Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   21

9 (7 балів). Знайти всі значення параметра , для яких обидва корені рівняння є цілими числами.

Запишемо теорему Вієта: З першої рівності з того, що випливає, що і . Виразимо через : Маємо: , а тому: .

Ділимо на «кутом» або за схемою Горнера:

.

Всього натуральних дільників числа є , цілих – вдвічі більше .

Якщо якщо (а далі усі значення повторюються: двічі – для коренів та ).

Відповідь:


10 (4 бали). Чи кожне натуральне число, кратне чотирьом, можна подати як різницю квадратів двох натуральних чисел? Скількома способами можна подати в такому вигляді число 48?

Нескладно помітити, що , але (за умовою) мають бути натуральними. Очевидно, що . А тому – єдине натуральне число, кратне чотирьом, не можна подати як різницю квадратів двох натуральних чисел – це число 4.

. Маємо діофантове рівняння. Оскільки , число натуральних дільників числа , то є 10 можливостей для 48: і т.д.

Зауважимо, що з умови і того, що випливає, що , а тоді і . Крім того, та і - числа однієї парності. А тому відпадають варіанти типу . Маємо:



Відповідь: 48 можна зобразити у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел трьома способами


10 (4 бали). Чи кожне непарне число можна подати як різницю квадратів двох натуральних чисел? Скількома способами можна подати в такому вигляді число 45?

Нескладно помітити, що , але . Очевидно, що цю умову не задовольняє єдине непарне натуральне число – один. А тому – єдине натуральне число, яке не можна подати як різницю квадратів двох натуральних чисел – це число 1.

. Маємо діофантове рівняння.

, , є 6 можливостей: і т.д.

Маємо , , . А тому відпадають варіанти . Маємо 3 можливості:



Відповідь: 45 можна зобразити у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел трьома способами


9 (7 балів).  Довести, що існує нескінченна кількість натуральних чисел , для одне з чисел або ділиться без остачі на 7.

Розглянемо, які остачі дають при діленні на 7 різні степені двійки:

а тоді

розглянемо та :



Отже, всі числа виду

10 (7 балів).  Довести, що існує нескінченна кількість натуральних чисел , для одне з чисел або ділиться без остачі на 7.

Дивись попередню задачу, і тоді

Відповідь: всі числа виду


11 (7 балів).  Довести, що для довільного існує , для якого .

1. Аналіз розв’язання задачі та висунення робочої гіпотези.

Оскільки , починаємо з . Очевидно, існує таке, що і умова задачі виконується; , прагнемо підібрати так, щоб . Оскільки , то . Нехай : вираз має ділитися вже на , тобто на , а для цього він повинен ділитися спочатку на (сума цифр має ділитися на 9). Розглядаємо: не ділиться на 9, а тим більше на 27; отже ;









; тепер

перевіряємо подільність на 27: , тому Отже, для існує таке, що умова задачі виконується. Порівнюючи три отримані результати (для маємо ; для існує ; для , відповідно, ), висуваємо гіпотезу: .

2. Доведення (чи спростування) робочої гіпотези. .

Із означення подільності маємо: , або (що те ж саме) . Доведення (індукція по ).
  1. База індукції (перевірена при висуненні робочої гіпотези).
  2. Індукційне припущення: , що або .
  3. Індукційний крок: покажемо, що для твердження виконується, тобто що або чи .

.

Вираз, що містить перші три доданки ділиться націло на , тобто дорівнює цілому числу помноженому на . А тоді . А тому твердження має місце для усіх натуральних .


11 (7 балів).  Довести, що для довільного існує , для якого .

Доведення. Очевидно, що задачу можна розв’язати аналогічно до попередньої. Наведемо інше доведення.

При діленні на всі натуральні числа дають остач (скінченне число): . Оскільки натуральних чисел виду нескінченно багато, то за принципом Діріхле , такі, що та дають однакові остачі при діленні на (не порушуючи загальності міркувань, можна вважати, що ). А тоді різниця . Очевидно, що , де . Оскільки найбільший спільний дільник , то і будь-які їхні натуральні степені також взаємно прості, тобто . А тоді .


10 (4 бали). Довести, що для , для якого .

Позначимо через та розглянемо ;

; ;

; ;

; .

Очевидно, що коли , то ; при , при і т.д., тобто, коли пробігає повну систему лишків за модулем , вираз також пробігає повну систему лишків за модулем .

А це в свою чергу означає, що яким би не було число , для нього завжди знайдеться таке число , що вираз буде ділитися націло на 7. Наприклад, якщо , існує таке, що , тобто .