Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материала

Документы

Содержание 3. Метод Лагранжа Діофантові рівняння та системи рівнянь 38, 55, 59, 60, 61, 63, 64, 65, 69, 98 Д Коло, круг в геометричних задачах 84, 85, 87, 100, 101, 103, 108, 118 К Многокутники (6-кутники, 8-кутники) в геометричних задачах 108, 109 М Параметричні рівняння і нерівності 10, 39-47, 50, 63, 74, 81, 82, 83 П Послідовності 30, 127 П Системи алгебраїчних рівнянь 4, 5 С Трикутники в геометричних задачах 84-91, 99-101, 103, 106, 107, 111, 117 Ф

Подобный материал:

• Міністерство освіти І науки україни «Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 554.03kb.
• Міністерство освіти І науки україни двнз«Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 1277.11kb.
• Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 29.37kb.
• Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет, 680.62kb.
• Міністерство освіти І науки україни переяслав-хмельницький державний педагогічний університет, 616.99kb.
• Міністерство освіти І науки України, 1659.87kb.
• Міністерство освіти І науки україни мелітопольський державний педагогічний університет, 2525.18kb.
• Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського (м. Одеса), 349.4kb.
• Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 30.09kb.
• Міністерство освіти І науки України Слов’янський державний педагогічний університет, 2976.14kb.

2. Симетричні многочлени

Вирази називаються елементарними симетричними многочленами другого порядку. Позначимо . Легко переконатися в правильності наступної рекурентної рівності: . Аналогічно, – елементарні симетричні многочлени третього порядку. Позначивши , маємо: , при цьому також враховуємо, що (перевірте!).

Приклад. Розв’язати систему рівнянь: 

Маємо: звідки . Оскільки , то За теоремою Вієта є коренями рівняння Тому


3. Метод Лагранжа

При доведенні деяких нерівностей ефективно використовувати так званий метод Лагранжа. Розглянемо деякі поняття. Вираз можна розглядати як функцію від змінних . По аналогії можна розглядати функцію довільної кількості змінних. Функцію розглядають на деякій множині. Наприклад, функцію f можна розглядати на множині . Функція на цій множині є визначеною і диференційованою по кожній змінній. Ця множина є обмеженою, адже, як легко переконатися, змінні не можуть бути як завгодно великими (за модулем) числами, точніше: 0≤≤ 3. Ця множина є замкненою, адже в умові фігурують нестрогі нерівності. Обмежена і замкнена множина називається компактом. Отже, А − компакт. Розглядають часткові похідні, наприклад: , при цьому використовують звичайні правила диференціювання, але вважають змінні сталими. Розглянемо поняття межі множини. Наприклад, при маємо: , але y,z ≥ 0 ,тому y=z=0. Якщо ж взяти , маємо межу: . Аналогічно для змінних y,z.

Приклад. Для додатних чисел таких, що , довести нерівність: .

Доведемо нерівність для більш сильної умови , коли невід’ємні. Розглянемо функцію на компакті (у випадку додатних чисел А не була б компактом). Розглянемо так звану функцію Лагранжа , де - стала Лагранжа. Прирівняємо до нуля часткові похідні функції Лагранжа: , маємо , звідки . Враховуючи умову маємо: .

Розглянемо ситуацію на межі: , тоді . При маємо межу: і знову використовуємо метод Лагранжа, але для функції . Об’єднуючи все зроблене, знаходимо значення в критичних точках і на межі: . Оскільки мінімальне з цих чисел 3, маємо: , що і потрібно.


4. Послідовності

Послідовність виду називається арифметичною прогресією, де − перший член, − різниця прогресії. Характеристична властивість цієї послідовності: . Правильне і обернене твердження.

Послідовність виду: називається геометричною прогресією, де − перший член, − знаменник прогресії. Характеристична властивість: . Правильне і обернене твердження.

Часто розглядаються послідовності, задані рекурентно: , де − деякі числа. Існує алгоритм для знаходження загального члена цієї послідовності.

Приклад. Нехай послідовність задана рекурентно: , де . Записати загальний член цієї послідовності.

Розглянемо так зване характеристичне рівняння послідовності: ( та  ми замінили на ), звідки . Введемо допоміжну послідовність . Тоді звідки ; з урахуванням характеристичного рівняння маємо: , де , , звідки і тому .

Використана і рекомендована література

1. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Перші зустрічі з параметрами. – Київ: Факт, 2008. - 324 с.
   
2. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Геометрія старшокласникам і абітурієнтам. – Київ: Факт, 2006. - 88 с.
   
3. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. Москва: Наука, 1975. - 112с.
   
4. Васильева Н.Б., Егоров А.А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – Москва: Наука, 1985. – 288 с.
   
5. Вишенський В.А., Перестюк М.О., Самойленко А.М. Задачі з математики. - Київ: Вища школа, 1985. – 264 с.
   
6. Вишенський В.А., Перестюк М.О., Самойленко А.М. Збірник задач з математики. - Київ: ТВіМС, 2000. – 320 с.
   
7. Вишенський В.А., Перестюк М.О., Самойленко А.М. Конкурсні задачі з математики. - Київ: Вища школа, 2001. – 432 с.
   
8. Вороний О.М. Вибрані задачі шкільної математики. – Кіровоград: КДПУ ім. В. Винниченка, 2004. – 232 с.
   
9. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. – Москва: Просвещение, 1986. – 303 с.
   
10. Зарубежные математические олимпиады /Под ред. И.Н. Сергеева.– Москва: Наука, 1987.– 416 с.
    
11. Збірник конкурсних і олімпіадних задач з математики / За ред. О.К. Закусила. – Київ: «Діалектика», 1995. – 192 с.
    
12. Касаткин В.Н. Необычные задачи математики. – К.: Рад. школа, 1987. – 128 с.
    
13. Лейфура В, Литвиненко О. XLVI Міжнародна математична олімпіада // Математика в школі. – 2006. – №1. – с. 6-14.
    
14. Лейфура В.М., Мітельман І.М., Радченко В.М., Ясінський В.А. Задачі міжнародних математичних олімпіад та методи їх розв’язування. - 1999. – 128 с.
    
15. Литвиненко І. Мітельман І. XLVI Всеукраїнська олімпіада юних математиків // Математика в школі. – 2006. – №5. – с.12-21.
    
16. Маланюк М.П., Лукавецький В.І. Олімпіади юних математиків. – К.: Радянська школа, 1985. – 88 с.
    
17. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математические олимпиады. Задачи, решения, итоги. Пособие для учащихся.– М.: Просвещение, 1976.– 288 с.
    
18. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математические олимпиады. – М.: Просвещение, 1971.–254 с.
    
19. Олімпіади з математики / Вишенський В.А., Нагорний В.Н., Перестюк М.О., Плахотник В.В. – Київський національний університет імені Т. Шевченка, 2003. – 163 с.
    
20. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей. – Москва: Просвещение, 1982. – 96 с.
    
21. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч. I. – М.: Наука, 1986. – 272 с.
    
22. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч. II. – М.: Наука, 1986. – 288 с.
    
23. Сарана О. А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч.  Житомир: ЖДПУ, 2000.  298 с.
    
24. 3000 конкурсных задач по математике / Куланин Е.Д., Норин В.П. и др. - Москва: Айрис-пресс, 2003. – 624 с.
    
25. Українські математичні олімпіади / Вишенський В.А., Ганюшкін О.Г., Карташов М.В., Михайловський В.І. та ін. – Київ: Вища школа, 1993. – 488 с.
    
26. Ясінський В.А. Геометричні задачі: навчально-методичний посібник. – Львів: Каменяр, 2003. – 76 с.
    
27. Ясінський В.В. Математика. Навчальний посібник для слухачів ФДП НТУУ «КПІ». – Київ: ФДП НТУУ «КПІ», 2007. – 368 с.
    
28. Ясінський В.В. Олімпіадні задачі з геометрії: навчально-методичний посібник. – Київ: Шк.світ, 2008. – 127 с.
    

Предметний покажчик


Арифметична прогресія 33, 34, 127

Відстань від точки до прямої і площини 28, 80, 92, 93, 110

Графіки функцій, графіки рівнянь та нерівностей 49, 50, 51, 52, 71, 72, 73

Діофантові рівняння та системи рівнянь 38, 55, 59, 60, 61, 63, 64, 65, 69, 98

Дотична до графіка функції 26, 27, 52

Задачі лінійного (нелінійного) програмування 78, 79, 80, 81

Ірраціональні рівняння і нерівності 26, 41, 43, 45, 52, 53, 73

Кількість натуральних дільників числа 59, 60, 64, 65

Коло, круг в геометричних задачах 84, 85, 87, 100, 101, 103, 108, 118

Комбінаторні задачі 83

Куб в геометричних задачах 109, 112, 118

Логарифмічні рівняння, нерівності і системи рівнянь 18-22, 24, 25, 72

Метод координат розв’язування геометричних задач 90, 95, 96

Многокутники (6-кутники, 8-кутники) в геометричних задачах 108, 109

Многочлени з цілими коефіцієнтами 5, 6, 12, 19, 77, 124

Найбільше (найменше) значення функції (виразу) 9, 10, 35, 36, 43, 71, 78, 96

Нерівність Коші 15, 58, 93

Нерівність Коші-Буняковського 10, 35, 36, 37, 38, 39, 96

Параметричні рівняння і нерівності 10, 39-47, 50, 63, 74, 81, 82, 83

Піраміда в геометричних задачах 86, 94, 97, 98, 105, 106, 116

Подільність цілих чисел 56, 57, 61, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 99

Показникові рівняння і нерівності 22, 24, 25

Послідовності 30, 127

Принцип Діріхле 67

Прості числа 53, 54, 58, 68, 70

Прості члени послідовності 31, 32, 33

Рівняння четвертого степеня 74, 75, 76, 77, 120, 121, 122, 123, 124, 125

Симетричні многочлени 30, 125

Симетричні системи рівнянь 28, 29, 30, 125

Системи алгебраїчних рівнянь 4, 5

Спрощення ірраціональних виразів 48, 49

Сфера, куля в геометричних задачах 86, 105, 110, 111

Текстові задачі 39

Тригонометричні рівності, рівняння, нерівності 6-17, 20, 21, 22, 37, 38

Трикутники в геометричних задачах 84-91, 99-101, 103, 106, 107, 111, 117

Функція Лагранжа, метод Лагранжа 14-17, 119, 126, 127

Цілочисельні розв’язки систем нерівностей 60, 62, 63, 81, 82

Чотирикутники в геометричних задачах 85-87, 90, 93, 106-108, 112-114, 115


Зміст


Вступ 3

Алгебраїчні задачі 4

Геометричні задачі 79

Вибрані теоретичні питання 112

Використана і рекомендована література 120

Предметний покажчик 122

Зміст 123





Розв’язування задач з математики

третього етапу Всеукраїнського конкурсу-захисту

науково-дослідницьких робіт учнів-членів

Малої академії наук України


Методичний посібник

для підготовки до контрольних робіт з математики

учнів 9-11 класів Малої академії наук


Людмила Володимирівна Ізюмченко

Олег Петрович Макарчук


Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до державного реєстру видавців,

виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції

Серія ДК № 1537 від 22.10.2003 р.


Підп. до друку 02.12.2008. Формат 6084¹/₁₆. Папір офсет. Друк різограф.

Ум. др. арк. 5,2 Тираж 550. Зам. № 5407.




Редакційно-видавничий відділ

Кіровоградського державного педагогічного
університету імені Володимира Винниченка

25006, Кіровоград, вул. Шевченка, 1

Тел.: (0522) 24-59-84.

Fax.: (0522) 24-85-44.

E


-Mail: mails@kspu.kr.ua