Подобный материал:
- Міністерство освіти І науки україни «Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 554.03kb.
- Міністерство освіти І науки україни двнз«Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 1277.11kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 29.37kb.
- Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет, 680.62kb.
- Міністерство освіти І науки україни переяслав-хмельницький державний педагогічний університет, 616.99kb.
- Міністерство освіти І науки України, 1659.87kb.
- Міністерство освіти І науки україни мелітопольський державний педагогічний університет, 2525.18kb.
- Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського (м. Одеса), 349.4kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 30.09kb.
- Міністерство освіти І науки України Слов’янський державний педагогічний університет, 2976.14kb.
11 (7 балів). Розв’язати рівняння
. ОДЗ:
Враховуючи множину значень функції косинус і те, що права частина 1, маємо дві можливості:
Друга рівність рівносильна до

що неможливо за натуральних значень

. З умови

Нескладно перевіряється неможливість виконання умови при від’ємному значенні невідомої

, наприклад, помноживши на

(

) ліву і праву частини, та при

.
З першої рівності маємо

. Тому

. Далі перепишемо

у вигляді

. При

рівність неможлива, бо ліва частина більша від 4, при

отримаємо

, а тоді

(входить в ОДЗ). Якщо

, домножимо ліву і праву частини на

, при цьому ліва частина не буде ділитися на 4, а права – буде. Що неможливо. Тому маємо єдину можливість.
Відповідь:

.
11 (7 балів). Розв’язати нерівність
. Дослідимо графіки функцій
та

.
1.

,
ОДЗ:

,
координати вершини:

; графік симетричний відносно прямої

; точки перетину з віссю абсцис

; точка перетину з віссю ординат

; за рахунок симетрії відносно прямої

, графік функції проходить через точку

;

;

. На проміжку

функція є спадною; на проміжку

функція є зростаючою.
2.

, графік симетричний відносно прямої

. Найменше значення

, точка перетину з віссю ординат

; за рахунок симетрії відносно прямої

, графік проходить через точку

.
При

маємо

, функція є зростаючою, на проміжку

функція є спадною.
Аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
н

а проміжку

одна з функцій є зростаючою, а інша – спадною, тому вони можуть мати не більше однієї точки перетину, ця точка –

;
на проміжку

одна функція є спадною, а інша – зростаючою, тому міркуючи аналогічно, на цьому проміжку маємо точку –

. Таким чином,

Для нерівності маємо

.
Відповідь:

.
11 (7 балів). Розв’язати рівняння
. ОДЗ:

. Враховуючи, що

та

, маємо:

,

.
Нехай

, тоді

,

,

. Маємо

,

,

,

.
11 (4 бали). Розв’язати нерівність
. Розв’язання:





.



,

,

. Розглянувши перетини відповідних множин отримаємо розв’язок:

.
11 (4 бали). Розв’язати рівняння
. Очевидно, розв’язком рівняння є

Покажемо, що інших розв’язків немає: у лівій частині рівняння – зростаюча функція, у правій – спадна (на всій області визначення

), тому графіки цих функцій можуть мати одну точку перетину, а отже рівняння має єдиний корінь
.11 (4 бали). Розв’язати рівняння
. Очевидно, розв’язком рівняння є
Перепишемо рівняння у рівносильному вигляді:

. У лівій частині – спадна функція, у правій – зростаюча (на всій числовій прямій), тому рівняння має єдиний корінь:
11 (7 балів). Розв’язати рівняння
Введемо позначення:

, обчислимо похідну

, критичні точки

. Для оцінки цього числа міркуємо наступним чином:
а тоді для

похідна

, функція

зростає, причому на кінцях проміжку функція приймає значень протилежних знаків, наприклад

, а тому на проміжку є рівно один корінь. Так як

, то цей корінь локалізовано

, нескладно побачити, що
На проміжку

похідна

, функція

спадає, причому на кінцях проміжку функція приймає значень протилежних знаків, це випливає, наприклад, з того, що

,

, а тому на проміжку
є рівно один корінь, цей корінь
Відповідь:
11 (2 бали). Скільки коренів має рівняння
? Вказати один з коренів. 
.

є коренем.
1)

– зростаюча,
2)

– зростаюча

,
3)

– сума зростаючих функцій – зростаюча функція.
4) Корінь єдиний

.
11 (2 бали). Знайти рівняння дотичної до графіка
при
. 
;

;

;

.
1
1 (4 бали). Знайти рівняння дотичних до кола
, що проходять через точку
. 1 спосіб. Одна з дотичних

, її рівняння:

. Довжина дотичної
АС дорівнює 5, отже, довжина другої дотичної теж 5.
Нехай

;

;

;

;

,

,

,

,

,

.

; рівняння прямої за точкою

і нормальним вектором

або

.
Відповідь:

.
2 спосіб. Рівняння дотичної

;

, похідна

; тоді

. Маємо

– рівняння дотичної; оскільки вона проходить через точку

, то:

;

;

,

,

,

а тоді маємо 2 рівняння дотичних:
1)

, звідки

;
2)

або

або

.
Відповідь:

.
1
1 (4 бали). Знайти точку на кривій
, найближчу до прямої
. Знайдемо дотичні до кривої, паралельні до даної прямої, тоді їхні кутові коефіцієнти

.


Маємо точки

,

;

,

;

,

; та рівняння дотичних, відповідно: першої

,

; другої

,

; третьої

,

. Аналіз рівнянь чотирьох прямих: даної прямої

, дотичних

,

,

дозволяє зробити висновок: найближче знаходиться дотична

, найдалі – дотична

. Тому найближче до прямої
знаходиться точка кривої (2;16).
Зауваження: Можна було скористатися формулою відстані від точки
до прямої
. 10 (4 бали). Розв’язати систему рівнянь
Система є симетричною відносно двох невідомих, тому можна виразити усе через симетричні многочлени від двох невідомих

і

, а оскільки

можна отримати рівняння відносно

:

виділимо

:

;

; виконаємо заміну

; матимемо

,

. Отримуємо:

Розв’яжемо рівняння:

.