if u` и v` существуют. F(x+?x)=u(x+?x)v(x+?x)=(u(x)+?u)(v(x)+?v)=u(x)v(x)+ u(x)?v+?uv(x)+?u?v; ?f=u(x)v(x)+u(x)?v+?uv(x); f `(x)={?x0}lim (u(x)v(x)+u(x)?v+?uv(x))/?x=lim (u(x)?v)/?x + lim v(x)*?u/?x+lim ?v*?u/?x=u(x)v`(x)+v(x)u`(x) Т.f= v(x)*u/v?0 f `=(u`(x)-?0 f `=(u`(x)-v`(x))/v2. ?f=u(?x+x)/v(x+?x) u(x)/v(x)=u(x+?x)/v(x+?x)=u(x+?x)/v(x+?x)=(?u+u(x))/(?v+v(x)) u(x)/v(x)=(v(x)?u-u(x)?v))/((?v-v(x))v(x)). F `={?x0}lim [(v(x)?u-u(x)?v)/?x]/(v(x)(?v+v(x)))=lim [v(x)*?u/?x u(x)*?v/?x]/(v(x)(?v+v(x)))=(vu`-uv`)/v2 Дифференциал. F у=f(х) наз дифференцируемой в х0, if ее приращение ?у=f(х0+ ?х0)-f(х0)в этой можно представить в виде ?у=А(х0)?х-?(?х), где А(х0) не зависит от ?х и ?(?х) f от ?х, такая что ?(?х)/?х0, при ?х0. приращение f состоит из 2 частей: А(х0)?х главная часть приращения, линейно зависимая от приращение ?х аргумента, и ?(?х)-нелинейная f от аргумента ?х, d является бм высшего порядка малости по сравнению с ?х при ?х0, т.е. ?(?х)=0(?х). Для того чтобы f f(х) была дифференцируемой в х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой , тогда А(х0)=f `(х0). Обозначается df(x0)=f `(x0)?x. Дифференциал f у=f(х) обозначается dy. F`(x)=dy/dx, or y`=dy/dx. Производная и дифференциалы разл порядков. О. пусть f дифференцируемая на интервале (а;в). Производную f `(x) наз производной 1 порядка, или 1 производной f f(х). if f f `(x) дифференцируема на (а;в), то ее производную наз 2 производной, или производной 2 порядка f f(х) и обозначается f ``(x) or f(2)(x), fxx``(x), т.е. f ``(x)=(f`(x))`. Производная n-го порядка: f^(n)(x)=(f^(n-1)(х))`, if на интервале (а;в) существует дифференцируемая функция f^(n-1)(х). по определению полагают f(0)(х)=f(х), т.е. f f(х) наз нулевой производной. Физ смысл: if s=s(t)-закон прямолин движения маериальн , то s``(t) есть ускорение этой в момент времени t. Т. Ролля. If f f(х) непрерывна на отрезке [а;в] дифференцируется на интервале (а;в) и f(а)=f(в)=0, то внутри [а;в] с, в d производная=0.Дт.к. f f(х) непрерывна на отрезке [а;в], то она имеет на [а;в] наибольшее значение M и наименьшее значение m. If M=m, то f(х)=const f `(x)=0 x. If M?m, то по крайнем мере 1 из этих чисел =0. пусть для определения M>0 и f принимая max знач при х=с. f(c)=M; c?a; c?b, т.к. f(а)=0 и f(в)=0; F(c+?x)-f(c)<0; (f(x+ ?x) f(c)){<0, if ?x>0}/?x{>0, if ?x<0} ?x0. f `(c)?0 f `(c)?0f `(c)=0. геометрическое истолкование. If непрерывная прямая имеющая в каждой касательную пересекающую ох, с абциссами а и в, то на этой прямой существует по крайней мере 1 , касс и d //ох. Замечание: 1) док Т для f, d на концах отрезка не обр в 0, но принимает = значения. 2) if f f такова, что f ` не во всяких отрезка, то утверждение Т может быть неверно. Т. Лагранжа. If f непрерывна на [а;в] и дифференцируема на (а;в), то внутри отрезка по крайней мере 1 с, такая что f(в)-f(а)=f `с(в-а); а=(f(в)-f(а))/в-а; F(х)=f(х)-f(а)-а(х-а). F(х) непрерывна на [а;в] дифференцируема на (а;в) и обр в 0 на концах отрезка. F(в)=f(в)-f(а)=(f(в)-f(а))(в-а)/(в-а)=0=F(х) выполн усл N Ролля. с: F`(с)=0; F`=f `(х)-Q; f `(x)- Q=0; f `(c)=(f(b)-f(a))/(b-a). рассмотрим хорду АВ: tg ?=l=q (a;f(a)) y-f(a)=Q(x-a) AB: y=f(a)+Q(x-a). if во всех внутри [а;в] сущ касс, то с на дуге, касательная в d // хорде. Для хорд угловой коэффиц = Q. Т. Коши. If f(х) и ?(х) 2 f непрерывные на [а;в] и дифференцируемы, причем f ` нигде внутри отр не обращ в 0, то внутри отрезка [а;в] с: (f(в)-f(а))/(?(в)-?(а))=f `(c)/?`(c); Q= (f(в)-f(а))/(?(в)-?(а))?0, т.к. иначе f ?(х) удовлет бы усл Ролля. F`(c)=0. F(x)=f(x)-f `(a)-Q(?(x)- ?(x)); F(a)=F(b)=0; F(x)-удовлетв всем условиям N Ролля с из (а;в): F`(с) =0 F`(x)=f `(x)-Qi?(x); f `(c)/?`(c)=Q=(f(b)-f(a))/(?(b)-?(a); f `(c)=Q?`(c)=0. Правило Лопиталя. Пусть f f(х) и ?(х) на [а;в] удовлетв условию Т Коши, обращаются в 0 в а; f(а)=?(а)=0. Тогда lim f `(x)/?`(x){xa+} lim f(x)/?(x) {xa}, применяем Т Коши: (f(х)-f(а))/(?(х)-?(а))=f `(?)/?(?); f(x)/?(x)=f `(?)/?`(?) ?c(a;x). {xa+}lim f(x)/?(x)=lim f `(?)/?`(?)={?a+}lim f `(?)/?`(?)={xa+}lim f `(x)/?`(x). If на месте неd [с;а] тоож выполн условия Т для f и ?, то Т верна для ха (для ха- аналогично). Т имеет место if f и ? неопределеныпри х=а, но {xa}lim f(х)=0 lim ?(х)=0. можно определ f f и ? в f, так чтобы они стали непрерывны в а1. f(а)=0 ?(а)=0 (по опр). Формула Тейлора. Предположим f f(х) имеет все производные до n+1 порядка включительно в неd промежутке, содержащим а. найдем многочлен Рn(х) в х n, знач d в а и значение производных дл n порядка = значениям соответствующих производных от f f(х), т.е. Рn(а)=f(а)…Рnn(a)=fn(a) Pn(x)=C0+C1(x-a)+C2(x-a)2+Cn(x-a)n; Pn`(x)=C1+2C1(x-a)+…nCn(x-a)n-1 Pn(n)(x)=n!Cn; f(a)=Pn(a)=C0; f `(a)=Pn`(a)=C1; f ``(a)=Pn``(a)=2C2; fn(a)=Pn(n)(a)=n!Cn; Ck=f(k)(a)/k! K=0,1…n; PN(x)=f(a)+f `(a)(x-a)+(x-a)2*f ``(a)/2! + …+(x-a)n*f(n)(a)/n!; Rn(x)=f(x)-Pn(x); f(x)=Pn(x)+Rn(x) Необходимое сущ экстремума. If диф f у=f(х) имеет в х1 max or min, то f `(x1)=0 Д. предположим для опр-ти, что max тогда f(x1+ ?x)<f(x1) ?x0; (f(x1+?x)-f(x1))/2 {<0 , ?x>0; >0, ?x<0} f `(x)?0{?0}f``(x1)=0. для min также, только с против знаками. Обратное не верно. If f `(х1)=0, не значит, что в этой будет экстремум. в d не or =0, такие наз критическими. Достаточное условие сущ экстремума. Пусть f(х) непрерывна в неd интервале, содержащим х1, и дифференциуема во всех этого интервала (кроме х1). If при переходе слева направо через х1 производная меняет знак с + на -, то х1-max, If c на +, min. Д. пусть производная меняет знак с + на -, тогда для х достаточно близких к х1 f `(x)>0, x<x1 и f `(x)<0, x>x1. применим Т Лагранжа: f(x)-f(x1)=f `(c)(x-x1) 1)x<x1c<x1, f `(c)=0,f `(c{>0}) (x-x1{>0}); f(x)-f(x1)<0 f(x)<f(x1) 2)x>x1c>x1, f `(c)<0; f `(c{<0}0(x-x1{>0}) f(x)-f(x1)<0 f(x)<f(x1) х1 - мах. Для min аналогично. if непрерывность не выполняется Т не верна. Выпуклость и вогнутость. О. говорят. Что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале [а;в] if все кривой лежат ниже ее касательной на этом интервале. Т. If во всех интервала [а;в] f ``(x)<0, то кривая у=f(х) выпукла вверх. У=f(х), неу=f(х0)+f `(х0)(х-х0), у-неу=f(х)-f(х0)-f (х0)(х-х0)=f (с)(х-х0)-f (х0)(х-х0)=(f (с)-f (х0))(х-х0)=f (с1)(с-х0)(х-х0) с1 э (х0;с) находится между 1)х>х0x0<c1<c<xx-x0>0, c-x0>0 f ``(c1)<0y-ney<0 2)x<x0 x<c1<x0x-x0<0, c-[0<0, f ``(c1)<0y-ney<0ney>y. кривой лежит ниже касательной этой кривой, х и х0 из интервала [a;b] кривая выпукла в вверх. Т. Пусть кривая определена Ур у=f(х), if f ``(a)=0 or f ``(a) ne и при переходе через а меняется знак, то а перегиба. Асимптоты. Прямая l наз F кривой, if расстояние ? от переменой M кривой до этой прямой при удалении M в бесконечность0 1. вертикальная А. для того, чтобы прямая х=а являлась верт А гр f у=f(х) чтобы обращался в беск хотя бы 1 из lim: {xa+0}lim f(х)=? {xa-0}lim f(x)=? 2. наклонная А. для того чтобы y=kx+b была накл А надо чтобы сущ оба lim: k={x?}lim (f(x))/x; b={x?} lim(f(x)-kx). If lim сущ только при х?+(х?-) то А будет правосторон (левосторон). if k=0, то А -горизонтальная Производная сложной f. предположим в ур z=F(u,v) u и v f независимых переменных х и у. u=?(x,y) v=?(x,y), z-сложная f, пусть f Пб ?,? имеют непрерывные частные производные по своим производным. зададим ?х,сохран у неизменным.Тогда ?xu,?xv;?z=?F/?u*?xu+ ?F/?v*?xv+?1?xu+?2?xv |:?x ?z/?x=?F/?u*?xu/?x+?F/?u*?xv/?x+?1{0}+?2{0}; ?z/?x={?x0}lim ?z/?x=?F/?u*?u/?x+?F/?v*?v/?x; zb z=ln(u2+v) u= e^(x+y2) v=x2+y; ?z/?u=2u/(u2+v); ?z/?v=1/(u2+v); ?u/?x=e^(x+y2) ?v/?x=2x ?z/?x= e^(x+y2)*2u/(u2+v)+2x/(u2+v). Выражение полного дифференциала 1 порядк имеют тот же вид, являются ли u и v независимыми переменными от f независимых переменных (с формами дифференциала инварианта). Производная неявной функции Т. пусть непрерывная f у(х) задана неявно уравнением F(х,у)=0, где F, Fх, Fу непрерывные f в неd области Д содержащей (х,у), координаты d удовлетворяют этому уравнению. Кроме того Fу?0. y`x=- F`x/F`y. Частные производные различных порядков. Z=f(x;y)s ?z/?x=?/?x*(?z/?x); ?2z/?x?y=?/?y*(?z/?x) ?2z/?y?x=?/?x*(?z/?y); f=x2y+y3; ?f/?x =2xy ?2f/?x2=?/?x*(2xy)=2y; ?f/?y=x2+3y2 ?2f/?y2=6y; ?2f/?x?y=?/?y*(2xy)=2x; ?2f/?y?x=?/?x*(x2+3y2)=2. T. if f f(х,у) и ее частные производные f `x, f `y, f ``xy, f ``yx, определены и непрерывны в и неd ее окрестности, то в этой ?2f/?x?y=?2f/?y?x. Производная по направлению. Проведем из M вектор S{в} направляющая косинус d So{в}(cos a,?,?). Рассмотрим на векторе S на расстоянии ?S от его начала М1(х+?х,у+?у, z+?z). Пусть f u непрерывна и имеет непрерывные частные производные в Д. ?u=?u/?x*?x+?u/?y*?y+?u/?z*?z+E1?x+E2?y+E3?z{Ei-бмв}; ?u/?S=?u/?x*?x/?s+ ?u/?y* ?y/?s+?u/?z*?z/?s+E1*?x/?s+E2*?x/?s+E3*?x/?s координаты вектора / на длину ?x/?S=cos x; ?y/?S=cos ?; ?z/?S=cos ?; ?u/?S=?u/?x*cos?+?u/?y*cos?+ ?z/?x*cos ?+E1cos ?+E2cos ?+E3cos ?; {?S0}lim ?u/?xS=?u/?x*cos?+?u/?y*cos?+?z/?x*cos ?=?u/?S{производная по направлению} Градиент. Gradu=?u/?x*i+ ?u/?y*j+?u/?z*k Т. Производная ?u/?S по направлению неd вектора S=проекции вектора-градиент u на вектор S. Д.рассмотрим единичный вектор S0; (gradu, S0)=?u/?x*cos?+?u/?y*cos?+?z/?x*cos ?=?u/?S=проекцииS0 gradu, if ввести угол меду векторами ? ?u/?S=|gradu|cos ?. Св-ва.:1)производная в данной по направлению S{в} имеет наиб значение, if по направлению вектора S совпад с направ grad. Это наибольш знач =|gradu |2)производная по направл ветора перпендик grad=0 Матрица. Матрицей размера тХп называют прямоугольную таблицу, содержащую т строк и п столбцов. Элементы таких таблиц могут иметь произвольную природу, но в этой главе мы будем считать, что элементами матриц являются действительные числа. Строки и столбцы матрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, обозначается символом а. Сами матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов (т = п), то матрицу называют квадратной и говорят, что квадратная матрица имеет порядок п Элементы а11, а22, ..., атm называются диагональными и образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Матричная форма записи. AX=B. Определитель. О. Определитель-квадратной матрицы 2 порядка наз число а11*а22-а12*а21. опр n порядка-а11*А11+а12*А12+..а1nА1n, где F-минор. Св-ва: 1) |АТ|=|А| 2)if поменять местами 2 строки поменяется только знак 3)опр у d 2 строки =, опр=0 4)общий множитель строки можно вынести за знак определителя. 5)if эл строки =0, опр=0 6)if эл строки пропорциональны эл др строки, опр=0 7)if эл к-л стр представлены в виде 2 слагаемых, то определ может быть в виде суммы 2 соответствущ опр 8)опр не измен if к жл к-л строки прибавить соотв эл любой др строки, умноженное на 1 число 9)опр треугольн матр=произвед эл, располож на гл диагонали 10)опр произвед 2 кв матр =произвед их опред: |АВ|=|А||В|=|ВА|. Обратная матрица. Матрица А-1 наз обратной if вып равенство: А-1А=АА-1=Е, Е-единичная матрица. Т. Обр матр существует когда она невырождена, т.е ?0 Д. предположим А имеет обратную матр, но опр F=0, тогда |А-1А|=|Е|=1, f с др стороны |A-1A|=|A-1||A|=|A-1|*0=0, мы пришли к противоречию. Ранг матрицы наз число = наибольшему из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается r(A) Т ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. Ранг матрицы числу ненулевых строк матрицы после ее привдения к треугольному или трапецивидному виду. Т(Кронекер-капелли) система линейных уравнений совместа тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы = рангу расширенной матрицы системы, т.е. r(A)=r(неA) Критерий существования нетривиальных решении. 1)однородная система линейных уравнений имеет единственное решение V ранг матрицы системы = числу неизвестных r(A)=n; 2)однородная система имеет хотя бы 1 нетривиальное значение. Линейные операции над векторами. 1)произведением вектора а на число t наз вектор ta, направление d совпадает с направлением вектора а, if t>0, и противоположное if t<0 Т. Не0 векторы а и в коллинеарны V, if сущ число t, такое что а=tв Д. if векторы а и в коллинеарны, то имея общую они будут иметь и общую линию действияt=|а|/|в| or -|а|/|в| в зависимости сонаправлены векторы or нет. Единственность t очевидна: при умножении вектора в на разн числа получаются разл векторы. О. суммой а+в векторов наз диагональ треугольника or пар-мма. Св-ва 1)a+b=b+a 2)(a+b)+c= a+(b+c) 3)a+0=a 4) a+(-a)=0 5)1*a=a 6)?(?*a)=(?*?)*a; 7) (?+?)*a=?*a+?*a 8) ?(a+b)=?a+ ?b. В математике принято называть линейным (или векторным пространством всякое множество, если 1) на элементах множества определены две операции: одн; из них, называемая суммой элементов, любым двум элемеитам мно жества ставит в соответствие по некоторому правилу третий элемен' этого множества, а вторая, называемая произведением на число, каж дому элементу множества и всякому числу ставит в соответстви( определенный элемент множества; 2) эти операции обладают всеми восьмью свойствами, пере численными выше. Линейная независимость и линейная зависимость векторов. О. векторы а1, а2, аn наз линейно независимыми if 0 =только их травиальная линейная комбинация О. векторы а1, а2, аn наз линейно зависимыми if сущ хотя бы 1 нетривиальная линейная комбинация этих векторов = 0. Т. Векторы а1, а2, аn будут линейно зависимыми if среди них имеется хотя бы 1 нулевой вектор. Д. Действительно, считая равными нулю коэффициенты линейной комбинации этих векторов перед ненулевыми векторами и отличными от нуля перед нулевыми векторами, получим равную нулю нетривиальную линейную комбинацию этих векторов. Т if среди векторов а1, а2, ..., ап имеется хотя бы 2 линейно-зависимых вектора, то тогда и все эти векторы будут линейно зависимыми. Д. Выделим среди рассматриваемых векторов линейно зависимые векторы и составим из них равную нулю нетривиальную линейную комбинацию. Если к ней присоединить любую тривиальную комбинацию оставшихся векторов, то получим равную нулю нетривиальную линейную комбинацию уже всех векторов. Поэтому они линейно зависимы Т. векторы а1, а2, аn линейно зависимы V 1 из них может быть разложен по оставшимся векторам. Единственность разложения вектора по базису. Д. Предположим что это не так и возможны 2 разных разложения вектора а по базису e1,e2, en. Пусть a=а1 e1+…+an* en a=b1 e1+…+bn* en (a1-b1) e1+…+(an-bn)en=0 Векторы базиса по определению линейно независимы, поэтому нулю может равняться только их тривиальная линейная комбинация, то есть все её коэффициенты должны быть нулями. Это возможно только в том случае, если a1=b1…an=bn. Значит неверно предположение о том, что разложение вектора по базису не единственно. Углом между двумя векторами будем называть тот угол между ними, который не превосходит П. Прямую линию с заданным на ней направлением называют осью. Обычно ось задается вектором, с линией действия и направлением которого она совпадает. Ось, задаваемую вектором а, будем называть осью а. Пусть произвольно заданы вектор АВ и ось b. Обозначим буквами А` и В' основания перпендикуляров, опущенных на ось b соответственно из точек А и В. Проекцией вектора АВ на ось b(символическое обозначение прb АВ) называют число, равное |А'В'|, если направления вектора А'В' и оси b совпадают и равное - |А'В'|, если эти направления противоположны. Проекцию вектора а на ось, определяемую вектором b, будем называть проекцией вектора а на вектор b. Cв-ва: 1. прва - а соs ?, где ? - угол между векторами а и b ;2. прва не зависит от b ; 3. декартовы координаты вектора равны проекциям этого вектора на соответствующие базисные вектора i, j, k. Скалярное произведение векторов. Наз число= произвед длин эти векторов на cоs угла между ними
2334. Шпаргалки по ВЫШКЕ
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008

Если f(x)>0 на интервале (x0-б,х0) и f(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х0, т.е. х0 точка максимума f(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0 точка минимума.
2335. Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008

Рассм-м кольцо мн-на Р[x] над полем Р. Мы знаем, что ¥ числов-е поле явл-ся обл-ю целостности с бескон-м числом эл-в. В кольце полиномов Р[х] теорема о делении с остатком имеет место для ¥f(x), g(x)ЄP[x], что g(x)?0. Мн-н f(x) делится на мн-н g(x)?0, если сущ-т мн-н n(x)ЄP[x], что f(x)=g(x)n(x). Деление не всегда будет выполнимо в кольце Р[x]. Св-ва. 1. ¥f(x)ЄP[x], f(x)|f(x). 2. f(x), g(x)ЄP[x], g(x)|f(x) и f(x)|g(x) => f(x) и g(x) ассоц-ы, f(x)=cg(x), cЄP[x]. 3. g(x)|f(x) и ?(x)|g(x) => g(x)|(f(x)±?(x)). 4. Если f1(x), f2(x),…, fk(x) делятся на g(x), для ¥c1, c2,…ckЄР, то сумма [c1f1(x)+c2f2(x),…,ckfk(x)] делится на g(x). 5. Если g(x)|f1(x) => f1(x)f2(x)…fk(x) делится на g(x). 6. Если f1(x)|g(x), f2(x)|g(x),…fk(x)|g(x) => g(x)|[ n1(x)f1(x)+ n2(x)f2(x)+…+nk(x)fk(x)], ni(x), fi(x), gi(x)ЄP[x], i=1,2,…k. 7. Если n(x), f(x), g(x)ЄP[x] и n(x)|f(x) и g(x)|n(x), то g(x)|f(x). 8. Мн-ны нулевой степени из Р[х] явл-ся делителями ¥f(x)ЄP[x]. 9. Мн-ны cf(x), где с?0 и только они будут делителями мн-на f(x) имеюш-ми такую же степень, что и f(x). 10. ¥Делитель f(x), cf(x), c?0 будут делителями и для другого мн-на. Пусть ¥f(x), g(x)ЄP[x]. Общим делителем мн-в f(x), g(x) явл-ся такой мн-н d(x)ЄP[x], что d(x)|f(x) и d(x)|g(x). Нод(f(x), g(x)) наз-ся мн-н D(x) такой, что 1. D(x)=ОД(f(x), g(x)), 2. d(x)|D(x), где d(x)=¥ОД(f(x), g(x)). Покажем, что НОД сущ-т для ¥мн-в f(x), g(x)ЄP[x]?0. пусть степень f(x) ? степени g(x). Делим f(x) на g(x) с остатком f(x)=g(x)q(x)+r1(x). Если r1(x)=0, тогда НОД(f(x), g(x))=q(x). Если r1(x)?0, то степень r1(x)< степени g(x), но >0. Делим g(x) на r1(x) с остатком g(x)=r1(x)q1(x)+r2(x). Если r2(x)?0, 0< степень r2(x) < степень r1(x), делим r1(x) на r2(x) с ост-м r1(x)=r2(x)q2(x)+r3(x). и т.д. Т.к. степень остатков понижается оставаясь не отриц-й, то через конечное число шагов мы придем к остатку rk(x), на который разделится предыд-й остаток. Этот процесс наз-ся Алгоритмом Евклида. Итак, применяя алгор-м Евкл-а для мн-в f(x) и g(x) мы получили совокупность f(x) = g(x)q(x)+r1(x), g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x) = rk-1(x)qk-1(x)+rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x) (1). Док-м, что послед-й ?0 остаток rk(x) в алгоритме Евк-а явл-ся НОД. Будем рассм-ть (1) снизу вверх: rk(x)|?k-1(x), rk(x)|?k(x) и ?k(x)|?k-1(x) => rk(x)|rk-2(x)…, rk(x)|rk-2(x) и rk(x)|r1(x) => rk(x)|g(x), rk(x)|r1(x) и rk(x)|g(x) => rk(x)|f(x). Получим, что rk(x)|f(x) и ?k(x)|g(x) => ?k(x)= ОД(f(x),g(x)). Покажем, что rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Пусть n(x) - ¥другой ОД(f(x), g(x)). Рассм-м (1) сверху вниз: n(x)|f(x) и n(x)|g(x) => n(x)|r1(x), n(x)|g(x) и n(x)|r1(x) => n(x)|r2(x), n(x)|r1(x) и n(x)|r2(x) => n(x)|r3(x)… n(x)|rk-2(x) и n(x)|rk-1(x) => n(x)|rk(x). Получили: n(x)|rk(x)=ОД(f(x), g(x)) => rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Итак, мы док-ли, что последний ?0 остаток в алгор-е Евклида явл-ся НОД для мн-в f(x) и g(x). Нетрудно убелиться, что НОД мн-в f(x) и g(x) явл-ся ! с точностью до мн-ля нулевой степени. Действительно, пердположим, что D1(x)=НОД(f(x), g(x)) и D2(x)=НОД(f(x), g(x)). Т.к. D1(x)=НОД(f(x), g(x)) => D2(x)|D1(x), а т.к. D2(x)=НОД(f(x), g(x)), то имеем D1(x)|D2(x). Получим: D2(x)|D1(x) и D1(x)|D2(x) => св-во 2 D1(x)=cD2(x). Алгоритм Евклида показываем, что если f(x) и g(x) имеют оба рац-е коэф-ы или оба действ-е коэф-ы, то и коэф-ы их НОД будут соотв-о или рац-ми, или дейст-ми. Если D(x)=НОД(f(x), g(x)), где f(x), g(x)ЄP[x], то сущ-т ?(x), ?(x)ЄP[x], что f(x)?(x)+g(x)?(x)=D(x). Обратимся к алгор-у Евклида для мн-на f(x) и g(x): f(x) = g(x)q(x)+r1(x), g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x) = rk-1(x)qk-1(x)+rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x). Перепишем все рав-ва алго-а Евклида, кроме послед-го (1). Выразим остаток из каждого равенства r1(x)=f(x)-g(x)q(x), r2(x)=g(x)-r1(x)q1(x), r3(x)=r1(x)-r2(x)q2(x)…rk(x)=rk-2(x)-rk-1(x)qk-1(x) (1). Перепишем первое рав-во (1): r1(x)=f(x)*1+g(x)(-q(x)). Обозначим ?1(x)=1, ?1(x)=-q(x), тогда имеем r1(x)=f(x)?1(x)+g(x)?1(x). Теперь второе из (1): r2(x) = g(x)-r1(x)q1(x) = g(x)-(f(x),?1(x) + g(x)?1(x)) q1(x) = g(x)-f(x)?1(x)q1(x)-g(x)?1(x)q1(x) = f(x)(-?1(x)q1(x)) + g(x)(1-?1(x)q1(x)) = f(x)?2(x)+g(x)?2(x). r2(x) = f(x)?2(x)+g(x)?2(x). Подставим полученное выражение для r1(x) и r2(x) в выражение для r3(x) из (1). Получим, проделывая аналогичные преобразования r3(x)= f(x)?3(x)+g(x)?3(x). и т.д. опускаясь ниже получим rk(x)= f(x)?k(x)+g(x)?k(x). Как было док-но выше rk(x) явл-ся НОД мн-в f(x) и g(x) , причем НОД определен с точностью до множ-ля нулевой сиепени. Умножая обе части последнего равенства на с: crk(x)= f(x)(c?k(x))+g(x)(c?k(x)).
2336. Шпаргалки по математике (логарифмы, тригонометрия)
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008

--------------------------------------------------------------------
2337. Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
Вопросы пополнение в коллекции 09.12.2008

5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имеющей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
2338. Шпаргалки по методике преподавания математики (2006г.)
Методическое пособие пополнение в коллекции 03.07.2010
2339. Шпаргалки по метрологии
Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Импульсы управляющего устройства (а) запускают ГЛИН, вырабатывающий симметричное линейно-изменяющееся напряжение (6). Это напряжение, являющееся образцовым, поступает на устройство сравнения (компаратор) двух напряжений, где производится сравнение измеряемого напряжения с выхода усилителя постоянного тока и напряжения ГЛИН. В момент равенства двух напряжений устройство сравнения вырабатывает импульс (г), которым производится срабатывание формирователя импульсов, роль которого выполняет триггер с раздельным запуском. Другое срабатывание триггера осуществляется импульсом управляющего устройства, проходящего через линию задержки, осуществляющую задержку импульса на величину, равную половине прямого хода сигнала ГЛИН (в). Таким образом длительность импульса формирователя (д) будет пропорциональна измеряемому напряжению ?t = kUx, где к - коэффициент пропорциональности, характеризующий угол наклона пилообразного напряжения. Импульс формирователя поступает на ключ, пропускающий за это время сигналы генератора счетных импульсов на вход счетчика. Цифровое измерительное устройство отображает на цифровом табло количество счетных импульсов N = ?tf0 (е). Полярность измеряемого постоянного напряжения определяется очерёдностью срабатывания формирователя импульсов и соответствующий сигнал «-» или «+» подаётся в цифровое измерительное устройство.
2340. Шпаргалки по Численным методам
Методическое пособие пополнение в коллекции 16.09.2010

Blog

Математика и статистика