Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы

Содержание


Довжини сторін прямокутного трикутника є натуральними числами. Довести, що принаймні одне з них ділиться на 3.
АВС проведемо прямі, паралельні його сторонам, які попарно перетинаються в точках А
Подобный материал:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21

9 (2 бали). Довжини сторін прямокутного трикутника є натуральними числами. Довести, що принаймні одне з них ділиться на 3.

1 спосіб. Усі натуральні числа є числа виду: . Розглянемо всі випадки:

– найпростіший, адже гіпотенуза ділиться на 3.





2 спосіб. Нехай усі сторони є натуральними числами, що не діляться на три. Тоді вони мають вигляд (тобто при діленні на три дають остачу 1 або 2). Оскільки в такому випадку сума квадратів катетів при діленні на три дає остачу 2:

, а квадрат гіпотенузи – 1: , приходимо до суперечності, а тому принаймні одне з чисел ділиться на три.


9 (2 бали). Довести, що сума катетів прямокутного трикутника дорівнює сумі діаметрів описаного і вписаного в цей трикутник кола.

Введемо позначення (дивись рисунок),

тоді катети гіпотенуза діаметр описаного кола дорівнює гіпотенузі , з цих співвідношень отримуємо:


9 (4 бали). Визначити кути прямокутного трикутника, якщо де – відповідно радіуси вписаного та описаного кіл.

1 спосіб.

,

скористаємося теоремою Вієта, тоді – корені квадратного рівняння: , ,

або Кути .

2 спосіб. ; так як , матимемо . Розв’яжемо тригонометричне рівняння, поділивши на ліву і праву частини, врахуємо, що , отримаємо

.

Зауваження: отримали, на перший погляд, іншу відповідь. Покажемо, що вони однакові:



(відповідь співпадає з відповіддю першого способу розв’язання).


11 (4 бали). Написати рівняння кола, описаного навколо трикутника, утвореного прямою та осями координат.

– координати вершин трикутника. Центр кола лежить на середині гіпотенузи АВ трикутника і має такі координати: , тоді . Звідси отримаємо рівняння кола .




9 (4 бали). В площині знайти точку, сума квадратів відстаней якої до вершин трикутника є найменшою.

спосіб. Як відомо, точка перетину медіан є центром мас трикутника. Нехай – точка перетину медіан , тоді , звідси для довільної точки :




Сума є сталою і не залежить від положення точки у площині, тому вираз набуває найменшого значення, коли перший доданок перетворюється в нуль, тобто , отже, набуває найменшого значення, коли – точка перетину медіан.

2 спосіб (метод координат). Допоміжна вправа: дано координати вершин трикутника . Визначити координати точки перетину медіан.

Вказівка: запишіть координати середини відрізка точки і скористайтесь тим фактом, що точка ділить відрізок у відношенні .

Відповідь: .

Розв’язання. Виберемо прямокутну систему координат, нехай координати точок . Тоді потрібно знайти найменше значення ;

, де

- деякий вираз, що не залежить від вибору точки а тільки від заданих точок . Очевидно набуває найменшого значення, якщо перші два доданки дорівнюють нулю, а тоді:

- точка перетину медіан .


10 (7 балів). Довести, що центр описаного кола , ортоцентр (точка перетину висот) і точка перетину медіан будь-якого трикутника лежать на одній прямій (прямій Ейлера).

, , , . Тоді . – точка перетину медіан.

Серединний перпендикуляр до : , тоді .

; . Тоді .

Оскільки – лежить на перпендикулярі до , що проходить через , то . Оскільки – лежить на перпендикулярі до , що проходить через , то ; ; . Тоді .

;

;

.

Координати векторів пропорційні, а отже точки лежать на одній прямій.

2 спосіб.: Розглянемо наступні вправи.

Вправа 1. Доведемо, що висоти трикутника перетинаються в одній точці. Нехай дано: , ; ;.

Довести: .

Через вершини трикутника АВС проведемо прямі, паралельні його сторонам, які попарно перетинаються в точках А1, В1, С1. Розглянемо чотирикутники СВАВ1 і СВС1А. Це паралелограми (за побудовою ВС||В1С1; АС||А1С1; АВ||А1В1. Оскільки ВС=АС1 і ВС=АВ1, то АС1=АВ1 (за транзитивністю), а звідси випливає, що точка А ділить відрізок В1С1 навпіл. Аналогічно точки В і С ділять навпіл відповідно відрізки А1С1 і А1В1. Прямі, яким належать висоти трикутника АВС, перпендикулярні до сторін трикутника А1В1С1 в їх серединах. Отже, вони мають спільну точку – центр кола, описаного навколо трикутника А1В1С1. Ця точка, спільна для висот трикутника АВС, є ортоцентром Н.

Вправа 2. Довести, що коли через вершини трикутника АВС провести прямі, паралельні його сторонам, то утворений трикутник А1В1С1 буде гомотетичний трикутнику АВС з центром гомотетії в точці М перетину медіан трикутника АВС і коефіцієнтом k=-2.

Доведення: Оскільки В1А=АС1; С1В=ВА1; А1С=СВ1 (дивись попередню вправу), то В1В, А1А і С1С – медіани трикутника А1В1С1.Тому ; ; ; і трикутник А1В1С1 буде гомотетичний трикутнику АВС з центром гомотетії в точці М перетину медіан трикутника АВС.

Вправа 3. Довести, що у будь-якому трикутнику АВС центр О описаного кола, точка М перетину медіан і ортоцентр Н належать одній прямій (пряма Ейлера), причому 2ОН=МН.

Оскільки точка Н є центром кола, описаного навколо трикутника А1В1С1, то точки О і Н відповідно гомотетичні при гомотетії з центром М і коефіцієнтом k=-2, тому лежать на одній прямій.

3 спосіб. Нехай - середини сторін та , відповідно, - центр описаного кола, - точка перетину медіан, - ортоцентр. Оскільки , тому . Аналогічно, , крім того , бо - середня лінія . Звідси випливає, що гомотетичний . Прямі перетинаються в одній точці, а саме точці (- медіани). Звідси .


11 (4 бали). Ребра , , чотирикутної піраміди – взаємно­перпендикулярні. Довести, що центр сфери, описаної навколо , лежить на прямій, що з’єднує вершину з точкою перетину медіан трикутника .

Нехай ; ; ; . – точка перетину медіан трикутника . Тоді вона має такі координати .

Визначимо координати центра сфери: запишемо рівняння площини , перпендикулярної до , що проходить через середину відрізка : ; (), тоді середина : , рівняння площини : ;

: (); : (), а тому центр сфери .

А, отже, точки – лежать на одній прямій.