Рабочая программа

Вид материала

Содержание

4.9. Метрические соотношения в треугольнике и окружности
4.10. Площадь фигуры
4.11. Как работать над теоремой
В любом треугольнике, есть
4.12. Площади. Метрические соотношения.
4.13. Как работать с учебным текстом
4.14. Учимся работать с вопросами
Фундамент активного учебного процесса
4.15. Вопросы к устному экзамену

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7

4.9. Метрические соотношения в треугольнике и окружности

Теоретическая часть

Неравенства треугольника (сформулировать и доказать).
Сумма углов треугольника.
Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30.
Свойства равнобедренного треугольника.
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике.
Свойства равностороннего треугольника.
Свойство точки пересечения медиан треугольника.
Теорема Пифагора.
Теорема синусов.
Теорема косинусов.
Теорема Чевы.
Теорема Менелая.
Теорема о прямой Эйлера.
Теорема-формула Эйлера.
Теорема об окружности 9 точек.
Теорема Птолемея.
Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность.
Свойство треугольника вписанного в окружность.
Свойство треугольника, описанного около окружности.
Свойство вписанных в окружность углов.
Свойство биссектрис углов треугольника (о делении противолежащей стороны).
Теорема двух синусов.
Свойство точек пересечения сторон треугольника, вписанного в окружность, и касательной к окружности в противолежащей для стороны вершине.
Теорема о радикальной оси двух окружностей.
Свойство точки пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Угол между биссектрисами углов треугольника при одной вершине.
Теорема о точке пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника.
Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу.
Свойства катетов прямоугольного треугольника и отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота.

Практическая часть

Решение задач № 1-44 к параграфу 2 “Лекции по геометрии”. С.А. Анищенко (ч. 1).

Приложение 9

Семинар 4

4.10. Площадь фигуры

Аксиомы площади (сопоставьте с аксиомами длины).
Площадь прямоугольника: а) для целых чисел;

б) для рациональных чисел;

в) для действительных чисел.

3. Площадь треугольника: а) через основание и высоту;

б) через синус угла;

в) формула Герона;

г) для прямоугольного треугольника.

4. Площадь параллелограмма: а) через основание и высоту;

б) через синус угла;

в) через диагонали;

г) площадь ромба.

5. Площадь круга и его частей.

Площадь трапеции и треугольников, образованных диагоналями.
Применение площади к доказательству теорем:

а) теорема Пифагора;

б) теорема Чевы;

в) формулы сокращенного умножения.

Площадь четырехугольника, вписанного в окружность.
А) Как найти площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны? (d₁ = 6, d₂ = 8).

Б) Нельзя ли задачу (а) решить другими способами?

В) Нельзя ли обобщить задачу (а)?

Г) Нельзя ли конкретизировать задачу (а) (ромб, квадрат, трапеция)?

Д) Нельзя ли применить результат задачи (а) в других ситуациях? (фиксировалась ли точка пересечения диагоналей, зависело ли решение от выбора этой точки)?

Е) Составьте задачу обратную задаче (а).

(Задача Герона). Участок заболоченной местности имеет форму четырехугольника, как определить его площадь?
Составьте структурно-логическую схему “Формулы площади плоской фигуры”.

Литература

Анищенко С.А. Геометрия. Ч. 1. Красноярск, 2000.
Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.
В.А. Гусев и др. Практикум по элементарной математике (геометрия). М.: Просвещение, 1992.
В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. М.: Просвещение, 1992.
Погорелов А.В. Геометрия 7-11.
Математическая энциклопедия.
Математика в школе. № 2 – 1999, стр. 19, № 6 – 1998, стр. 27-30.

Приложение 10

Алгоритм 1

4.11. Как работать над теоремой

Прочитайте теорему, переформулируйте ее в форме “если …, то …” (прием реконструкции).
Запишите условие (“дано”) и заключение (“доказать”). Выполните чертеж, (прием конструирования, конкретизации).
Проведите анализ: “Что надо знать, чтобы утверждать …?” (прием прогнозирования)
Рассмотри доказательство в учебнике, разбейте его на смысловые части.
Прочитайте еще раз, составь план доказательства, записав его в виде утверждений.
Продумайте на чем основано каждое утверждение (запишите теоремы, аксиомы или определения, из которых вытекает это утверждение).
Повтори доказательство по плану.
Попробуй доказать: а) по своему чертежу;

б) другим способом.

Сформулируй обратную теорему.
Верна ли теорема, обратная данной ?
Что дает изученная теорема для решения задач? Когда ее можно применять? (следствие теоремы).
Оформи блок-схему по теореме.

1. Как работать над теоремой.

Вспомним, как работать над теоремой на примере теоремы косинусов:

1) В любом треугольнике, есть а, b, с – стороны треугольника,(разъяснительная часть) А лежит против а, то квадрат стороны (а) равен сумме квадратов(условие) двух других сторон без удвоенного произведения их на косинус угла между ними. (заключение)

В

c₂

c₁

Дано:  АВС, а, b, с – стороны;  = (b, c) (чертеж 12).

Доказать: а² = b² + с² – 2bс  cos 

2)

чертеж 12

3) (а² = b² + с² – 2bс  cos )  (а² =с² + h² )

 с₂ = b  cos  - доказательство одним из возможных способов.

4) План 1) выбираем векторы, выходящие из вершины А.

5) 2)

(правило “треугольника”).

6) 3)

или а² = b² + с² – 2bс  cos  (свойство равенств и скалярного произведения).

7) Если а² = b² + с² – 2bс  cos , то а, b, с – стороны треугольника,  = (

) - не верна, т.к. отрезки могут быть расположены, не образуя треугольник.

Приложение 12

Контрольная работа № 2

4.12. Площади. Метрические соотношения.

Для подготовки:

Образец 1. Вспомните методы решения геометрических задач на вычисление и доказательство.

Пример 1.

Задача: Найти зависимость между длинами сторон треугольника АВС, если его медиана АА₁, высота ВВ₁ и биссектриса СС₁ пересекаются в одной точке. (чертеж 13).

чертеж 13

Анализ: (чертеж 13)

Решение вверх по схеме.

Решение. Поэтапно-вычислительный метод и геометрический (чертеж 13).

Найдем С₁В и АС₁ из системы уравнений:



А₁ середина СВ, А – пересечение В₁С и С₁В, АА₁ проходит через точку пересечения ВВ₁ и СС₁, т.е. можно утверждать, что ВСВ₁С₁ – трапеция, т.е. В₁С₁ || СВ, тогда  АВС   АС₁В₁, , значит и.
Из  АВ₁В (В₁= 90), .
а² = b² + с² – 2bс  cos А

– это равенство связывает 3 стороны треугольника.

Ответ.

.

Образец 2. Один из углов треугольника равен 60, противоположная сторона равна 4. Один из отрезков, на которых эта сторона разделена опущенной на нее биссектрисой, равен 1. Найти две оставшиеся стороны.

И
Дано:  АВС, AD – биссектриса; (черт. 1).

ВАС = 60, ВС = 4, BD = 1.

Найти: АВ и АС
спользуя прием реконструкции переформулируем задачу, выполнив чертеж:

чертеж 14

Рассуждаем, используя синтез с элементами анализа:

) AD – биссектриса  1) BAD = DAC = 30

2)

.

б) ВС = 4, BD = 1 DC = 3, тогда из а) (2) получаем уравнение с двумя неизвестными

.

в) ВС = 4, А= 60, противолежащие стороны и угол связаны с остальными сторонами теоремой косинусов:

4² = АВ² + АС² – 2АВ  АС  cos 60

г) имея 2 уравнения с двумя неизвестными можно найти эти неизвестные, решив систему:

получим:

.

Ответ:

Примерные задачи

Равнобедренный прямоугольный  АВС вписан в окружность радиуса R. Другая окружность касается катетов  АВС и первой окружности. Найти ее радиус.
Окружность, проходящая через вершину  АВС и через середины сторон АВ и АС, касается третьей стороны  АВС в точке М. Доказать, что АМ² = ВМ  МС.
Найти зависимость между длинами сторон  АВС, если его медиана АА₁, высота ВВ₁ и биссектриса СС₁ пересекаются в одной точке D.
Длины сторон АС и АВ  АВС равны b и c. Угол А вдвое больше угла В. Найдите длину ВС.
На стороне АВ  АВС взяты М и N так, что АМ = MN = MB. Точки А₁ и В₁ – середины ВС и АС соответственно. Р = ВВ₁  CN, К=АА₁  СМ. Найти РК : АВ.

6. Вычислить площадь F, если дан радиус сектора:

(чертеж 28).

чертеж 28

а

7. Вычислить площадь, зная сторону квадрата (чертеж 29).

чертеж 29

чертеж 30

8. Вычислить площадь (чертеж 29), зная радиус сектора:

.

9. Вычислить площадь, если треугольник правильный (чертеж 30).

1
чертеж 31
0. Вычислить площадь, зная сторону квадрата (чертеж 31).

11. Вычислить площадь, зная радиус круга (чертеж 31).

Приложение 13

4.13. Как работать с учебным текстом

Прочитайте текст.
Перечислите письменно новые понятия, о которых идет речь в тексте.
Подчеркните те понятия, определения которых даны в тексте.
О каких понятиях еще, на Ваш взгляд, можно вести речь в этой теме.
Выпишите определения (если есть, и эквивалентное ему определение). Докажите эквивалентность.
Приведите примеры фигур (объектов), соответствующие определению. Дайте геометрическую иллюстрацию. Выделите существенные признаки.
Приведите контрпример, дайте обоснование (“Почему пример не удовлетворяет определению?”).
Выпишите теоремы, утверждающие свойства новых понятий или отношений.
Разберите теоремы (используя приложение 10).
Ответьте на вопросы:

а) Что нового Вы узнали?

б) С чем ранее изученного это новое связано? (вспомните ранее изученные понятия, теоремы …)

в) Где в тексте использованы определения понятий, теоремы, изученные ранее?

11. Составьте структурно-логическую схему учебного текста (опорный конспект) в любой, удобной для Вас форме.

Приложение 14

4.14. Учимся работать с вопросами

ТИПЫ ВОПРОСОВ

х ИНФОРМАТИВНЫЕ ВОПРОСЫ ЧТО ?

х ВОПРОСЫ ЦЕЛИ И СРЕДСТВА ПОЧЕМУ ?

х ВОПРОСЫ ПРИЧИНЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ-ЗА ЧЕГО ?

х ВОПРОСЫ ТИПА “ЧТО … ЕСЛИ”

х ВОПРОСЫ ОТКРЫТЫЕ И ЗАКРЫТЫЕ

ФУНДАМЕНТ АКТИВНОГО УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

ФОРМИРУЕТСЯ ВОПРОСАМИ УЧЕНИКОВ, А НЕ ВОПРОСАМИ УЧИТЕЛЯ, ПОДРАЗУМЕВАЮЩИМИ

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОТВЕТЫ

МЕТРАПОЛИС. КУРС “РАЗРАБОТКА УЧЕБНЫХ ПЛАНОВ”

Приложение 15

4.15. Вопросы к устному экзамену

Геометрическая фигура. Бесконечность и непрерывность.
Построение циркулем и линейкой. Схема решения задач на построение.
Геометрический метод решения задач. Пример.
Алгебраический метод решения задач. Пример.
Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
Множество точек, разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек – постоянная величина.
Окружность Аполлония.
Квадратура круга.
Удвоение куба.
Трисекция угла.
Золотое сечение.
Построение правильных пятиугольников.
Построение правильных десятиугольников.
Теорема Гаусса о построении правильных многоугольников (без доказательства). Примеры.
Построение двусторонней линейкой. Пример.
Построение одним циркулем. Пример.
Построение одной линейкой. Пример.
Теорема о биссектрисах внутреннего и внешнего углов (при одной вершине треугольника).
Теорема косинусов.
Теорема о прямой Эйлера.
Теорема Чевы.
Теорема Менелая.
Теорема Птолемея.
Степень точки относительно окружности.
Радикальная ось двух окружностей.
Теорема об окружности 9 точек.
Формула Эйлера.
Длина отрезка. Площадь многоугольника.
Теорема Брахмагупта.
Площадь треугольника.
Площадь параллелограмма, трапеции.
Площадь круга и его частей.
Главная изопериметрическая задача.
Использование площади в доказательствах (т. Пифагора и другие).
Равновеликость и равносоставленность. Теорема Бояи-Гервина.
Теорема синусов.

  (В, е) – расстояние от В до е.

Blog