Шпаргалка (математика)
Вопросы - Математика и статистика
Другие вопросы по предмету Математика и статистика
0)
M (x0+?x, y0)
f(M) f(M0) = f(x0+?x, y0) - f(x0, y0) = ?x f(x0, y0) част. приращ. по перемен. х
f(x0+?x, y0) - f(x0, y0) = ?у f(x0, y0) - част. приращ. по перемен. у
Опред-е: част. произв-й ф-ии 2-х переменных по перемен. х наз-ся предел отнош-я частного приращ-я по этой перемен. к приращ. этой перемен. при усл-ии когда предел:
lim(?x>0) ?xf(x, y)/ ?x = ?f/?x
№38, №41
Пусть дана ф-ия 2-х перемен. z=f(x, y)
?z = f(x +?x, y +?y) полн. приращ. ф-ии
? = v[(?x)2 (?y)2]
Если расст. > к 0, ?x и ?y> к 0.
Если ?x и ?y> к 0, то ?>0.
В этом прир-ии ф-ии глав.лин. часть выр-е: ?z = f(x +?x, y +?y) - f(x, y) = А•?x + В•?у + O(?)
Если при ?>0 можно подобрать вел-ны А и В, не завис. от ?x и ?y, такие, что А•?x + В•?у будет отлич-ся от полн. приращ-я ф-ии ?z на вел-ну беск. малую высшего порядка по срав. с ?, то ф-ия z наз-ся диффер-ой ф-ией, а глав. лин. часть его приращ-я наз-ся полным диф-ом ф-ии z(dz).
А•?x + В•?у = dz
Теорема1: диф-л ф-ии = сумме произвед-й: част. произв-е ф-ии на диф-л этой перемен.
dz = ?z/?x • dx + ?z/?y • dy
Теорема2: если ф-ия z = f(x,y) обладает непрерывными частными произв-ми ?z/?x и ?z/?y в заданной области, то эта ф-ия диф-ма в дан. области и ее диф-ал выр-ся: dz = ?z/?x • dx + ?z/?y • dy
P(x, y)dx + Q(x, y)dy (*)
{?f(x,y)/?x = P(x, y)
{?f(x,y)/?y = Q(x, y)
Теорема3: д/того, чтобы выр-е (*) было полн. диф-ом нек. ф-ии f(x,y) необходимо, чтобы в заданной области тождественно вып-сь соотн-е: ?Q/?x = ?P/?y (**) необх. усл-е полн. диф-а.
№39
z = f(x,y) определена в нек. области G
На луче l выберем (•)М(х,у) и будем перемещ-ся из (•)М(х,у) в (•)М(х+?x,у+?y)
?e z = f(х+?x,у+?y) - f(х,у)- приращ-е ф-ии в заданном направ-ии l.
?(M, M) = ?l
?x = ?l•cos?
?x = ?l•sin? = ?l•cos(?/2 ?)
?/2 ? = ?
?x = ?l•cos?
?y = ?l•cos?
cos? и cos? направляющие cos-ы дан. вектора
Опред-е: вел-на lim (?l>0) ?e z/?l = ?z/?l наз-ся производ. ф-ии z по направ. l. Эта вел-на задает скорость измен-я ф-ии в задан. направ-ии l.
lim (?l>0) ?e z/?l = ?z/?l = ?z/?x• cos? + ?z/?y• cos?
№40
Опред-е: max-ом ф-ии f(x,y) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое в нек. f(x0,y0), кот. больше всех ее знач-й f(x,y), принимаемых дан. ф-ией в (•)-ах нек. окрестности f(x0,y0).
Опред-е: min-ом ф-ии f(x,y) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое дан. ф-ией, кот. меньше всех знач-й ф-ии, принимаемых ею в (•)-ах нек. окрестности f(x1,y1).
Теорема1 (необх. усл-е экстремума): в (•) экстремума ф-ии неск. переменных каж. ее частная произв-я 1-го порядка либо =0, либо не сущ-т.
(•)-ки, в кот. частная произв-я 1-го порядка одновременно =0, и не сущ-т, наз-ся критич. д/дан. ф-ии или подозрит. на экстремум.
Опред.: наиб. и наим. знач. ф-ии в дан. области g наз-ся абсолютным (глобальным) экстремумом ф-ии в дан. (•).
Теорема Вейерштрасса: ф-ия, непрерыв. в огранич. и замкнутой области достигает своего наиб. и наим. знач. либо в критич. (•) этой ф-ии, лежащей в области, либо на границе области.
Теорема3 (достат. усл-е экстремума ф-ии 2-х перемен.): пусть ф-ия z = f(x,y) непрерыв. в нек. критич. (•) (x0, y0), а также определена и непрерывна в нек. ее окрестности. Пусть кроме того ф-ия имеет непрерыв. част. произв. 2-го порядка в этой (•) и пусть
f”xx(x0, y0) = A
f”xy(x0, y0) = B
f”yy(x0, y0) = C,
тогда если число (АС-В2)>0, то в дан. (•) будет экстремум, причем, если А0, то в дан. (•) будет min.
Если (АС-В2) <0, то в дан. (•) экстремума нет.
Если (АС-В2) =0, то вопрос ост-ся открытым.
№42
z = f(x,y)
Д- плоскость, огранич. или неогранич.
Разделим областьД:
?Si
?S = max{?Si}
I = ?ni=1 f(xi, yi)?Si интегр-я сумма д/ф-ии z = f(x,y) (1)
Опред-е: если сумма (1) им. предел при n>?, так, чтобы ?S>0 и этот предел не зависит от выбора сп-ба разбиения области Д и от выбора внутр. (•)-ек в каж. части разбиения, то ф-ия f(x,y) наз-ся интегрируемой по обл. Д, а сам предел наз-ся двойным ? по обл. Д от ф-ии f.
lim(?S>0) ?ni=1f(xi, yi)?Si = ?Д? f(x,y)dS, где dS беск. малое приращ. площади, диф-л S.
Геометрич. смысл 2-го ?:
?Si = ? xi • ?yi
?mj=1 ?ni=1 f(xi, yi)• ? xi • ?yi
?Д? f(x,y)dS = ?Д?f(x,y)dxdy повторный ?
a?bdx g(x) ?f1(x) f(x, y)dy (из 1)
?Д? f(x,y)dxdy = c?d g(y) ?r(x) f(x,y)dx
?Д? dxdy = Sд - замечание