по циклу Б. 3-профессиональный цикл, вариативная часть

Вид материала

Рабочая учебная программа

Содержание

Векторная алгебра
Учебно-методическое и информационное

Подобный материал:

1 2 3 4 5

Перечень вопросов на проверку формирования компетенций

ОК-1, ОК-6, ОК-16, ОПК-3, ПК-12

^ Векторная алгебра

Векторы как классы сонаправленных отрезков одинаковой длины. «Аксиомы» Г.Вейля. Критерии равенства векторов.
Определение вектора. Сложение векторов, его алгебраические законы. Два способа построения.
Вычитание двух векторов. Теорема о существовании и единственности разности. Два способа построения разности.
Умножение вектора на число. Законы умножения. Признак коллинеарности двух векторов.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Теорема о линейной зависимости системы из n векторов. Подсистема линейно независимой системы векторов.
Базис на прямой. Критерий коллинеарности векторов.
Базис на плоскости. Критерий компланарности векторов.
Базис в пространстве. Линейная зависимость системы более, чем из трех векторов геометрического пространства.
n-мерное векторное пространство. Базис и координаты вектора. Теорема о единственности координат.
Проекция вектора на вектор и ее свойства.
Скалярное произведение векторов. Его алгебраические и геометрические свойства.
Скалярное произведение векторов. Вычисление в координатах и приложения.
Векторное произведение векторов и его геометрические свойства. Сформулировать алгебраические свойства. Доказать антикоммутативность и закон вынесения скалярного множителя.
Смешанное произведение векторов, его геометрические и алгебраические свойства.
Дистрибутивный закон векторного произведения.
Вычисление векторного и смешанного произведения в координатах. Приложения векторного и смешанного произведения.

Аналитическая планиметрия

Суть метода координат. Аффинная система координат на плоскости. Координаты точки. Решение простейших задач.
Формулы перехода от одной аффинной (прямоугольной декартовой) системы координат к другой.
Уравнение фигуры. Две задачи аналитической геометрии. Вывести уравнение окружности.
Два основных способа задания прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой.
Теорема о линиях первого порядка. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл углового коэффициента. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
Расположение прямой относительно системы координат в зависимости от равенства нулю некоторых из коэффициентов в общем уравнении прямой.
Геометрический смысл неравенств Ax+By+C>0, Ax+By+C<0. Формула для вычисления расстояния от точки до прямой.
Аналитические условия взаимного расположения двух прямых.
Направленный и ненаправленный угол между двумя прямыми. Вычисление угла. Условие перпендикулярности двух прямых.
Определение и вывод канонического уравнения эллипса.
Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.
Определение и вывод канонического уравнения гиперболы.
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.
Определение и вывод канонического уравнения параболы. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению.
Директориальное свойство эллипса и гиперболы. Другие определения эллипса и гиперболы.
Полярная система координат на плоскости. Переход от полярных координат точки к декартовым и обратно.
Полярные уравнения конических сечений.
Понятие квадрики. Приведение общего уравнения квадрики к каноническому виду (случаи квадрик эллиптического, гиперболического и параболического типов). Теорема о классификации квадрик.
Центр квадрики. Доказать, что центр квадрики является ее центром симметрии. Исследование системы центров.
Пересечение квадрики с прямой.
Асимптотические направления относительно квадрики. Исследование условия асимптотического направления.
Касательная к квадрике. Теорема существования и единственности. Уравнение касательной.
Сопряженные направления.
Диаметры квадрики. Сопряженные диаметры. Свойства диаметров.
Главные направления квадрики.

Аналитическая стереометрия

Аффинный репер и аффинные координаты в трехмерном пространстве. Свойства координат. Решение простейших задач. Аффинные и метрические задачи.
Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.
Уравнение множества точек. Две основные задачи аналитической геометрии. Алгебраические поверхности. Вывод уравнения сферы.
Два основных способа задания плоскости в трехмерном пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.
Теорема о поверхностях первого порядка. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости.
Условие параллельности вектора и плоскости. Расположение плоскости в системе координат в зависимости от ее уравнения.
Условия взаимного расположения двух плоскостей.
Геометрический смысл неравенств Ax+By+Cz+D>0, Ax+By+Cz+D<0. Вывод формулы для вычисления расстояния от точки до плоскости.
Два основных способа задания прямой в трехмерном пространстве. Переход от одного вида уравнений прямой к другому.
Условия взаимного расположения прямой и плоскости.
Условия взаимного расположения двух прямых в трехмерном пространстве.
Вычисление углов между двумя плоскостями, между прямой и плоскостью, между двумя прямыми в трехмерном пространстве.
Вычисление расстояний от точки до прямой и между двумя прямыми в трехмерном пространстве (рассмотреть все возможные случаи).
Определение цилиндрической поверхности. Направляющая и образующие. Особенности уравнения цилиндрической поверхности в подходящей системе координат.
Цилиндры второго порядка. Исследование методом сечений. Классификация.
Определение конической поверхности. Направляющая и образующие. Особенности уравнения конической поверхности в подходящей системе координат.
Конус второго порядка. Исследование методом сечений. Построение в системе координат.
Определение поверхности вращения. Параллели и меридианы. Вывод уравнения поверхности вращения.
Эллипсоиды. Исследование методом сечений. Построение в системе координат.
Однополостные гиперболоиды. Исследование методом сечений. Построение в системе координат.
Двуполостные гиперболоиды. Исследование методом сечений. Построение в системе координат.
Эллиптические параболоиды. Исследование методом сечений. Построение в системе координат.
Гиперболические параболоиды. Исследование методом сечений. Построение в системе координат.
Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида.
Классификация квадрик (случаи трех, двух и одного квадратов).

Геометрические преобразования плоскости и пространства

Отображения, биекции, преобразования. Примеры и контрпримеры. Композиция отображений, ее некоммутативность. Теорема о группе всех преобразований пространства. Критерий подгруппы.
Определение геометрий по Ф.Клейну («Эрлангенская программа»). Примеры.
Аффинные преобразования. Групповое свойство аффинных преобразований (теорема), понятие аффинной геометрии по Клейну.
Теорема аффинной подвижности плоскости. «Координатное» определение аффинного преобразования.
Геометрические свойства аффинных преобразований.
Аффинная эквиваленность фигур (прямые, лучи, отрезки, полуплоскости, углы, треугольники). Аффинные классы четырехугольников. Аффинные классы квадрик на плоскости.
Формулы аффинного преобразования (в координатном и векторном виде), обратного к нему, композиции аффинных преобразований. Примеры.
Неподвижные точки аффинных преобразований. Аффинные преобразования плоскости с двумя или тремя неподвижными точками. Строение аффинной группы.
Нахождение неподвижных прямых аффинного преобразования.
Движения евклидовой плоскости. Задание движения парой реперов и геометрические свойства движений.
Групповое свойство движений евклидовой плоскости. Определение метрической евклидовой геометрии по Клейну. Конгруэнтность фигур (прямые, углы, треугольники...).
Аналитической задание движений евклидовой плоскости. Движения первого и второго рода.
Параллельный перенос плоскости и его свойства.
Поворот плоскости и его свойства. Центральная симметрия плоскости как частный случай поворота плоскости.
Осевая симметрия плоскости и ее свойства.
Скользящая симметрия плоскости и ее свойства.
Разложение движений плоскости в композицию не более трех осевых симметрий.
Неподвижные точки движений плоскости. Классификация движений плоскости (теорема Шаля).
Строение группы движений евклидовой плоскости и группы движений I рода.
Группы самосовмещений фигур, примеры, отсутствие в них переносов и скользящих симметрий в случае ограниченности фигуры.
Особенности поворотов в группе самосовмещений плоской фигуры.
Особенности осевых симметрий в группе самосовмещений плоской фигуры.
Строение группы самосовмещений плоской фигуры при условии конечности группы или ограниченности фигуры.
Движения трехмерного пространства Классификация движений первого рода трехмерного пространства.
Классификация движений второго рода трехмерного пространства.
Разложение движений на отражения от плоскостей. Примеры композиций отражений.
Разложение аффинного преобразования на движение и растяжения.
Подобия, их групповые и геометрические свойства.
Гомотетия плоскости и ее свойства.
Разложение подобия в композицию движения и гомотетии. Формулы подобий.
Неподвижные точки подобий. Классификация подобий плоскости.
Неподвижные точки подобий. Классификация подобий трехмерного пространства.
Три признака подобия треугольников.
Подобие парабол, эллипсов, гипербол.

Многомерная геометрия

Определение n-мерного аффинного пространства. Простейшие следствия из системы аксиом n-мерного аффинного пространства.
Аффинный репер в n-мерном аффинном пространстве. Координаты точек. Формулы преобразования координат точек при переходе от одного аффинного репера к другому.
k-плоскости. Определение. Примеры. Свойства.
Параметрические и общие уравнения k-плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей в n-мерном аффинном пространстве.
Определение n-мерного евклидова векторного пространства. Длина вектора. Угол между векторами.
Определение n-мерного евклидова пространства (точечного). Метрика в евклидовом пространстве.
Определение отрезка, луча, угла. Вычисление расстояний и углов в n-мерном евклидовом пространстве. Вывод уравнения гиперсферы.
Ортогональное дополнение подпространства. Полный перпендикуляр к k-плоскости. Уравнение полного перпендикуляра. Формула вычисления расстояния от точки до гиперплоскости.

Проективная геометрия

Определение проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости.
Проективный репер и проективные координаты точки в проективном пространстве.
Проективные координаты на проективной прямой. Построение точки по ее координатам. Связь между проективными и аффинными координатами точки на проективной прямой.
Проективные координаты на проективной плоскости. Построение точки по ее координатам.
Связь между проективными и аффинными координатами точки на проективной плоскости.
Уравнение прямой на проективной плоскости.
Принцип двойственности на проективной плоскости.
Теорема Дезарга и обратная к ней. Конфигурация Дезарга.
Применение теоремы Дезарга для решения задач по элементарной геометрии.
Сложное отношение четырех коллинеарных точек. Теорема о корректности определения.
Свойства сложного отношения четырех коллинеарных точек. Связь между сложным отношением и простыми отношениями на расширенной проективной плоскости.
Перспективное отображение прямой на прямую. Сложное отношение четырех прямых пучка. Перспективное отображение пучка на пучок.
Гармонические четверки точек и прямых. Примеры.
Полный четырехвершинник и его гармонические свойства. Двойственная теорема.
Построение точки, четвертой гармонической к трем заданным точкам.
Приложение свойств полного четырехвершинника к решению задач по элементарной геометрии.
Определение проективного отображения одного проективного пространства на другое. Теорема о геометрических свойствах проективного отображения.
Теорема о задании проективного отображения парой реперов.
Разложение проективного отображения прямой на прямую в композицию перспектив.
Группа проективных преобразований. Предмет проективной геометрии. Проективные свойства фигур.
Аналитическое задание проективных преобразований.
Определение квадрики. Пересечение квадрики с прямой.
Касательная к квадрике. Особые точки кривой.
Полюс и поляра. Их свойства. Поляритет.
Построение полюса и поляры относительно квадрики. Построение касательной к квадрике.
Автополярные треугольники первого и второго рода. Классификация квадрик на проективной плоскости.
Теорема Штейнера. Следствие.
Теорема обратная к теореме Штейнера. Существование и единственность овальной кривой, проходящей через заданные точки.
Теорема Паскаля и обратная к ней. Теорема Брианшона.

Топология

Определение топологического пространства. Примеры.
Замкнутые множества и их свойства. Различные определения топологического пространства.
Индуцированная топология. Топологические подпространства. Примеры.
Внутренние и граничные точки. Их свойства. Примеры.
Непрерывные отображения. Признак непрерывности отображения.
Пример непрерывного отображения, обратное к которому не является непрерывным. Понятие гомеоморфизма. Группа гомеоморфизмов. Предмет топологии.
Компактность, как один из инвариантов группы гомеоморфизмов.
Связность, как один из инвариантов группы гомеоморфизмов.
Понятие кривой в трехмерном евклидовом пространстве. Классификация простых кривых.
Понятие поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Примеры.
Замкнутые и открытые поверхности. Примеры.
Клеточное разбиение поверхности. Эйлерова характеристика. Примеры.
Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Примеры.
Признак гомеоморфности двух поверхностей. Классификация замкнутых поверхностей. Доказать что тор гомеоморфен сфере с одной ручкой, проективная плоскость – сфере с одним листом Мебиуса. Чему гомеоморфна бутылка Клейна?

Дифференциальная геометрия

Элементы векторного дифференциального исчисления.
Леммы о вектор - функциях постоянного модуля, постоянного направления и компланарных значений.
Уравнение линии. Гладкие линии.
Касательная к гладкой кривой. Теорема о существовании касательной. Уравнение касательной.
Длина дуги кривой. Естественная параметризация.
Репер Френе.
Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой.
Формулы для вычисления координатных векторов репера Френе, кривизны и кручения кривой, заданной в произвольной параметризации.
Геометрический смысл равенства нулю кривизны и кручения кривой.
Поведение кривой в окрестности некоторой ее точки.
Уравнение поверхности. Понятие гладкой поверхности.
Координатная сеть на поверхности. Примеры поверхностей и координатных сетей на этих поверхностях.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности и ее геометрический смысл.
Приложение первой квадратичной формы для вычисления длин, углов и площадей на поверхности.
Вторая квадратичная форма поверхности и ее геометрический смысл.
Понятие внутренней геометрии поверхности.

Основания геометрии

Развитие геометрии до Евклида.
"Начала" Евклида. Содержание и характеристика. Историческое значение.
Проблема пятого постулата и ее решение. Творцы неевклидовой геометрии. Значение открытия неевклидовой геометрии.
Сущность аксиоматического метода. Понятие математической структуры. Структуры рода n-мерного аффинного и n-мерного евклидова пространств.
Модель математической структуры. Изоморфизм моделей. Арифметическая модель n-мерного аффинного пространства.
Требования, предъявляемые к системе аксиом. Определение непротиворечивости. Пример доказательства непротиворечивости.
Независимость (минимальность) системы аксиом математической структуры. Достаточный признак. Пример доказательства независимости аксиомы.
Полнота системы аксиом. Достаточный признак. Пример доказательства полноты.
Структура евклидовой плоскости по Гильберту. Характеристика аксиоматики Гильберта.
Абсолютная геометрия. Доказать первую теорему Саккери-Лежандра.
Эквивалентность пятого постулата Евклида и предложения Плейфера относительно абсолютной геометрии.
Эквивалентность пятого постулата Евклида и предложения о сумме углов треугольника относительно абсолютной геометрии.
Структура евклидовой плоскости по Вейлю. Доказать непротиворечивость аксиоматики Вейля.
Определения прямой, отрезка, луча, полуплоскости и понятия "лежать между" в системе аксиом Вейля. Корректность определения прямой.
Теоремы принадлежности в аксиоматике Вейля.
Теоремы порядка в аксиоматике Вейля.
Теоремы наложения в аксиоматике Вейля.
Предложение Плейфера в аксиоматике Вейля.
Школьная аксиоматика евклидовой плоскости (по Атанасяну). Эквивалентность аксиоматики Вейля и аксиоматики Атанасяна.
Аксиоматика плоскости Лобачевского. Доказательство ее непротиворечивости.
Теорема о существовании граничных прямых в пучке. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского.
Сумма углов треугольников и четырехугольников на плоскости Лобачевского. Признаки конгруэнтности треугольников.
Угол параллельности, отрезок параллельности и их свойства. Функция Лобачевского. Геометрия Евклида как предельный случай геометрии Лобачевского.
Секущие равного наклона к прямым пучка и их свойства.
Окружность, орицикл и эквидистанта – кривые постоянной кривизны на плоскости Лобачевского,

Перечень вопросов на проверку формирования компетенций

ОК-8, ОПК-3, ОПК-4, ОПК-6, ПК-12, ПК-13

(на материале всех разделов дисциплины «Геометрия»)

Теоретический вопрос

В предложенном математическом тексте выделите структуру (определения понятий, примеры, свойства, формулировки теорем, доказательства теорем) и составьте планы доказательств теорем.
Сравните два метода (приема) доказательства одной теоремы (свойства) и выделите главные составные части доказательств.
Составьте опорный конспект предложенного математического текста; одного из изученных разделов дисциплины; вопроса, вынесенного на самостоятельное изучение.
Дополните предложенное математическое доказательство недостающими теоретическими обоснованиями.
Дано доказательство некоторой геометрической теоремы. Сформулируйте эту теорему, выделите ее условие и заключение.
Сравните, как развивается одна и та же тема в школьном учебнике геометрии и курсе геометрии педагогического университета (в двух школьных учебниках разных авторов).
Сформулирована теорема и приведено ее доказательство. Анализируя доказательство, определите, какие из условий теоремы опущены (являются лишними).
Составьте глоссарий к материалу предложенного математического текста.
Поставьте вопросы, направленные на проверку усвоения предложенного математического материала.
Составьте алгоритм решения задачи по материалам предложенного математического текста.
Укажите логическую последовательность изложения указанной темы.
Расположите данные разрозненные фрагменты изученного курса в их логической последовательности.
Докажите математический факт по предложенному плану.
Дано несколько утверждений. Обобщите указанные факты и сформулируйте в виде одного утверждения. Докажите его.
Опишите возможности использования изученного материала для организации исследовательской (проектной) деятельности учащихся.
Продумайте последовательность организации исследовательской деятельности учащихся при подготовке реферата по предложенной теме.
Предложите несколько тем и планов рефератов (проектов) для учащихся разных классов по данной теме.
Составьте развернутый план реферата по заданной теме, используя представленную литературу.
Проанализируйте реферат, подготовленный школьником, сформулируйте рекомендации по организации дальнейшей работы.
Сформулируйте затруднения, которые могут возникнуть у учащегося при работе над содержанием реферата (проекта) по данной теме. Предложите пути их устранения.

Практический вопрос

Проверьте предложенное решение задачи, при необходимости дополните или исправьте его.
Сформулируйте опорную задачу для решения предложенной совокупности задач.
Решите предложенную задачу и составьте еще одну, отличающуюся от нее числовыми данными, которые приводят к удобным вычислениям и ответу в целых числах.
Составьте не менее пяти задач по указанным данным и опишите алгоритмы их решения.
Из предложенного списка задач выберете задачи, при решении которых вы использовали бы указанный метод или теоретический факт. Проиллюстрируйте ваше решение на примере одной задачи.
Из определенного параграфа школьного учебника выберете задачи, которые можно решить указанным методом. Проиллюстрируйте ваше решение на примере одной задачи.
Предложено решение задачи. Поставьте вопросы по ходу ее решения и ответьте на них.
Составьте задачу, при решении которой необходимо использовать данные (2-3) опорные задачи.
Решите предложенную задачу. Проведите ее исследование (всегда ли данная задача имеет решение, количество решений в зависимости от величин данных элементов или их расположения).
Сформулируйте на основе предложенной совокупности задач исследовательскую задачу для учащихся.

Перечень тестов

Векторная алгебра

Тест 1. Векторы и линейные операции над ними.

Тест 2. Скалярное, векторное и смешанное умножения векторов.

Аналитическая планиметрия

Тест 1. Прямая на плоскости.

Тест 1. Квадрики на плоскости.

Аналитическая стереометрия

Тест 1. Плоскость и прямая в пространстве.

Тест 2. Квадрики в пространстве.

Геометрические преобразования плоскости и пространства

Тест 1. Отображения и преобразования. Аффинные преобразования плоскости.

Тест 2. Движения и подобия плоскости.

Многомерная геометрия

Тест 1. Уравнение k-плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

Проективная геометрия

Тест 1. Элементы проективной геометрии.

Топология

Тест 1. Элементы топологии.

Дифференциальная геометрия

Тест 1. Кривые и поверхности в евклидовом трехмерном пространстве.

Основания геометрии

Тест 1. Основные вопросы аксиоматики. Аксиоматики евклидовой плоскости.

Тест 2. Неевклидовы геометрии.

^ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Blog

Содержание