Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка
Вид материала | Документы |
- Міністерство освіти І науки україни «Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 554.03kb.
- Міністерство освіти І науки україни двнз«Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 1277.11kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 29.37kb.
- Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет, 680.62kb.
- Міністерство освіти І науки україни переяслав-хмельницький державний педагогічний університет, 616.99kb.
- Міністерство освіти І науки України, 1659.87kb.
- Міністерство освіти І науки україни мелітопольський державний педагогічний університет, 2525.18kb.
- Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського (м. Одеса), 349.4kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 30.09kb.
- Міністерство освіти І науки України Слов’янський державний педагогічний університет, 2976.14kb.
9 (7 балів). Знайти всі значення параметра


Запишемо теорему Вієта:









Ділимо



Всього натуральних дільників числа



Якщо











Відповідь:

10 (4 бали). Чи кожне натуральне число, кратне чотирьом, можна подати як різницю квадратів двох натуральних чисел? Скількома способами можна подати в такому вигляді число 48?
Нескладно помітити, що







Зауважимо, що з умови









Відповідь: 48 можна зобразити у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел трьома способами



10 (4 бали). Чи кожне непарне число можна подати як різницю квадратів двох натуральних чисел? Скількома способами можна подати в такому вигляді число 45?
Нескладно помітити, що






Маємо





Відповідь: 45 можна зобразити у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел трьома способами



9 (7 балів). Довести, що існує нескінченна кількість натуральних чисел



Розглянемо, які остачі дають при діленні на 7 різні степені двійки:





Отже, всі числа виду

10 (7 балів). Довести, що існує нескінченна кількість натуральних чисел



Дивись попередню задачу,



Відповідь: всі числа виду

11 (7 балів). Довести, що для довільного



1. Аналіз розв’язання задачі та висунення робочої гіпотези.
Оскільки


























перевіряємо подільність на 27:












2. Доведення (чи спростування) робочої гіпотези.


Із означення подільності маємо:



- База індукції
(перевірена при висуненні робочої гіпотези).
- Індукційне припущення:
, що
або
.
- Індукційний крок: покажемо, що для
твердження виконується, тобто що
або
чи
.

Вираз, що містить перші три доданки ділиться націло на






11 (7 балів). Довести, що для довільного



Доведення. Очевидно, що задачу можна розв’язати аналогічно до попередньої. Наведемо інше доведення.
При діленні на

















10 (4 бали). Довести, що для



Позначимо через








Очевидно, що коли










А це в свою чергу означає, що яким би не було число






