Рабочая учебная программа по дисциплине «Геометрия» для ооп направления «050100. 62 -педагогическое образование» Профиль «Математика» по циклу Б. 3-профессиональный цикл, вариативная часть
| Вид материала | Рабочая учебная программа |
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Элементарная математика» для ооп «050100., 928.97kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Алгебра» для ооп по направлению «050100 Педагогическое, 518.43kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Практикум по решению задач по математике», 239kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Теоретические основы школьного курса математики», 316.89kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Конструктивная геометрия» для ооп «050100., 180.96kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Методика обучения и воспитания в математическом, 1082.07kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Культурологические аспекты геометрии» для, 137.64kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Элементы теории графов» для ооп «050100., 334.53kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Выпуклые тела и многогранники» для ооп «050100., 253.14kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Геометрия Галилея» по направлению «050100., 100.64kb.
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
- Векторная алгебра
Векторы и линейные действия с ними
Направленные отрезки (связанные векторы): сонаправленые, противонаправленные и противоположные. Длина отрезка. Направленные отрезки нулевой длины, их сонаправленность со всеми.
Векторы (свободные векторы) как классы сонаправленных отрезков одинаковой длины. Направленный отрезок как изображение вектора. Длины векторов, орты, нуль-вектор. Сонаправленные, противонаправленные, противоположные, коллинеарные, компланарные векторы. “Аксиомы” Г. Вейля, связывающие векторы и точки. Критерии равенства векторов.
Сложение векторов. “Правило треугольника”, его корректность. Четыре закона сложения, их доказательство. Следствие о вычитании.
Умножение вектора на число, его четыре закона, их доказательство. Понятие действительного векторного (=линейного) пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Наследуемость линейной независимости подсистемами.
Геометрический смысл линейной зависимости системы из одного, двух, трех векторов геометрического пространства. Линейная зависимость системы из более, чем трех векторов геометрического пространства.
Понятие векторного пространства. Примеры векторных пространств.
Базис векторного пространства, размерность. Базис на прямой, базис на плоскости, базис в геометрическом пространстве. Координаты вектора в данном базисе, их свойства, критерий коллинеарности векторов в координатах.
^ Скалярное умножение векторов
Угол между векторами. Перпендикулярность (= ортогональность) векторов, поведение нуль-вектора. Ортонормированный базис (ОНБ).
Векторная и скалярная проекции вектора на ненулевой вектор, их свойства.
Скалярное произведение векторов. Законы скалярного умножения векторов. Вычисление скалярного произведения векторов, длины вектора через координаты в ортонормированном базисе. Приложения скалярного умножения. Критерий перпендикулярности двух векторов.
^ Векторное умножение векторов
Ориентация векторного пространства, правые и левые тройки векторов.
Векторное произведение векторов. Тождество Лагранжа. Законы векторного умножения. Вычисление векторного произведения через координаты в ортонормированном базисе. Приложения векторного умножения. Критерий коллинеарности двух векторов.
^ Смешанное умножение векторов
Смешанное произведение трех векторов. Условие компланарности трех векторов. Теорема о геометрическом смысле смешанного произведения трех некомпланарных векторов. Законы смешанного умножения. Вычисление смешанного произведения через координаты в ортонормированном базисе. Приложения смешанного умножения.
^ 2. Аналитическая планиметрия
Координатный метод
Аффинный репер (= аффинная система координат) на плоскости. Радиус-вектор и координаты точки в данном аффинном репере. Ортонормированный репер (=прямоугольная система координат – ПСК).
Простейшие задачи, решаемые с помощью координат.
Замена репера. Формулы преобразования координат точки при замене репера. Формулы преобразования координат точки при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой.
^ Об аналитическом задании фигур на плоскости
Координатное (“неявное”) задание (уравнение, неравенство, система, совокупность уравнений и неравенств) с двумя неизвестными как аналитический способ задания фигур на плоскости. График уравнения (неравенства, системы). Две взаимнообратные задачи аналитической геометрии. Понятие алгебраической линии. Метод координат на плоскости.
Векторное (параметрическое) задание линий, примеры. Окружность.
Полярная и обобщенная полярная системы координат на плоскости, связь полярных координат точки с прямоугольными декартовыми. Задание фигур в полярной системе, примеры.
^ Прямая линия на плоскости
Нахождение уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором, точкой и нормальным вектором. Векторное, параметрические, каноническое, общее уравнения прямой. Прямая как алгебраическая линия первого порядка. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой. Особенности расположения прямой относительно системы координат, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках.
Задание полуплоскости с помощью линейного неравенства.
Взаимное расположение двух прямых, связь с системами линейных уравнений и определителями. Пучки прямых.*
Расстояние от точки до прямой. Направленный угол от прямой до прямой.
^ Квадрики на плоскости (= линии второго порядка)
Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, эксцентриситет, построение по точкам.
Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, асимптоты, эксцентриситет, построение по точкам.
Парабола, вывод канонического уравнения, изучение формы, построение по токам.
Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Переход к ПСК и идентификация с коническими сечениями.
Понятие квадрики (= линии второго порядка), его независимость от выбора репера.
Приведение уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду. Классификация алгебраических линий второго порядка.
^ Центры квадрик. Квадрики и прямые
Центры квадрик, их геометрический смысл. Центральные и нецентральные квадрики.
Общие точки квадрики и прямой. Понятие асимптотического направления. Линии эллиптического, гиперболического и параболического типа.
Понятие касательной прямой к квадрике, вывод уравнения касательной в точке, не являющейся центром квадрики.
Диаметр квадрики, сопряженный данному неасимптотическому направлению, вывод уравнения диаметра, сопряженные диаметры. Свойства диаметров центральных и нецентральных линий. Главные направления и оси квадрики. Главные диаметры квадрики.
^ 3. Аналитическая стереометрия
Координатный метод
Аффинный репер (= аффинная система координат) в пространстве. Радиус-вектор и координаты точки в данном аффинном репере. Ортонормированный репер (=прямоугольная система координат – ПСК).
Простейшие задачи, решаемые с помощью координат.
Метод координат в пространстве.
^ Плоскость в пространстве
Нахождение уравнения плоскости, заданной точкой и направляющим подпространством (двумя неколлинеарными векторами, параллельными плоскости), точкой и нормальным вектором. Векторное, параметрические, общее уравнения плоскости. Плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка. Условие параллельности плоскости и вектора. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости. Особенности расположения плоскости относительно системы координат, уравнение плоскости в отрезках.
Задание полупространства с помощью линейного неравенства с тремя неизвестными.
Расстояние от точки до плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей, связь с системами линейных уравнений. Пучки и связки плоскостей*. Угол между плоскостями.
^ Прямая линия в пространстве
Нахождение уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором. Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой. Общие уравнения прямой, переход от них к каноническим, параметрическим и обратно.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми в пространстве.
^ Квадрики в трехмерном пространстве (поверхности второго порядка)
Поверхности второго порядка. Метод сечений.
Цилиндрические поверхности. Цилиндры второго порядка.
Конические поверхности. Конические поверхности второго порядка. Сечения невырожденного конуса.
Поверхности вращения. Особенности их уравнений в подходящей системе координат.
Сжатие пространства к плоскости*.
Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
^ 4. Геометрические преобразования
Группы преобразований
Отображения, инъективные, сюръективные и биективные отображения. Преобразования множества, их обратимость; тождественное преобразование. Примеры. Композиция отображений и преобразований. Теорема о том, что множество всех преобразований данного множества есть группа.
«Эрлангенская программа» Феликса Клейна. Определение геометрии по Клейну, геометрические свойства фигур, эквивалентные фигуры. Примеры.
^ Движения плоскости
Движения плоскости. Задание движений парой соответствующих ортонормированных реперов. Свойства движений. Аналитическое задание движений. Движения первого и второго рода.
Параллельные переносы, повороты, осевые и скользящие симметрии как примеры движений плоскости. Центральная симметрия как частный случай поворота. Геометрические свойства, неподвижные точки и прямые, прямые неподвижных точек. Групповые свойства.
Разложение движений плоскости в композицию не более трех осевых симметрий. Изучение композиций двух и трех симметрий. Композиции поворотов, переноса и осевой симметрии. Строение группы движений, ее подгруппы.
Классификация движений плоскости по числу неподвижных точек (теорема Шаля).
Конгруэнтность фигур, признаки конгруэнтности треугольников. Определение метрической евклидовой геометрии по Клейну.
^ Группы самосовмещений фигур на плоскости, их строение при условиях конечности группы или ограниченности фигуры*.
Подобия плоскости.
Преобразования подобия. Гомотетия как пример подобия. Разложение подобия в композицию гомотетии и движения. Формулы подобия. Неподвижные точки подобий. Классификация подобий плоскости. Признаки подобия треугольников. Подобие парабол, эллипсов, гипербол. Группа подобий, ее подгруппы. Геометрия относительно группы подобий.
Применение подобий к задачам “на построение” и “на доказательство”*.
Теоремы о прямой и окружности Эйлера для треугольников*.
^ Аффинные преобразования плоскости.
Аффинные преобразования. Свойства аффинных преобразований. Формулы аффинного преобразования. Преобразования I и II родов.
Перспективно-аффинные преобразования. Группа аффинных преобразований, аффинная геометрия по Клейну. Аффинная эквивалентность четырехугольников и квадрик.
^ Инверсия плоскости с выколотой точкой*.
Определение инверсии, формулы, геометрические свойства. Образы прямых и окружностей. Метод инверсии. Применение инверсии к задачам “на построение” (одним циркулем) и “на доказательство”.
^ Движения пространства.
Движения пространства, их представление в виде композиции отражений от плоскостей. Классификация движений пространства.
Группы самосовмещений правильных многогранников*.
Преобразования плоскости и пространства в школьном курсе геометрии*.
^ 5. Многомерные пространства
Аффинные пространства
Понятие аффинного пространства над полем действительных чисел, аксиомы Г.Вейля и их следствия.
Аффинный репер, координаты точек. Определение k-плоскости. Свойства k-плоскостей. Уравнения k-плоскостей. Взаимное расположение k-плоскостей.
Отношение «лежать между», понятия отрезка, середины отрезка, луча , угла, r-мерного параллелепипеда.
^ Евклидовы пространства
Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и углы между ними, перпендикулярность (ортогональность), ОНБ, формула скалярного произведения в координатах. Евклидово точечное пространство. Расстояние между точками, его свойства, связь с отношением «лежать между» и с простым отношением трех точек.
Понятие ортогональности подпространств и ортогонального дополнения в векторном пространстве. Понятие полного перпендикуляра. Уравнение перпендикуляра к гиперплоскости (прямой) и расстояние от точки до гиперплоскости (прямой).
^ 6. Проективная геометрия
Проективные пространства
Перспектива (центральная проекция) прямой на прямую и плоскости на плоскость, ее достоинства и недостатки. Образы окружности при перспективах. Предмет проективной геометрии.
Определение проективного n-мерного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости. Простейшие свойства проективной плоскости.
Проективные реперы на прямой и плоскости. Проективные координаты точек и построение точек по их координатам. Однородные аффинные кординаты на расширенной прямой.
Уравнение прямой на проективной плоскости. Принцип двойственности на проективной плоскости.
Трехвершинник. Теорема Дезарга. Обратная и двойственная теоремы к теореме Дезарга. Приложение к решению задач на построение одной линейкой на ограниченном чертеже.
Сложное (двойное, ангармоническое) отношение четверки точек на прямой, его независимость от выбора репера, его свойства и вычисление через проективные координаты точек. Связь с простым отношением трех точек в аффинной плоскости. Сложное отношение четырех прямых пучка.
Гармонические четверки. Полный четырехвершинник, применение его свойств к решению задач.
^ Проективные преобразования
Проективные преобразования плоскости. Включение проективной геометрии в схему Ф. Клейна.
Проективные отображения прямых и пучков. Признак перспективности проективного отображения. Разложение проективных отображений и преобразований прямой в композицию перспектив.
^ Квадрики на проективной плоскости
Понятие квадрики на плоскости, его геометричность.
Приведение уравнения квадрики к каноническому виду и проективная классификация квадрик.
Квадрика и прямая, их общие точки.
Полюсы и поляры, поляритет, сопряженность точек, автополярный треугольник. Построение касательной к овальной квадрике.
Теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона. Построение овальной квадрики по пяти точкам.
Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения.
7. Топология
Определение топологического пространства через базу топологии. Примеры. Открытые множества, определение топологии. Критерий эквивалентности баз топологии. Индуцированная топология, подпространства.
Замкнутые множества и их свойства. Определение топологического пространства через замкнутые множества.
Окрестность точки. Точки прикосновения и предельные точки множества. Внутренние и граничные точки множества. Внутренность и граница. Замыкание подмножества. Критерий принадлежности точки замыканию. Задание топологии с помощью операций «взятия внутренности» и «замыкания».
Непрерывные отображения топологического пространства. Критерий непрерывности отображения. Гомеоморфизмы. Определение топологии по Клейну. Топологически эквивалентные фигуры.
Связность, компактность и отделимость как топологические инварианты.
Примеры поверхностей в трехмерном пространстве: лист Мёбиуса, ручка, тор, бутылка Клейна, проективная плоскость. Сферы с листами Мёбиуса и ручками.
Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве. Клеточные разбиения. Эйлерова характеристика. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Классификация двумерных замкнутых поверхностей.