Шпаргалка (математика)
Вопросы - Математика и статистика
Другие вопросы по предмету Математика и статистика
?ен, то данный ? наз-ся сход-ся.
-??b f(x)dx = lim (B> -?) B?b f(x)dx
-??+? f(x)dx = -??0 f(x)dx + 0?+?f(x)dx обобщение.
№14
Пусть ф-ия f(x)>0 на отрез. [a, b]
Выберем нек. целое положит. число n и разобьем отрезок [a, b] на n одинак. подотрезков.
(b-a)/n = R
x0 = a; y0 = f(x0)
x1=a+h; y1=f(x1)
--------; ---------
xi=a+ih
xn=b=a+nh; yn=f(xn)
Si = (yi-1 + yi)/2 •h
S=S1+S2+…Sn = h•[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1]
a?b f(x)dx = h•[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1]
№15
y=?x2+?x+?
yi-1 = ?x2i-1+?xi-1+? = ?(xi-h)2+ ?(xi-h)+ ?
yi=?xi2+?xi+?; yi-1 = ?xi2- 2?hxi + 2h2 +?xi ?h +?
yi+1 = ?(xi+h)2+ ?(xi-h)+ ?; yi+1 = ?x2i +2?hxi +2h2 + ?xi + ?h +?
yi+1+ yi-1 = 2 ?x2i + 2?h2 + 2?xi + 2?
yi+1+ yi-1 = 2yi = 2?h2
? = (yi+1+ yi-1 2yi)/ 2h2
Si = xi-1?xi+1(?x2+?x+?)dx = (?x3/3 + ?x2/2 + ?x) | xi+1xi-1 = ?•[(xi+h)3 (xi-h)3]/3 + ?•[(xi+h)2 (xi-h)2]/2 + ?•[(xi+h) (xi-h)]/1 = ?/3•(6x2ih + 2h3) + ?/2•(4xih) + 2?h = (2h?xi2 + 2h?xi + 2h?) + 2/3•h3? = 2hyi + 2/3•h3•( yi+1+ yi-1 2yi)/ 2h2 = h•(6yi + yi+1+ yi-1- 2yi)/3
Si = ( yi+1+ 4yi + yi-1)/3•h формула Симпсона
№16
S=a?b (f1(x) f2(x))dx
S2 = - a?b f2(x)dx
S = a?b(f1(x) f2(x))dx
№17
y = f(x)
{x=?(t)
{y=?(t)
? ? t ? ?
cos2? + sin2? = 1
{x=a•cos?
{y=a•sin?
0 ? ? ? 2?
S = 0?a ydx = - ?/2?0 sin2?d? = a2 0??/2 sin2?d? = a2 0??/2 (1-cos2?)/2 d? = a2?/4
S = ? ?? y(t)x(t)dt вычисление S кривой, если ее Ур-е задано парам-ки.
№18
l вектор, ? длина вектора ОМ
{x = ?cos?
{y = ?sin?
? = v(x2 +y2)
tg? = y/x
? = ?(?) в полярн. сис. коорд.
?(?) ?(? +d?)
ds = ?2/2 d?
? ?? ds = S = ? ???2d?
S = ? ???2d?
№19
В дугу АВ вписали ломаную.
Mi (xi, yi)
yi = f(xi) (если ур-е кривой y = f(x))
| Mi-1 Mi | = v[(xi xi-1)2 + (yi yi-1)2]
l лом = ?n i=1 v[(xi xi-1)2 + (yi yi-1)2] длина ломаной линии.
Опред.: под длиной дуги АВ будем понимать lim длины впис. Ломаной, когда число звеньев неогранич-о растет, а длина max звена стремится к 0.
При оч. мал. ?х: dl = v[(dx)2 + (dy)2] = v[(dx)2 +(yx)2 + (dx)2] =v [1+(yx)2] dx
l дуги ab = a?b v [1+(yx)2] dx формула д/вычисл. длины дуги.
№20
{x=?(t)
{y=?(t)
dx = ?(t)dt
dy = ?(t)dt
l дуги ab = ? ?? v [ (?(t))2 + (?(t))2] dt
№21
{x = ?cos?
{y = ?sin?
dx = (?cos? ?sin?)d?
dy = (?sin? + ?cos?)d?
(dx)2 = (?2cos2? 2??cos?sin? + ?2sin2?)
(dy)2 = (?2sin2? + 2??cos?sin? + ?2cos2?)
dl = v[(?)2 + ?2] d?
l = ? ?? v[(?)2 + ?2] d?
№22
I Вокруг х
a) { y = f(x)
{x = a, x = b
{y = 0
Vx = ? a?b f2(x)dx
б) Час. случай
Vx = ? a?b f2(x)dx - ? a?b g2(x)dx = ? a?b [f2(x) - g2(x)]dx
II Вокруг y
a)
Vy = ? c?d g2(y)dy
б) Час. Случай
Vy = ? c?d f2(y)dy - ? c?d g2(y)dy = ? c?d [f2(y) - g2(y)]dy
№23
Опред-е: числ. ряд сумма беск. числа слаг-ых u1+u2+…+un = ??n=1 un (1), каж. из кот. опред. число.
un = n/(n2+1)
Последов-ть частичных сумм:
S1 = u1
S2 = u1+u2
S3 = u1+u2+u3
----------------
Sn = u1+u2+…+un
??n=1 un = Sn + ??k=n+1 uk = Sn + rn, rn n-й остаток ряда
Опред-е: ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конечен lim послед-ти частичных сумм, а сам этот lim наз-ся суммой числ. ряда.
S = lim (n>?) Sn
Опред-е: если у этой послед-ти частич. сумм нет lim или lim=?, то ряд наз-ся расход-ся.
Теорема: д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о, чтобы остаток ряда > к 0, т.е. чтобы lim (n>?) rn = 0
Теорема (необх. усл-е сход. ряда)2: если ряд 1 сход-ся, то lim (n>?) un = 0.
Следствие из теор.2: если n-й член ряда не > к 0, то ряд расх-ся.
№24
Основ. св-ва сход. рядов:
- Если члены сход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход. ряда, т.е. ??n=1 un = S; ??n=1 ?•un = ?•S
- Если ряд 1 сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. число слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся.
- Если ряд с членами un сход-ся и его сумма = ??n=1 un = S и ряд с членами vn сход-ся и его сумма = ??n=1 vn = ?, то ряд с чл. (un + vn) сход-ся и его сумма = ??n=1 (un + vn) = S+ ?
??n=11/ n = 1+1/2+1/3+…+1/n… - гармонич. ряд
№25
Признак Даламбера: Пусть дан ряд ??n=1 un, если lim (n>?) un+1/un = k
{k<1 ряд сх.
{k>1 ряд расх.
{k=1 вопр. о сход. ряда ост-ся открытым
Интегральный признак: Им-ся ряд с положит. членами. un = f(n) эта ф-ия определена на интерв. [1; +?]. Если 1?? f(x)dx несобств. интеграл сход-ся, то изнач. ряд тоже сход-ся.
??n=11/ n гарм. ряд; ??n=11/ n? обобщ. гарм. ряд.
f(x) = 1/x?
1?? dx/x? = lim (A>?) 1?A dx/x? = lim (A>?) [-?x-?+1] |A1 = lim (A>?) [? - ?A-?+1] = lim (A>?) [? ?/A-?+1]
Если ?>1, вычит. > к 0 при А> ?, ряд сход-ся.
Если ??1, А-b положит. степ., при А> ? ряд расх-ся.
№26
??n=1 (-1)n+1un = u1-u2+u3- u4+…, причем un ?0
Теорема Лейбница: если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-я un+1< un
и lim (n?p>