Шпаргалка (математика)
Вопросы - Математика и статистика
Другие вопросы по предмету Математика и статистика
№1
lim (?x>0) ?f/?x = f(x)
?f/?x = f(x)+?(?x), где
lim (?x>0) ?(?x)=0
?f = f(x)•?x+ ?(?x)•?x
Опред-е: диф-ом к ф-ии наз-ся вел-на пропорциональная приращ-ю аргумента и отлич-ся от приращ-я ф-ии на вел-ну беск. малую по сравнению с прир-м аргумента.
df(x)=k•?x
?f-df(x)=0(?x)
?f=df(x)+ 0(?x)
Теорема: д/того, чтобы у ф-ии f(x) сущ-ал дифф-л, необх. и достаточно, чтобы ф-ия была диф-ма в эт. (•), т.е. чтобы у нее сущ-ла производная в эт. (•).
df(x)= f(x) •?x
y=x
dx=?x
df(x)= f(x)dx
№2
Св-ва диф-а:
- dc=0
- d(cf(x))=cdf(x)
- d(ax+b)=ad(x), где a и b-пост. величины
- d(u v)= du dv
- d(uv)=udv+vdu
- d(u/v)=( vdu-udv)/v2
- df(u(x))=fu(u)du
- d?(u)= ?(u)du
№3
Будем предполагать, что приращение независ. переменной произвольно и не зависит от конкрет. Знач-я арг. Х и одно и то же д/всех значений этого аргумента.
df(x)=f(x)dx
d(df(x))=d2f(x)=d(f(x)dx)=dx•d(f(x))=dxf”(x)dx=f”(x)•dx2
d2f(x)/ dx2= f”(x)
dnf(x)=f(n)(x)dxn диф. n-го порядка f(x)
f(x)=x
dx=?x
dx2=0
dxn=0
Теорема: диф-ы высшего порядка д/независ. перемен. = 0.
№4
Опред-е: первообразной д/ф-ии f(x) наз-ся ф-ия F(x), такая, что F(x)= f(x).
(F(x)+С)= F(x)+ С= f(x)
Опред-е: совокупность всех первообразных д/ф-ии f(x) наз-ся неопред. ? от ф-ии f(x) и обознач.: ? f(x)dx = F(x)+С, где d-диф-л, f(x)-подинтегр. ф-ия, f(x)dx-подинтегр. выр-е.
Св-ва:
- (?f(x)dx)=f(x)
- d ?f(x)dx= f(x)dx (диф-л от неопред. ?=подинт. выр-ю)
- ?d?(x)=?(x)+C (? от диф-ла люб. ф-ии = этой ф-ии с точностью до пост. слагаемого)
- ?af(x)dx=a?f(x)dx
- ?[f(x) g(x)]dx = ?f(x)dx ?g(x)dx
№5
?f(?(x))?(x)dx = ?f(?(x))d?(x) = ?f(u)du
u= ?(x)
Пример:
?dx/2x+3 = ?(dt/2)/t = 1/2?dt/t = ln|t|+C = ln|2x+3|+C
2x+3=t
2dx=dt
dx=dt/2
№6
d(uv)=udv+vdu
?d(uv)= ?udv + ?vdu
uv = ?udv + ?vdu
?udv = uv - ?vdu
Пример:
?xsinxdx = -xcosx+?cosxdx = -xcosx+sinx+C
u=x
dv=sinxdx
du=dx
v=?sinxdx=-cosx
№7
f(x) [a, b]
n произв. Целое положит. Число
Выберем (•)-и t0 = a<t1<t2<…<tn = b
{ t0; t1; t2;… tn} = Tn совокуп. точек разбиение отрезка [a, b].
[ti; ti-1]
?i = ti - ti-1 длина i-подотрезка
Ф-ия, опред-я на отрез. [a, b].
?=max {?1, ?2, …?n}
Выберем произв. внутр. (•) ti-1? ?i ? ti
?ni=1f(?i)?i = f(?1)?1+ f(?2)?2+…+ f(?n)?n это интегр-я сумма д/ф-ии f(t) соотв-й разбиению Тn и набору (•)-ек ?1 и т.д. ?n.
?ni=1f(?i)?i = I(f(t), Тn, ?1…?n)
Опред-е: если сущ-т конеч. предел послед-ти интегр-х сумм при усл-ии, что ?>0 и этот lim не зависит от выбора разбиений Тn и выбора промеж. (•)-ек ?1 и т.д. ?n, то ф-ия f(t) наз-ся интегр-й на отрез. [a, b], а этот lim наз-ся опред. ? от ф-ии f(t) по отрезку [a, b] и обознач-ся: a?b f(t)dt = lim(?>0) I(f(t), Тn, ?1…?n), где a ниж. предел интегр-я, b верх. предел интегр-я, f(t) подинт. ф-ия, f(t)dt подинт. выр-е.
№8
Д/V ф-ии f(t) a?b f(t)dt =0
- a?bdt =b-a
- a?b cf(x)dx = c a?bf(x)dx
- Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на отрез. [a, b], то ф-ия f(x)+g(x) также интегр-ма на отрез. [a, b]. a?b [f(x)+g(x)]dx = a?b f(x)dx + a?b g(x)dx.
- a?b f(x)dx = - b?a f(x)dx если изменить направ-е интегр-я, то измен-ся и знак.
- Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b] (a<b) и (•)-ки c и d обладают св-ми a<c<d<b, то ф-ия f(x) интегр-ма и на отрез. [c, d].
- Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b], а (•)с лежит внутри отрез. [a, b], то
a?b f(x)dx = a?с f(x)dx + с?b f(x)dx.
- Если ф-ия f(x) непрерывна на отрез. [a, b], то она интегр-ма на этом отрезке.
- Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b] и ограничена на этом отрезке, то
m(b-a) ? a?b f(x)dx ? M(b-a); a?b mdx = m a?bdx = m(b-a)
- Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на отрез. [a, b] и во всех (•)-ах этого отрез. Вып-ся нер-во m(b-a) ? a?b f(x)dx ? M(b-a), то f(x) не превосходит g(x): f(x) ? g(x);
a?b f(x)dx ? a?b g(x)dx.
- Теорема о среднем: если ф-ия f(x) непрерыв. на отрез. [a, b], то сущ-т (•)с, лежащая внутри этого отрезка или на его границе, такая, что: a?b f(x)dx = f(c)•(b-a).
№9
Пусть ф-ия f(x) определена и интегр-ма на отрез. [a, b]. Если выбрать нек. произв-е числа a?c<x<b, то по одному из св-в опред. ? ф-ия f(x) будет интегр-ма и на отрез. [c,x].
Ф(х) = с?х f(t)dt.
Св-ва ф-ии Ф(х):
предположим f(x) непрерывна
х+?х
Ф(х+?х) Ф(х) = с?х+?х f(t)dt - с?х f(t)dt = х?х+?х f(t)dt = f(с)•?х, где (•)с лежит внутри интерв. (х+?х).
1) Если ?х>0, ф-ия непрерыв., т.е. ограничена => опред. ? тоже непрерыв.
2) lim (?х>0) ?Ф/?х = f(x)
Т.е. введенная ф-ия Ф(х) первообраз. д/ф-ии f(x).
№10
Пусть Ф(х) какая-то первообраз-я д/ф-ии f(x), тогда можно утверждать, что:
a?х f(t)dt = F(x)+C д/люб. х из интерв. [a, b], тогда a?a f(t)dt =0; F(a)+C=0; C=-F(a)
a?b f(t)dt = F(b) F(a) формула Лейбница-Ньютона.
№11
a?b f(х)dх = ???f(?(t)) ?(t)dt
x= ?(t)
x=a => a=?(t), t = ?-1(a) = ?
x=b => b=?(t), t = ?-1(b) = ?
dx = ?(t)dt
№12
Будем предполагать, что ф-ии u и v интегр-мы на отрез. [a, b] и диффер-мы на этом отрез.
d(uv) = udv+vdu; проинтегр-м по отрез. [a, b] это рав-во
a?bd(uv) = a?budv + a?bvdu
u(b)v(b) u(a)v(a) = a?budv + a?bvdu
a?budv = u(b)v(b) u(a)v(a) - a?bvdu правило интегр-я по частям в опред. ?.
№13
2 случая: 1) ф-ия неогранич. растет в (•); 2) интегр-ие на беск. интервале.
1) Пусть ф-ия f(х) определена на интерв. (a, b), но lim f(x) = ?, тогда a?b f(х)dх будет наз-ся несобств. интегралом.
Под ним поним-ся lim (?>0) a+??b f(x)dx
a?b f(x)dx = lim (?>0) a+??b f(x)dx.
Если этот предел сущ-т и конечен, то данный ? наз-ся сход-ся.
2) Оба, или хотя бы 1 предел интегр. Неограничен.
a?+? f(x)dx = lim (А> +?) a ?А f(x)dx
Если этот предел сущ-т и коне?/p>