Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы

Содержание


Розв’язати систему рівнянь
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

10 (4 бали). Розв’язати систему рівнянь

, , , . . Нехай , маємо рівняння , , . Розглянемо варіанти:

1) є коренями (за Вієтом) рівняння , , .

2) маємо ,

, або , .


10 (7 балів). Розв’язати систему:

Позначимо , , , . Як легко переконатися . Причому , адже . Взявши , маємо: , причому тут враховано, що . . За теоремою Вієта є коренями рівняння , , , , , . Звідки маємо: , , .


9 (2 бали). Нехай . Довести, що

.

при ,

, але

, тому

.


9 (7 балів). Нехай перший і другий члени послідовності дорівнюють 1 і 3 відповідно, а кожен наступний, починаючи із третього, дорівнює сумі двох попередніх. Довести, що жоден із членів цієї послідовності не ділиться без остачі на 8.

Запишемо остачі від ділення членів послідовності на 8:

. Як бачимо, дана послідовність остач періодична, серед них немає числа 0.

10 (7 балів). Довести, що серед членів послідовності, заданої формулою , де , простими числами будуть тільки числа та

Обчислимо - просте, розглянемо усі інші члени послідовності: . Помічаємо, що другий доданок ділиться на 3 і на 7. Оцінюючи перший і другий члени послідовності і цей факт, висловлюємо гіпотезу: усі непарні члени послідовності діляться на 3, усі парні – на 7. Доведення (методом математичної індукції): (виконується); індукційне припущення: ; індукційний крок . А тому не просте. Доведено (для усіх непарних номерів). Для парних: база індукції ; індукційне припущення: ; індукційний крок - не просте.

2 спосіб. . Запишемо характеристичне рівняння: , його коренем є . Введемо допоміжну послідовність . Тоді , бо . Маємо: , а тоді якщо - непарне, , а тоді ,

- парне, , а тоді , а тому натуральними простими є тільки перші члени кожного ряду (парних чи непарних індексів).

Відповідь: прості тільки та

10 (7 балів). Довести, що серед членів послідовності, заданої формулою , де , простими числами будуть тільки числа та

Обчислимо - просте, розглянемо усі інші члени послідовності: . Помічаємо, що другий доданок ділиться на 3 і на 5. Оцінюючи перший і другий члени послідовності і цей факт, висловлюємо гіпотезу: усі непарні члени послідовності діляться на 3, усі парні – на 5. Доведення - методом математичної індукції, як у попередньому прикладі.


10 (7 балів). Довести, що серед членів послідовності, заданої формулою , де , простими числами будуть тільки числа та

Обчислимо - просте, розглянемо усі інші члени послідовності: . Помічаємо, що другий доданок ділиться на 3 і на 11. Доводимо аналогічно попередньому прикладові: усі непарні члени послідовності діляться на 3, усі парні – на 11.


11 (7 балів). Послідовність натуральних чисел задана формулою , де . Які з чисел будуть простими?

Міркування, які привели до розв’язання задачі у попередньому прикладі, не дають результату. Тому розглянемо інший спосіб.

Наше рекурентне співвідношення: . Характеристичне рівняння має коренем . Введемо допоміжну послідовність . Тоді , звідки маємо , бо . Маємо , а тоді . Очевидно, при будь-якому вираз .

Якщо - парне, то , тоді , а тому числа виду при парних будуть складеними, якщо кожен з двох множників не дорівнює одиниці: другий множник не менший 17, а перший дорівнює одиниці лише при . Висновок: - просте.

Якщо - непарне, то , а тоді . Маємо і , а тому їхній добуток ділиться на 15: ; , а тоді може бути простим, якщо тільки одне з двох значень або дорівнює 1; очевидно, цей випадок неможливий, адже з того, що , маємо , яке не є простим і не є складеним. При всіх інших непарних значеннях маємо складені числа.

Відповідь: тільки - просте.


11 (7 балів). Послідовність натуральних чисел задана формулою , де . Які з чисел будуть простими?

, характеристичне рівняння , корінь . Допоміжна послідовність . Тоді , звідки маємо , бо . Маємо , а тоді . Подальше розв’язання аналогічне до попереднього і відповідь: тільки - просте.


9 (2 бали). Дійсні числа – члени арифметичної прогресії. Чи будуть квадрати цих чисел членами арифметичної прогресії?

Нехай - члени арифметичної прогресії зі знаменником . Обчислимо :



Тоді є членами арифметичної прогресії, якщо .

Квадрати чисел будуть членами арифметичної прогресії тільки за умови, якщо .


10 (7 балів). Знайти чотири цілих числа, що утворюють арифметичну прогресію, якщо найбільше з них дорівнює сумі квадратів трьох інших.

Позначимо шукані числа як , нехай прогресія зростає, – знаменник, маємо , – найбільше з .

Тоді , , і . Маємо ; звідси отримаємо квадратне рівняння відносно : ;

.

; ;

1) , утвориться послідовність ; ; . Відповідь:

2) , утвориться послідовність ; ; ; ; Відповідь:

Зауваження: Якщо послідовність спадає, матимемо