Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   21

10 (4 бали). Знайти найменший цілий корінь рівняння , що має два різні корені.

З умови задачі: ; найменше значення маємо при ; ; .

Перевірка: , .

Якщо - спадає, - зростає, при .

Відповідь: при ; ; .


11 (2 бали). Знайти найбільше значення функції , якщо набуває тільки натуральних значень.

Обчисливши похідну , отримаємо єдину точку , в якій похідна рівна нулю: , причому якщо і , а тому в точці функція досягає максимуму. Оскільки , обчислюємо і та переконуємося, що . Зауваження: функція (і похідна) визначені для усіх .

Відповідь: при ; .


10 (7 балів). Розв’язати нерівність

.





Відповідь:


11 (4 бали). Знайти значення , при якому сума квадратів коренів рівняння найменша.

Нехай , – корені рівняння. Враховуючи теорему Вієта , отримаємо:

. Наймен­ше значення вираз набуває при .

Зауваження: додатковою перевіркою встановлюємо: при дискримінант , тобто корені рівняння – дійсні числа. Якщо виявиться, що при даному значенні , то розв’язання задачі рівносильне відшуканню найменшого значення виразу за обмежень , наприклад: якщо задача звучить так: Знайти значення , при якому сума квадратів коренів рівняння найменша. При розв’язанні приходимо до

, а тоді:



Звідки . Побудувавши параболу в системі координат і відмітивши допустимі значення , отримаємо, що при сума є найменшою. Причому ми розв’язуємо рівняння в множині дійсних чисел.


10 (4 бали). При яких значеннях параметра кожне з рівнянь та має по два цілих кореня?

Умови існування коренів: Звідки . Очевидно, що при , число є непарним. Умова цілочисельності вимагає таких щоб або - прийшли до діофантового рівняння. Оскільки другий співмножник додатний, тому і перший повинен бути додатним, крім того, перший множник не перевищує другого, тому лишається єдина можливість:

.


10 (7 балів). Для всіх дійсних значень параметра розв’язати рівняння .

ОДЗ:



,



При корені, обчислені за обома формулами, співпадають. При корені теж співпадають.

Відповідь: якщо якщо .


11 (7 балів). Яким має бути число , щоб існувало рівно чотири різні пари чисел , для яких справджуються обидві рівності .

1 спосіб. Вказівка до розв’язання:

Перепишемо - є рівняння точки чи еліпса (кола, стиснутого в 5 разів до вісі Оу) при , для якого центром симетрії є точка . При рівняння не задовольняє жодна дійсна точка. Тому . Для маємо рівняння кривої , для маємо рівняння кривої . Для другої кривої центром симетрії є точка . При рівняння рівносильне до чи . Тому достатньо знайти такі значення параметра, при яких є рівно одна спільна точка у обох функцій (в області ).

Обчисливши похідні двох функцій і прирівнявши їх та значення обох функцій в точці дотику, маємо значення для параметра , точка дотику , інші точки – симетричні відносно прямої .

Друге граничне значення параметра отримаємо у точці, де похідна не існує, , чотири спільні точки показано на рисунку.




2 спосіб: Якщо проаналізувати 1 спосіб, то видно, що ми йшли по стандартній схемі: спільна точка - спільна дотична - похідні в точці рівні і т.д. Насправді усі обчислення є досить громіздкими і тому виникло природне бажання знайти інше розв’язання.

З умови при виконанні заміни , що відповідає паралельному перенесенню початку координат в точку (0;-1) і розтягу вздовж осі абсцис у 5 разів (від осі ), маємо симетричну систему рівнянь відносно невідомих . Аналіз дозволяє зробити висновки, що як тільки пара (точка) з координатами задовольняє умови системи, то і точки з координатами - задовольняють теж. Оскільки умова вимагає наявність лише чотирьох точок, то:

а) або точки співпадають, тобто , або

б) або , тобто або .

Розв’язання системи у випадку а): і точки ; у випадку б) або , а тоді - отримуємо 4 точки , зображені на рисунку.

Відповідь: або .


11 (7 балів). Знайти всі числа , для яких існує чотири такі різні пари чисел , що справджуються обидві рівності і .

Дивись другий спосіб розв’язання попередньої задачі: заміна , що відповідає паралельному перенесенню початку координат в точку (2; 0) і розтягу вздовж осі ординат, приводить до симетричної системи рівнянь відносно невідомих .

або .

Відповідь: або .



11 (2 бали). Спростити вираз .

Аналізуючи ОДЗ, помічаємо, що приймають значень однакового знаку. Якщо Якщо


11 (2 бали). Обчислити .








10 (4 бали). Довести, що .



=.


10 (4 бали). Довести, що .



=.