Подобный материал:
- Міністерство освіти І науки україни «Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 554.03kb.
- Міністерство освіти І науки україни двнз«Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 1277.11kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 29.37kb.
- Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет, 680.62kb.
- Міністерство освіти І науки україни переяслав-хмельницький державний педагогічний університет, 616.99kb.
- Міністерство освіти І науки України, 1659.87kb.
- Міністерство освіти І науки україни мелітопольський державний педагогічний університет, 2525.18kb.
- Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського (м. Одеса), 349.4kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 30.09kb.
- Міністерство освіти І науки України Слов’янський державний педагогічний університет, 2976.14kb.
11 (2 бали). Скільки розв’язків має рівняння:
. 
, адже в рівнянні є вираз

,

, адже

. Звідки

, але

. Отже,

. Перевіркою переконуємося, що

задовольняє рівняння.
1
0 (4 бали). Знайти усі трійки
, для яких рівняння
має єдиний розв’язок. Якщо

, то

,

(при

). У цьому випадку ми маємо один розв’язок лише тоді, коли

. Нехай

, для певності нехай

. Розглянемо функції

і

. Розглянувши першу функцію на проміжках

,

,

, легко побудувати її графік. Як видно з рисунка, ми маємо один розв’язок, коли

. Цей випадок розглянутий. Отже,

,

.
Відповідь:
9 (4 бали). Розв’язати рівняння


.
Виконаємо заміну:

отримаємо:

, а тоді
Відповідь:
10 (4 бали). Розв’язати рівняння:
. 


; заміна

отримаємо:

.
Відповідь:

є двократним коренем.
Розв’яжіть самостійно: 1. Розв’язати рівняння: 
.
Відповідь:
2. Розв’язати рівняння: 
.
Відповідь:
3. Розв’язати рівняння: 
.
Відповідь:
4. Розв’язати рівняння: 
.
Відповідь:

є двократним коренем.
5. Розв’язати рівняння: 
.
Відповідь:

є двократним коренем.
6. Розв’язати рівняння: 
.
Відповідь:
11 (4 бали). Розв’язати рівняння:
.

.
Перевіряємо:

не є коренем, тому

.
Виконаємо заміну:

, отримаємо:

, а тоді

Відповідь:

.
Розв’яжіть самостійно: 1. Розв’язати рівняння: 
.
Відповідь:
2. Розв’язати рівняння: 
.
Відповідь:
3. Розв’язати рівняння:
. Відповідь:

.
4. Розв’язати рівняння:
. Відповідь:

, корені двократні.
5. Розв’язати рівняння:
. Відповідь:

.
6. Розв’язати рівняння:
. Відповідь:

.
10 (4 бали). Розв’язати рівняння:
. 1 спосіб. (Метод Феррарі): Виокремлюємо доданки четвертого і третього степенів:

та виділяємо повний квадрат у лівій частині:


.
Додамо в лівій частині у дужках деяке число

, щоб вираз у правій частині перетворився на повний квадрат, отримаємо:

або

.
Квадратний тричлен у правій частині перетвориться на повний квадрат, якщо його дискримінант дорівнює нулю:

; звідки

або

- маємо кубічну резольвенту. Знайдемо один (будь-який) корінь цього рівняння, наприклад, за схемою Горнера; доцільно (раціональні) корені шукати серед дільників вільного члена, крім того, у нашому випадку у зв’язку з тим, що всі коефіцієнти рівняння додатні, корені можуть бути тільки від’ємними. Тому перевіряємо лише від’ємні дільники числа 105:

. Отже

є коренем, тому з рівняння

маємо:

або

, а тоді

.
2 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів. Переконуємося, що рівняння не має раціональних коренів (якщо старший коефіцієнт дорівнює нулю, їх шукаємо серед дільників вільного члена):

Тоді прагнемо розкласти многочлен у добуток двох многочленів другого степеня:

.
Прирівняємо коефіцієнти при відповідних степенях (вже врахували те, що найвищий степінь входить з коефіцієнтом 1):

Якщо з першого рівняння виразити невідому

, з четвертого рівняння

і підставити у друге та третє рівняння, отримаємо систему двох нелінійних рівнянь, з яких виключити третю невідому, отримаємо рівняння високого степеня, яке має раціональні корені:

насправді коренів декілька
(зауважимо, що який-небудь розв’язок можна було отримати і шляхом підбору), але розклад на множники отримаємо однозначний

, а тоді отримаємо
Відповідь:
10 (4 бали). Нехай числа
задовольняють умови
Знайдіть найбільше і найменше значення функції
. Побудуємо прямі

визначимо область, що задовольняє усі нерівності, це є

разом з внутрішньою частиною. Зобразимо на рисунку пряму

(проходить через початок координат), тоді множина

є сім’я паралельних між собою прямих, напрям зростання функції вказує нормальний вектор

. Тоді найменшого значення функція досягає в точці
С, найбільшого – в точці
В. Визначимо координати точок
В і
С, розв’язавши відповідно, системи рівнянь:

А тоді
11 (4 бали). Нехай числа
задовольняють умови
Знайдіть всі значення, яких можуть приймати а)
;
б)
; в)
(3 задачі).
Побудуємо прямі
та вкажемо частини площини, що задовольняють усі умови задачі.
Нескладно показати, що це є трикутник

, разом з внутрішньою частиною. Координати точок вершин трикутника

знайдемо, розв’язавши системи:

;

.
а) Невідома

змінюється від абсциси точки
А до абсциси точки
С, тобто

; аналогічні міркування приводять до висновку:

.
б) Щоб взнати межі зміни невідомої

(

є коло з центром в початку координат та радіусом
с), знайдемо точки площини трикутника
АВС, що розташовані найближче і найдалі від центру кола, т.
О);
рівняння

, тоді кутовий коефіцієнт прямої
ОТ, що перпендикулярна до

, рівняння
ОТ:

. Тоді

, звідки

- а тоді найменше значення

. Найбільше значення

досягає в точці
В і дорівнює

.
Зауваження. Відстань від прямої

до початку координат можна було простіше, не обчислюючи точки
Т, якщо записати рівняння

у нормальному вигляді

, причому права частина (вільний член) обов’язково має бути додатним, він і показує відстань до початку координат


.
в)

є рівняння прямої, що проходить через початок координат, кутовий коефіцієнт дорівнює
с. Очевидно, кутовий коефіцієнт є найменшим для прямої
ОС,

і найбільшим для прямої
ОА,

. А тому
.9 (7 балів). Знайти найбільше і найменше значення виразу
, якщо
Нехай

виразимо

і

, отримаємо

Врахуємо обмеження, дані в умові, матимемо:

звідси

Побудуємо відповідну множину точок в системі

: Отримаємо паралелограм

. Врахувавши, що

- тангенс кута н

ахилу прямої, що проходить через точки

;

, маємо, що

набуває найменшого значення в точці

, що є точкою перетину прямих

звідси

;

;

;

досягає найбільшого значення в точці

:

;

.