Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка
Вид материала | Документы |
- Міністерство освіти І науки україни «Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 554.03kb.
- Міністерство освіти І науки україни двнз«Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 1277.11kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 29.37kb.
- Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет, 680.62kb.
- Міністерство освіти І науки україни переяслав-хмельницький державний педагогічний університет, 616.99kb.
- Міністерство освіти І науки України, 1659.87kb.
- Міністерство освіти І науки україни мелітопольський державний педагогічний університет, 2525.18kb.
- Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського (м. Одеса), 349.4kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 30.09kb.
- Міністерство освіти І науки України Слов’янський державний педагогічний університет, 2976.14kb.
9 (2 бали). Довжини сторін прямокутного трикутника є натуральними числами. Довести, що принаймні одне з них ділиться на 3.
1 спосіб. Усі натуральні числа є числа виду:






2 спосіб. Нехай усі сторони є натуральними числами, що не діляться на три. Тоді вони мають вигляд



9 (2 бали). Довести, що сума катетів прямокутного трикутника дорівнює сумі діаметрів описаного і вписаного в цей трикутник кола.
В

тоді катети




9 (4 бали). Визначити кути прямокутного трикутника, якщо


1 спосіб.






скористаємося теоремою Вієта, тоді








2 спосіб.







Зауваження: отримали, на перший погляд, іншу відповідь. Покажемо, що вони однакові:



11 (4 бали). Написати рівняння кола, описаного навколо трикутника, утвореного прямою







9 (4 бали). В площині

1 спосіб. Як відомо, точка перетину медіан є центром мас трикутника. Нехай





С






2 спосіб (метод координат). Допоміжна вправа: дано координати вершин трикутника



Вказівка: запишіть координати середини відрізка





Відповідь:

Розв’язання. Виберемо прямокутну систему координат, нехай координати точок











1










Серединний перпендикуляр до







Оскільки














Координати векторів пропорційні, а отже точки лежать на одній прямій.
2

Вправа 1. Доведемо, що висоти трикутника перетинаються в одній точці. Нехай дано:




Довести:

Через вершини трикутника АВС проведемо прямі, паралельні його сторонам, які попарно перетинаються в точках А1, В1, С1. Розглянемо чотирикутники СВАВ1 і СВС1А. Це паралелограми (за побудовою ВС||В1С1; АС||А1С1; АВ||А1В1. Оскільки ВС=АС1 і ВС=АВ1, то АС1=АВ1 (за транзитивністю), а звідси випливає, що точка А ділить відрізок В1С1 навпіл. Аналогічно точки В і С ділять навпіл відповідно відрізки А1С1 і А1В1. Прямі, яким належать висоти трикутника АВС, перпендикулярні до сторін трикутника А1В1С1 в їх серединах. Отже, вони мають спільну точку – центр кола, описаного навколо трикутника А1В1С1. Ця точка, спільна для висот трикутника АВС, є ортоцентром Н.
Вправа 2. Довести, що коли через вершини трикутника АВС провести прямі, паралельні його сторонам, то утворений трикутник А1В1С1 буде гомотетичний трикутнику АВС з центром гомотетії в точці М перетину медіан трикутника АВС і коефіцієнтом k=-2.
Доведення: Оскільки В1А=АС1; С1В=ВА1; А1С=СВ1 (дивись попередню вправу), то В1В, А1А і С1С – медіани трикутника А1В1С1.Тому



Вправа 3. Довести, що у будь-якому трикутнику АВС центр О описаного кола, точка М перетину медіан і ортоцентр Н належать одній прямій (пряма Ейлера), причому 2ОН=МН.
Оскільки точка Н є центром кола, описаного навколо трикутника А1В1С1, то точки О і Н відповідно гомотетичні при гомотетії з центром М і коефіцієнтом k=-2, тому лежать на одній прямій.
3



















11 (4 бали). Ребра







Н








Визначимо координати центра сфери: запишемо рівняння площини


















А, отже, точки
