Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   21

11 (2 бали). Скільки розв’язків має рівняння: .

, адже в рівнянні є вираз , , адже . Звідки , але . Отже, . Перевіркою переконуємося, що задовольняє рівняння.


10 (4 бали). Знайти усі трійки , для яких рівняння має єдиний розв’язок.

Якщо , то , (при ). У цьому випадку ми маємо один розв’язок лише тоді, коли . Нехай , для певності нехай . Розглянемо функції і . Розглянувши першу функцію на проміжках , , , легко побудувати її графік. Як видно з рисунка, ми маємо один розв’язок, коли . Цей випадок розглянутий. Отже, , .

Відповідь:


9 (4 бали). Розв’язати рівняння



.

Виконаємо заміну: отримаємо: , а тоді



Відповідь:


10 (4 бали). Розв’язати рівняння: .



; заміна отримаємо: .

Відповідь: є двократним коренем.


Розв’яжіть самостійно:

1. Розв’язати рівняння: .

Відповідь:

2. Розв’язати рівняння: .

Відповідь:

3. Розв’язати рівняння: .

Відповідь:

4. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: є двократним коренем.

5. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: є двократним коренем.

6. Розв’язати рівняння: .

Відповідь:


11 (4 бали). Розв’язати рівняння: .





.

Перевіряємо: не є коренем, тому

.

Виконаємо заміну: , отримаємо: , а тоді

Відповідь: .


Розв’яжіть самостійно:

1. Розв’язати рівняння: .

Відповідь:

2. Розв’язати рівняння: .

Відповідь:

3. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: .

4. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: , корені двократні.

5. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: .

6. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: .


10 (4 бали). Розв’язати рівняння: .

1 спосіб. (Метод Феррарі): Виокремлюємо доданки четвертого і третього степенів: та виділяємо повний квадрат у лівій частині:

.

Додамо в лівій частині у дужках деяке число , щоб вираз у правій частині перетворився на повний квадрат, отримаємо: або

.

Квадратний тричлен у правій частині перетвориться на повний квадрат, якщо його дискримінант дорівнює нулю:

; звідки

або - маємо кубічну резольвенту. Знайдемо один (будь-який) корінь цього рівняння, наприклад, за схемою Горнера; доцільно (раціональні) корені шукати серед дільників вільного члена, крім того, у нашому випадку у зв’язку з тим, що всі коефіцієнти рівняння додатні, корені можуть бути тільки від’ємними. Тому перевіряємо лише від’ємні дільники числа 105:

. Отже є коренем, тому з рівняння маємо:

або , а тоді

.

2 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів. Переконуємося, що рівняння не має раціональних коренів (якщо старший коефіцієнт дорівнює нулю, їх шукаємо серед дільників вільного члена): Тоді прагнемо розкласти многочлен у добуток двох многочленів другого степеня:

.

Прирівняємо коефіцієнти при відповідних степенях (вже врахували те, що найвищий степінь входить з коефіцієнтом 1):

Якщо з першого рівняння виразити невідому , з четвертого рівняння і підставити у друге та третє рівняння, отримаємо систему двох нелінійних рівнянь, з яких виключити третю невідому, отримаємо рівняння високого степеня, яке має раціональні корені:

насправді коренів декілька (зауважимо, що який-небудь розв’язок можна було отримати і шляхом підбору), але розклад на множники отримаємо однозначний

, а тоді отримаємо

Відповідь:


10 (4 бали). Нехай числа задовольняють умови Знайдіть найбільше і найменше значення функції .

Побудуємо прямі визначимо область, що задовольняє усі нерівності, це є разом з внутрішньою частиною. Зобразимо на рисунку пряму (проходить через початок координат), тоді множина є сім’я паралельних між собою прямих, напрям зростання функції вказує нормальний вектор . Тоді найменшого значення функція досягає в точці С, найбільшого – в точці В. Визначимо координати точок В і С, розв’язавши відповідно, системи рівнянь:








А тоді


11 (4 бали). Нехай числа задовольняють умови Знайдіть всі значення, яких можуть приймати а) ;

б) ; в) (3 задачі).

Побудуємо прямі та вкажемо частини площини, що задовольняють усі умови задачі.

Нескладно показати, що це є трикутник , разом з внутрішньою частиною. Координати точок вершин трикутника знайдемо, розв’язавши системи:

;

.

а) Невідома змінюється від абсциси точки А до абсциси точки С, тобто; аналогічні міркування приводять до висновку: .

б) Щоб взнати межі зміни невідомої ( є коло з центром в початку координат та радіусом с), знайдемо точки площини трикутника АВС, що розташовані найближче і найдалі від центру кола, т. О);

рівняння , тоді кутовий коефіцієнт прямої ОТ, що перпендикулярна до , рівняння ОТ: . Тоді , звідки - а тоді найменше значення . Найбільше значення досягає в точці В і дорівнює .

Зауваження. Відстань від прямої до початку координат можна було простіше, не обчислюючи точки Т, якщо записати рівняння у нормальному вигляді , причому права частина (вільний член) обов’язково має бути додатним, він і показує відстань до початку координат .

в) є рівняння прямої, що проходить через початок координат, кутовий коефіцієнт дорівнює с. Очевидно, кутовий коефіцієнт є найменшим для прямої ОС, і найбільшим для прямої ОА, . А тому .


9 (7 балів). Знайти найбільше і найменше значення виразу , якщо

Нехай виразимо і , отримаємо Врахуємо обмеження, дані в умові, матимемо: звідси Побудуємо відповідну множину точок в системі : Отримаємо паралелограм . Врахувавши, що - тангенс кута нахилу прямої, що проходить через точки ; , маємо, що набуває найменшого значення в точці , що є точкою перетину прямих звідси ; ; ; досягає найбільшого значення в точці : ; .