Шпаргалка (математика)
Вопросы - Математика и статистика
Другие вопросы по предмету Математика и статистика
???) un = 0, то дан. ряд сход-ся.
Док-во:
Найдем 2n частичную сумму ряда:
S2n = (u1u2) + (u3-u4) +…+(u2n-1-u2n) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм возраст-я = u1(u2 u3) + (u4 u5)-…-( u2n-2-u2n-1) - u2n< u1
имеем послед-ть монотонно возр-х сумм она имеет lim
Рассмотрим нечет. частич. сумму S2n+1 = S2n + u2n+1
lim (n>?) S2n+1 = lim (n>?) S2n + lim (n>?) u2n+1 = S
Чтд.
??n=1 (-1)n/n знакочеред. ряд
un = 1/n, un+1 = 1/(n+1)
un > un+1
lim (n>?) un = lim (n>?) 1/n = 0
№27
- ??n=1 un числа u и n могут иметь произвол. знаки
- ??n=1 |un| - ряд из абсолют. знач-й ряда (1)
Обозначим ч/з Sn n-ную частич. сумму 1-го ряда и ч/з ?n 2-го ряда.
|Sn| = | ?nk=1 uk| ? ?nk=1|uk| = ?n
|Sn|? ?n
Опред-е: если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют. знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2) , то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом. Если же ряд 1 сход-ся, а ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся условно сход-ся рядрм.
№28
Ряды можно составлять и из ф-ий функц-е ряды: ??k=1 fk(x)
Выберем нек. (•)х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех (•)-ек х, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда.
f1(x0)+ f2(x0)+…+ fn(x0)+…= S(х0)
Ч/з S(х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти, кот. наз-ся суммой эт. ряда.
Степенным рядом наз-ся ??n=0 Сn(х-х0)n (1)
Числа Сn-ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х0 наз-ся центром степ. ряда.
В (•)х=х0 степ. ряд сход-ся.
Теорема Абеля: утвержд.1: если ряд 1 сход-ся в нек. (•)х1, то он сход-ся в люб. (•)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|<|х1-х0|.
утвержд.2: если ряд 1 расх-ся в нек. (•)х2, то он расх-ся в люб. (•)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|>|х2-х0|.
Областью сход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в (•)х0 (х0 R, х0 + R), число R-max расстояние от (•)х0 до (•), где ряд сх-ся радиус сход-ти степ. ряда.
R = lim (n>?) |Cn|/|Cn+1| - правило д/нахожд. радиуса сход-ти.
№29
Св-ва степ. рядов:
- В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно.
- В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии.
- Степ. ряд можно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в том же самом интерв-ле к ф-ии , кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда.
??n=0 Cn (х-х0)n = S(x)
??n=0 Cn n(х-х0)n-1 = S(x)
- Степ. ряд можно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том же интервале к ф-ии = ? от ф-ии исход. ряда.
??n=0 ?Cn (х-х0)n dx = ?S(x)dx
??n=0 Cn/(n+1)•(х-х0)n+1 = ?S(x)dx
№30
R может = люб. числу от 0 до +?.
??n=0 Cn (х-х0)n = S(x)
(х0 R, х0 + R) интерв.
S(х0) = С0
С1 + 2С2 (х-х0) +3С3(х-х0)2 +…= S(x); С1= S(х0)
С2 + 3•2С3 (х-х0) +4•3С4(х-х0)2 +…= S”(x); С2= S”(х0)/2
Сn = S(n)(х0)/n!
S(х) = ??n=0 S(n)(х0)/n! • (х-х0)n ряд Тейлора д/ф-ии S(х)
№31
Опред-е: диф-м ур-м наз-ся ур-е, связывающее искомую ф-ию одной или неск-х переменных, эти переменные и производ-е различ. порядков дан. ф-ии.
Если исход. ф-ия зависит от 1 перемен. => ур-е обыкновенное, если от 2 и более перемен. => ур-е в частных производных.
F(x) = f(x)
G(x, y, y,…y(n))=0 общая запись обык. диф. ур-я
Опред-е: решением диф-го ур-я наз-ся такая ф-ия у, кот. при подстановке ее в ур-е превращ. его в тождество.
у”+y =0
y=sinx
Задача о нахождении реш-я диф. ур-я наз-ся задачей интегриров-я дан. диф. ур-я. График реш-я диф. ур-я наз-т интегральной кривой. Реш-е, зависящее от произвольных const наз-ся общим реш-м диф. ур-я.
№32
Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся диф. ур-м с разделяющимися переменными, если оно может быть записано в одном из след. видов:
(*) dy/dx = f(x)g(y); dy/g(y) = f(x)dx
(**) M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0; M(x)dx/P(x) = Q(y)dy/N(y)
(*) ?dy/g(y) = ?f(x)dy
(**) ?M(x)dx/P(x) = -?Q(y)dy/N(y)
№33
Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся однородным, если его можно записать в след. виде: y = f(y/x)
Ф-ия f(x, y) наз-ся однород. ф-ией порядка k, если f(dx, dy) = ?k f(x, y).
Пример:
y = (x+2y)/x
y = 1+2y/x
Пусть y/x = z,
y = zx
y = z+xz
z+xz = 1+2z
xz = 1+z
dz/(1+z) = dx/x
?dz/(1+z) = ?dx/x
ln|1+z| = ln|x|+lnC
|1+z| =|x|C
z = xC 1
y/x = xC 1
y = x2C - x
№34
Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка, им. вид y+f(x)y = g(x), наз-ся линейным диф-м ур-м.
Если g(x) ? 0, то соотв. ур-е наз-ся однород. лин. ур-м.
Если g(x) ? 0, то ур-е наз-ся неоднородным.
Реш-е им. вид:
y(x) = u(x)v(x)
y = uv + uv
uv + uv + f(x)uv = g(x)
uv + u(v + f(x)v) = g(x)
v + f(x)v= 0
dv/v = -f(x)dx
v = -?f(x)dx
№35
В нек. случаях реш-е диф. ур-я 2-го порядка можно свести к послед. реш-ю 2-х диф. ур-й 1-го порядка. В этих случаях говорят, что диф. ур-е 2-го порядка допускает пониж. порядка ур-я.
а) y” = f(x) прав. частьна зависит от у
y = z
z = ?f(x)dx
y = ?f(x)dx
б) если в записи ур-я 2-го порядка не входит искомая ф-ия у
G (x, y, y”) = 0
y = z
G (x, z, z”) = 0
в) когда в ур-ии нет в явном виде независ. перемен. х
За независ. перемен. взять у, а за нов. ф-ию zy.
G (y, y, y”) = 0
y = z
2yy” = (y)2 +1
y = z(y)
y” = zy • y = zz
2yz•z = z2 +1
2yz•dz/dy = z2 +1
2zdz/(z2 +1) = dy/y
ln|z2 +1| = ln|y| + ln|C1|
z2 +1 =yC1
z = v( yC1 1)
dy/dx = v( yC1 1)
? dy/v( yC1 1) = ?dx
y = [(x+C2)2/4 + 1] • 1/C1
№36
Пусть z = f(x,y) ф-ия 2-х переменных
zx; ?z/?x частная производ. по х
zу; ?z/?у частная производ. по у
Полный дифф-ал 1-го порядка от ф-ии z: dz = ?z/?x • dx + ?z/?у• dy
Пример:
z = sin(x3y)
zx = cos(x3y) •3x2y
zу = cos(x3y) • x3
dz = 3x2ycos(x3y)dx + x3 cos(x3y)dy
№37
M0 (x0, y