Подобный материал:
- Міністерство освіти І науки україни «Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 554.03kb.
- Міністерство освіти І науки україни двнз«Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 1277.11kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 29.37kb.
- Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет, 680.62kb.
- Міністерство освіти І науки україни переяслав-хмельницький державний педагогічний університет, 616.99kb.
- Міністерство освіти І науки України, 1659.87kb.
- Міністерство освіти І науки україни мелітопольський державний педагогічний університет, 2525.18kb.
- Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського (м. Одеса), 349.4kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 30.09kb.
- Міністерство освіти І науки України Слов’янський державний педагогічний університет, 2976.14kb.
11 (7 балів). Знайти об’єм трикутної піраміди
, якщо
,
1
спосіб.

– прямокутний, бо

;

нехай

– висота піраміди.
Нехай

– висота грані

:

,

– висота грані

:

. Так як усі ребра піраміди відомі, то для кожної грані ми можемо обчислити (якщо потрібно) площу, висоти і ін.:
1)

(кв.од.); обчислимо висоту грані:

(од.);

(од.).
2)


(кв.од.);

(од.);

(од.).
3)

;

;

– проекція

, а отже


.
Аналогічно

;

– прямокутник

(од.);
4)

;

(од.).
5)

;

(кв.од.).;

(куб.од.).
2 спосіб. Об’єм піраміди

. Використаємо метод координат (

): нехай початок координат співпадає з точкою

, вісь абсцис напрямлена від точки
до

, вісь ординат – від точки
до

, вісь аплікат – перпендикулярно до площини

, тоді координати точок

;

– відстань від точки

до площини

, а тому є висотою піраміди. Врахуємо умову задачі, отримаємо:
звідки знаходимо

. А тоді висота

(од.), площа основи (прямокутного трикутника)

(кв.од.).; і об’єм

(куб.од.).
11 (7 балів). Знайти об’єм трикутної піраміди
, якщо
,

Розв’язання: (метод координат) див. попередню задачу.
Відповідь:

(куб.од.).
11 (7 балів). Знайти об’єм трикутної піраміди
, якщо
,

У позначеннях попередньої задачі.
Відповідь:

(куб.од.).
10 (4 бали). Нехай
Знайти найбільше і найменше значення виразу
1
спосіб: Рівняння прямої

, що проходить через початок координат і перпендикулярна до сім’ї площин

:
Параметри перетинів зі сферою

, звідки

або

. Мінімум отримуємо при

в точці

. Максимум – при

, в точці

.
2 спосіб: Використаємо нерівність Коші-Буняковського:

, а тоді

. Максимум

досягається, якщо

, звідки маємо систему

А тоді вираз

перетворюється у

. Звідки

і точка, в якій досягається максимум, –

. Аналогічно, мінімум

отримаємо, якщо

, а тоді

і точка, в якій досягається мінімум ,–

.
10 (7 балів). П’ять ребер трикутної піраміди однакові і дорівнюють 2 см. Якого найбільшого значення може набувати об’єм такої піраміди? Н

ехай всі ребра, крім

, мають фіксовану величину 2 см,

– середина

.

і

,

. Отже, якщо провести через точку

площину

, перпендикулярну до ребра

, і побудувати в ній коло

, то найбільша відстань від точки

до площини

дорівнює

, коли

. Тому,

(см
3).
1
1 (4 бали). Основою трикутної піраміди є трикутник зі сторонами 6см, 5см і 5см. Знайти висоту піраміди, якщо кожне її бічне ребро дорівнює 6см. Оскільки всі бічні ребра однакові, то висота проектується в центр описаного кола.
В основі – рівнобедрений трикутник (сторони 6, 5, 5), висота, проведена до основи 6 см:

(см);

(см
2);

(см).

(см).
11 (4 бали). Основа піраміди – паралелограм, сторони якого 16 і 22. Відстань від вершини піраміди до центра основи 4. Знаючи, що довжини бічних ребер виражаються непарними послідовними числами, знайдіть довжини бічних ребер піраміди. Н

ехай

.
За теоремою косинусів:

або

. Звідки

.

– медіана

і

,

. Тоді

та

. Додавши почленно та спростивши, матимемо:

. Врахуємо, що

, а тоді

. За умовою бічні ребра виражаються послідовними непарними числами, тому маємо:

, а тоді

Умову задачі задовольняє

, а тоді бічні ребра –

дорівнюють

.
10 (7 балів). Прямі, на яких лежать дві бісектриси внутрішніх кутів трикутника утворюють кут 40о, а прямі, на яких лежать дві його висоти, утворюють кут 55о. Знайти всі внутрішні кути трикутника.. Н

ехай прямі

- бісектриси,

- точка перетину бісектрис. Тоді кут

не може бути 40
о, бо з

сума двох інших кутів трикутника була б рівною 140
о, а тоді сума двох кутів

була б рівною 280
о. Тому кут

. Для

цей кут є зовнішнім, а тому

, а тоді
Нехай прямі

- висоти

,

- точка перетину висот. Тоді в чотирикутнику

кути

, кут

як кут, вертикальний до

. Звідси маємо:

(сума кутів 4-кутника 360
о). А це є кут між висотами

, тому кут між іншими двома висотами дорівнює 55
о (за умовою задачі). Нехай це кут

. Тоді з прямокутного трикутника

визначаємо кут

, тоді кут

як вертикальний йому і з прямокутного

, а тоді останній кут

(або

).
Відповідь:

.