Geum.ru

В. Г. Арсланов Философия XX века (истоки и итоги). Учебное пособие

Вид материалаУчебное пособие
Подобный материал:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   42

Аналогию между числом и стоимостью специаль-но развивала в свое время известный советский мате-матик С.А.Яновская, которая подчеркивала при этом,

от ипяюип шитишма»анашччша! фшсафш

ито «здесь не простая аналогия, а общность метода»!. Этот метод заключается в том, чтобы проследить ре-альный исторический генезис того или иного понятия. Если подойти с точки зрения этого метода к формиро-ванию понятия числа, то окажется, что число явилось отнюдь не в качестве результата абстрагирующей де-ятельности мыслящей головы. Абстракция числа произ-водится самим историческим становлением практики освоения количественной стороны мира, прежде всего самой деятельностью счета. Поэтому число, как ре-зультат такого рода процесса, несет на себе печать этого процесса. Оно в виде натурального ряда имеет двойную детерминацию: со стороны реальных мно-жеств, которые всегда конечны, и со стороны деятель-ности счета, которая заставляет постоянно выходить за рамки любого конечного реального множества. Этим самым сразу развеиваются, с одной стороны, идеали-стические иллюзии, основанные на том, что числа об-ладают такими свойствами, которые не заключены непосредственно в реальных множествах, и предше-ствуют им, как это было у пифагорейцев, а с другой стороны — наивно-натуралистические представления, согласно которым число есть всего лишь аналог-заме-ститель реального множества вещей.

Деятельный момент числа, который характерен для кантианства, как раз и отбрасывается позитивизмом. А потому Рассел и вынужден апеллировать не к Канту, а к «способу выражения Лейбница». Психологическим коррелятом понятия числа, считает кантианец Кассирер, является «деятельность различения и связывания»2. Недостатком кантианского понимания деятельности яв-ляется то, что деятельность понимается только как духов-но-психологическая, а не как предметная деятельность. И это не позволяет понять историческое происхождение числа, которое предполагает с самого начала деятель-ность по освоению количественной стороны действитель-ности как предметно-практическую деятельность.

Последнюю обнаруживают этнографические и психологические исследования, поскольку они вынуж-

' Яновская С.А. О так называемых «определениях через абстрак-цию» // в кн: Методологические проблемы науки. М. 1972. С. 46. лп-i 2 CassirerE. Substanzbegriff und Funktionsbegriff. Berlin. 1923. P. 43. Id/

дены погружаться в самые глубинные истоки проис-хождения человеческих понятий. Один из известных исследователей первобытной культуры Л.Леви-Брюль, обобщая свои наблюдения счета у первобытных людей, замечает: «Заблуждением было бы думать, что «ум человеческий» сконструировал себе числа для счета:

меж тем на самом деле люди производили счет путем трудных и сложных приемов, прежде чем выработать понятие о числе как таковом»!.

Исторически сначала был счет, а затем число, ло-гически же, то есть в развитой культуре счета и вы-числения все наоборот — сначала число, потом счет. Но число, которое постоянно функционирует в ре-альной счетной и вычислительной практике, посто-янно сохраняет единство множественности и счета. «Число, — писал Гегель, — есть мысль, но оно есть мысль как некое совершенно внешнее самому себе бытие. Оно не принадлежит к области созерцания, так как оно есть мысль, но оно есть мысль, имеющая своим определением внешнее созерцание. Опреде-ленное количество поэтому не только может быть увеличиваемо или уменьшаемо до бесконечности, но оно само есть по своему понятию постоянное вырож-дение за пределы самого себя. Бесконечный количе-ственный прогресс есть также лишенное мысли по-вторение одного и того же противоречия, которое представляет собой определенное количество вооб-ще, и оно же, положенное в своей определенности, есть степень»2.

В созерцании число дано и не дано. Оно дано как определенное количество, но не дано как «степень», для чего уже требуется определенная шкала «степеней», которая находится на стороне созерцающего субъек-та. Но определенное количество не может быть чис-лом, не имея «степени», то есть своего места в нату-ральном ряду как шкале «степеней». Число поэтому только одной стороной своей дано в созерцании, дру-гой же своей стороной оно в «мысли», которая пред-шествует созерцанию: я не только должен созерцать определенное количество, но и мыслить его, чтобы оно

выступило для меня как число. «Мыслить» в данном случае означает просто считать про себя.

Таково созерцание всякой множественности как определенной множественности. И это созерцание надо отличать от непосредственного созерцания, на-пример, цветового пятна. «Когда мы видим голубую поверхность, замечает в связи с этим Кассирер, — то мы имеем своеобразное впечатление, которое соответ-ствует слову «голубой»; и мы узнаем его снова, если увидим другую голубую поверхность. Если мы предпо-ложим, что подобным же образом при виде треуголь-ника слову «три» соответствует нечто чувственное, то мы должны найти это также в трех понятиях; нечто нечувственное должно было бы иметь в себе нечто чувственное. Можно было бы вполне допустить, что слову «треугольный» соответствует своего рода чув-ственное впечатление, но при этом необходимо брать это слово как целое. Три видим мы в нем не непосред-ственно, а видим нечто, к чему может быть присоеди-нена духовная деятельность, которая приводит к суж-дению, в котором появляется число три»'.

Проще говоря, я не созерцал бы треугольник как треугольник, то есть как плоскую фигуру с тремя уг-лами, если бы я не умел считать до трех. Но само число «З» в себе содержит деятельность счета. Поэтому Де-декинд правильно определяет число как множество, отображенное в само себя. Если число углов треуголь-ника это множество, отображенное в множестве числа «З», то множество числа «З» не может быть отображе-но в множестве углов треугольника, потому что в этом случае получается порочный круг, которого не замеча-ет Рассел, когда он «определяет» число «5» как мощ-ность всех множеств, равномощных множеству паль-цев на одной руке. Ведь для того, чтобы считать при помощи пальцев, надо знать, сколько у тебя пальцев.

И потом так мы можем «определить» число «5», число «З», число «б». То есть мы можем «определить» эти числа как полученные путем отображения числен-ности некоторого реального множества предметов. Ну а если это не «З», а «ЗООО»? Кассирер справедливо указывает на то, что число 753 684 трудно истолковать

' Cassirer E. Opus cyt. P. 38—39.

как определенное выражение численности некоторого реального множества предметов, подобно тому, как мы истолковываем число 3 или число 41. Иначе говоря, никто не осмелится утверждать, что число 753 684 об-разовано путем абстрагирования, то есть сравнения и выделения общего, сходного различных множеств предметов, равномощных множеству, мощность кото-рого выражается числом 753 684. Ясно, что число 753 684 происходит иным путем, чем путь абстракции. И было бы очень странно, если бы числа 3 и 753 684 были абсолютно гетерогенны по способу своего про-исхождения и, вместе с тем, абсолютно гомогенны по способу своего выражения, а именно в том, что они числа и выражают каждое определенную численность.

Таковы разные представления о числе, величине, количестве и т. д., соответствующие разным концеп-циям логики и методологии. Число в своей действи-тельности есть единство степени и численности, ин-тенсивной и экстенсивной сторон одной и той же величины, и отрывать одну сторону от другой нельзя даже в анализе. Теоретический анализ в данном слу-чае требует выявить форму и закон взаимодействия того и другого. Когда мы определяем число, как это делает Рассел, как класс равномощных классов, то мы этот отрыв вольно или невольно производим. Напри-мер, число «пять», если мы его понимаем как то об-щее, что имеют между собой пальцы одной руки, ча-сти света на земном шаре и т. д., не имеет никакого смысла, во-первых, потому, что оно еще не выражает степени, а потому практически не годится для срав-нения величин, для счета, для измерения, чему оно по сути должно служить. А, во-вторых, прежде чем срав-нивать между собой классы различных предметов по их «мощности», их необходимо пересчитывать, то есть уже пользоваться числом. Что значит сравнить по «мощности» класс пальцев одной руки и класс всех частей света на земном шаре? Это значит пересчи-тать то и другое и сравнить уже числа. Счет, а, стало быть, счетное множество, натуральный ряд чисел мы должны иметь раньше, чем сможем определить число так, как это предлагал Рассел.

' Cassirer E. Opus cit. P. 38.

Что же означает парадокс Рассела с точки зрения числа, понятого как единство степени и определенно-го количества, интенсивной и экстенсивной величины? Что такое «несобственный» класс? «Несобственный» класс это класс, который включает себя в себя в каче-стве собственного элемента. Но как класс может вклю-чить себя в качестве элемента иначе, как увеличив число своих элементов еще на один? Класс, состоящий из п элементов, может включить себя в качестве сво-его элемента, если он будет содержать в себе минимум п+ 1 элементов. Иначе класс сам себя в качестве эле-мента включить не может, иначе класс не будет отли-чаться от элемента, а это необходимо при определении и того и другого. В том, что класс является одновремен-но и классом и элементом, заключено противоречие. Снято оно может быть только путем расширения клас-са хотя бы на один элемент. Но тогда получается дру-гой класс, который, чтобы сохранить себя в качестве «несобственного», должен тоже расширяться минимум на один элемент и т. д.

Рационально «несобственный» класс может быть понят только так. Если же мы процесса расширения и увеличения класса не допустим, то мы вообще не сни-мем противоречие, которое заключено в определении несобственного класса. Ведь когда мы определяем несобственный класс как класс, который содержит в качестве своего элемента самого себя, то про одно и то же мы утверждаем, что оно и элемент и класс одновре-менно, в то время как класс может стать элементом только другого класса. И если в определении допуще-но противоречие, то в развитии этого определения оно рано или поздно проявит себя в качестве «парадокса». Собственно парадокс Рассела является проявлением противоречия, допущенного им в определении несоб-ственного класса, а потому этот парадокс ничем не лучше, чем парадокс брадобрея.

Парадокс Рассела — это статическое выражение того же самого динамического противоречия, о кото-ром писал Гегель в уже приведенном месте: «Беско-нечный количественный прогресс есть также лишен-ное мысли повторение одного и того же противоречия, которое представляет собой определенное количество „, вообще, и оно же положенное в своей определенности,

есть степень». Парадокс Рассела является не парадок-сом определенного рода величины, а противоречием определения величины. Чтобы определить величину п я должен найти ее место на шкале величин, а это значит указать на этой шкале предшествующую и сле-дующую за ней величины, иначе говоря — указать п+1 и п-1.

«Определение величины, — пишет в этой связи Гегель,— продолжает себя, непрерывно переходя в свое инобытие таким образом, что оно имеет свое бы-тие только в этой непрерывности с некоторым иным;

оно не сущая, а становящаяся граница»!. «Определен-ное количество... отталкивает себя от самого себя»2.

Интересно, что последнее почти буквально совпа-дает с определением числа у Дедекинда, который оп-ределял его как отображение множества в самое себя. И уже здесь заключено противоречие, противоречие всякого самоопределения, всякого отношения к себе, поскольку всякое отношение к себе возможно только как отношение к другому. Это то же самое, когда кри-тянин говорит, что все критяне лгут. Говорит ли критя-нин правду? Если он говорит правду, значит лжет. А если лжет, то говорит правду. Здесь нет никакого выхода кроме выхода за границу: нет пророка в своем отечестве.

Процесс определения величины, счет, это и есть «несобственный» класс, который «отталкивает себя от самого себя». Он проделывает с собой примерно то же самое, что проделывал барон Мюнхгаузен, когда он сам себя за волосы вытаскивал из болота. Если не допустить того, что класс становится элементом са-мого себя, раздвигая свои собственные границы («от-талкивая себя от самого себя»), то аналогия между несобственным классом и бароном Мюнхгаузеном, вытаскивающим самого себя за волосы из болота, становится полной, то есть это такой же нонсенс, «парадокс».

Это результат превращения становящейся грани-цы в сущую, что неизбежно и происходит при теорети-ко-множественной интерпретации числа: в понятии

' Гегель Наука логики T.I. M. 1974. С. 302.

2 Там же,

множества, в отличие от понятия числа, утрачивается момент процессуальности, самоотображения, определе-ния. Противоречие процесса становится «парадоксом» статики. Разрешения его ищут тогда в переформулиров-ке условия. Такое явление, как «несобственный» класс, исключается тем, что запрещается ставить в один ряд элемент и класс, что и делает Рассел с помощью своей теории типов. Проще говоря, здесь сначала вводится некоторое искусственное условие, из-за которого воз-никает «парадокс», потом вводится другое искусствен-ное условие, которое не позволяет этому «парадоксу» возникнуть. Получается бестолковое движение по кру-гу, в котором нет развития. Действительное развитие теории происходит только через действительное раз-решение действительных, а не искусственно приду-манных противоречий. Вместо того, чтобы совершить, как пишет Гегель, «последний шаг вверх, познание неудовлетворительности рассудочных определений отступает к чувственному существованию, ошибочно полагая, что в нем оно найдет устойчивость и согла-сие»1.

Если бы не было естественных условий возникно-вения противоречия определения величины, то пара-докс Рассела оказался бы просто субъективной ошиб-кой, и не более. Но если есть естественные условия возникновения противоречия, то должны быть и есте-ственные условия его снятия и осуществления. Все дело, оказывается, в том, что включая класс в этот же класс в качестве элемента в процессе определения величины, мы не допускаем ошибки смешения класса и элемента, мы включаем класс в класс не как класс, а как элемент, и не только по названию. Ведь когда мы определяем какую-либо величину, отыскивая ее место на шкале величин, то мы отыскиваем не саму эту ве-личину как численность, как определенной «мощнос-ти» класс, а ее номер на шкале величин. Если мы оп-ределяем величину 10, то это не означает, что мы включаем класс, состоящий из десяти элементов, в класс, состоящий из одиннадцати элементов, мы вклю-чаем не «десяток», а «десятый». А «десятый» это все равно, что «одиннадцатый» и Ti д., — как номера они

' Гегель. Наука логики. T.I. M. 1974. С. 99.

совершенно однородны, как номера они обозначают не экстенсивные величины, а место и порядок экстенсив-ных величин на шкале этих величин, но как числа они обозначают и экстенсивные величины. В этом смысле число есть единство интенсивного и экстенсивного аспектов одной и той же величины. Это совпадение выражается в том, что номер «десятка» — «десятый», «пятерки» — «пятый» и т. д.

Единство и противоположность интенсивного и экстенсивного аспектов величины проявляется в том, что когда мы определяем величину, т. е. как экстенсив-ную величину, мы определяем ее интенсивность, ее место, ее «номер» на шкале величин, а когда мы опре-деляем интенсивную величину как «номер» или как «градус» (Grad), как выражается Гегель, то мы опреде-ляем его как множественность: если нас спросят, что такое «десятый», то мы вынуждены будем объяснять, что такое «десяток». Разрешение противоречия состо-ит в том, что в класс включается не класс, а еще один элемент, включается номер, следующий за номером определяемой величины: если нам надо определить экстенсивную величину «десять», то мы определяем ее номер — «десятый», а «десятый» можно определить только в том случае, если нам известен номер после-дующий — «одиннадцатый», он является его «опреде-лением», т. е. кладет ему предел. Мы включаем деся-тый номер в класс одиннадцати номеров, а не десяток в класс, состоящий из одиннадцати элементов. Это мы делаем реально, а включаем класс в качестве элемента самого себя только в иллюзии, только по видимости, основанной на том, что экстенсивная и интенсивная величины образуют определенного рода единство и в числе не различаются, если число полагается как «класс равномощных классов», то есть только со сто-роны множественности, численности, а не в единстве со шкалой величин, со своим номером, с процессом счета.

Но это и не просто иллюзия, поскольку два номера это также и обозначения соответствующих экстенсив-ных величин, численностей, «классов». Поэтому опре-деление величины может быть также представлено и как включение класса в класс, но уже не в качестве элемента, а в качестве подкласса. Однако такое пред-

ставление определения возможно, строго говоря, толь-ко после определения, то есть только после того, как сам процесс определения «угас».

Таков действительный способ разрешения проти-воречия определенного количества (в терминологии Гегеля) или «несобственного класса» (в терминологии Рассела). Понятно, что этот способ коренным образом отличается от того способа, каким «разрешает» это противоречие Рассел. Согласно первому способу про-тиворечие понимается как действительное противо-речие, противоречие в самих вещах. «Это слишком большая нежность по отношению к миру, — писал Ге-гель, — удалить из него противоречие, перенести, напротив, это противоречие в дух, в разум и оставить его там неразрешенным»!. Способ, каким разрешают-ся такого рода противоречия в познании, в мышле-нии, тот же самый, каким они разрешаются в действи-тельности. Согласно второму способу противоречие понимается по кантовски: оно заключено в «духе», в разуме, «разрешение» его означает такое изменение правильного наименования вещей, при котором про-тиворечие как будто исчезает.

Однако говорить с полной определенностью о том, что противоречие, которое обнаруживается в процес-се определения величин, есть противоречие в самих вещах, было бы не совсем верно. Но нельзя сказать также, что этот процесс так же произволен, как чисто словесная, номинальная дефиниция несобственного класса. Оно возникает «на полпути» между субъектом и объектом, так что на долю первого выпадает ограни-ченность, а на долю второго — «выхождение за каж-дую постигаемую им определенность, в дурное беско-нечное»2.

Противоречие, которое здесь возникает и разре-шается, это противоречие определения, определенных вообще величин, то есть противоречие измерения, сче-та. Конечные экстенсивные величины выступают как определения объекта, орудие измерения этих величин, бесконечная шкала этих величин, счетное множество — выступает на стороне субъекта: не сами же себя изме-

' Гегель. Наука логики. T.I. M. 1974. С. 317. 2 Там же. С. 325.

ряют и определяют величины. Только на «границе» взаимодействия субъекта и объекта возникает это противоречие, которое выступает также как противо-речие конечного и бесконечного. Но оно здесь же и разрешается. Поэтому это противоречие, хотя оно и лежит в основании математики — ведь основанием ее как раз и является измерение и счет — отнюдь ее не разрушает.

Оказывается, число и есть то «третье», которое совмещает в себе два «несовместимых» определе-ния— быть одновременно «одним» и «многим», эле-ментом и классом. Оно и «девять» и «девятка», обозна-чение определенного количества и одновременно его определитель, показатель, индекс. «Численность и еди-ница составляют моменты числа»!. Причем ни один из этих моментов не может быть устранен без того, чтобы не было бы уничтожено число как таковое. Если оно определяется как класс равномощных множеств (Рассел), как обозначение определенной численности, то этим схватывается только одна его «половинка», только его экстенсивная сторона, и теряется другая — как раз более характерная для числа — его «половин-ка» — индекс-показатель, или собственно число. Ведь если мы определяем число «пять» как класс всех мно-жеств, равномощных множеству пальцев одной руки, то мы должны будем включить сюда и само число «пять», поскольку оно тоже равномощно числу паль-цев одной руки. Поэтому, чтобы быть определенным числом, данный класс должен быть несобственным классом, то есть не только самим собой, определенной множественностью, но также и включить в себя само-го себя в качестве элемента, то есть в качестве «пятер-ки», «шестерки» и т. д.

То есть, если я представляю число в качестве чис-ленности, допустим, число «пять» как ряд счетных единиц: «один», «два», «три», «четыре», «пять», то это ясно показывает, что число «пять» со своей экстенсив-ной стороны, со стороны численности, будет включать в себя само себя в качестве дискретной единицы, в качестве «пятерки». Вот и получается, что число, имен-но благодаря раздвоенности внутри себя, способно

I Гегель. Наука логики. T.I. M. 1974. С. 277.

включить в себя само себя в качестве элемента, быть больше самого себя. Число, и в этом его особенность, способно соотноситься с самим собой; и это возможно благодаря тому, что каждое отдельное число предста-вимо и в виде ряда: «один», «два», «три» и т. д.; и одно-временно в виде номера в этом ряду: «единицы», «двой-ки», «тройки» и т. д. Один аспект числа не существует без другого. Поэтому число ничто без так называемого ряда чисел, без счетного множества.

Натуральное число исторически первично по от-ношению к любому другому числу, потому что люди начали освоение количественной стороны действитель-ности с ее практического освоения, а практическое ее освоение — это измерение и счет. Счет, как было уже сказано, первоначально производился путем фактичес-кого установления взаимно-однозначного соответствия между одним каким-нибудь реальным множеством, например, множеством пальцев на одной руке, и дру-гим реальным множеством. Когда пальцев одной руки не хватало, то за эталонное множество брались паль-цы обеих рук и т. д. Число закономерным образом воз-никло как необходимый результат в процессе истори-ческого развития счета, и прежде всего потому, что с развитием последнего, с потребностью считать все большие и большие реальные множества, все время приходилось выходить за рамки того или иного реаль-ного множества-эталона. Натуральный ряд чисел об-разуется не только как результат этого постоянного выхождения за рамки любого конечного реального множества, но и сам он становится орудием этого по-стоянного выхождения, становится универсальным орудием счета.