Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы

Содержание


Розв’язати рівняння: .
Подобный материал:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21

11 (4 бали). Рівнобедрений трикутник з кутом при вершині ортогонально проектується на площину, яка проходить через його основу. Проекцією є рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Знайти кут між площиною початкового трикутника і площиною проекцій.

Позначимо через основу рівнобедреного трикутника, спільну для трикутника і його проекції, через - висоти, - кути при вершині початкового трикутника і його проекції відповідно. Тоді з прямокутних трикутників матимемо: , . З урахуванням даних в умові кутів та формул тригонометричних функцій половинного кута отримаємо: . А тоді , і кут між площиною трикутника і площиною проекцій γ=600.


10 (4 бали). Довжини сторін трикутника 10 см та 15 см. Довести, що довжина бісектриси кута між ними не більша від 12 см. Чи існує трикутник з бісектрисою 12 см?

Розглянемо - бісектриса кута .

Тоді з рівності площ маємо , а тоді , звідки . Звернемо увагу, що для трикутника знак нерівності строгий, бо рівність можлива тільки коли . А тому

Відповідь: . Не існує трикутника, сторони якого 10 см, 15 см і бісектриса кута між ними 12 см.


10 (4 бали). Довжини сторін трикутника 10 см та 15 см. В яких межах може змінюватись довжина бісектриси кута між ними?

Вказівка до розв’язання: дивись попередню задачу: , а тоді і .

Відповідь: .


9 (4 бали). Довести, що в прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між висотою і медіаною, проведеними з вершини цього кута, навпіл.

Доведення: Нехай у: кут , - медіана, бісектриса і висота, відповідно. Побудуємо коло, описане навколо прямокутного , тоді - центр кола, , нехай точки перетину прямих з колом - , відповідно. - діаметри.

1. З рівності прямокутних трикутників маємо рівність дуг .

2. З рівності рівнобедрених трикутників маємо рівність дуг . А тому рівні дуги .

3. - бісектриса, тому рівні дуги .

4. З п.2 і п.3 випливає рівність дуг . Звідки слідує рівність кутів між медіаною і бісектрисою та бісектрисою і висотою.


11 (7 балів). Знайти довжину найкоротшого шляху по поверхні одиничного куба, що з’єднує середину ребра куба з точкою протилежного ребра, яка ділить це ребро у відношенні .

1 спосіб. «Розвернемо» грані і таким чином, щоб вони лежали в одній

площині. Найкоротший шлях між двома точками, як відомо, лежить по прямій. Нехай - проекція точки на прямій . , , тому довжина найкоротшого шляху: .

2 спосіб. Введемо прямокутну систему координат. Тоді , . Нехай - точка, яка відповідає мінімальному маршруту , . Тоді нам потрібно оцінити вираз

.

Досліджувати цю функцію () звичайними методами диференціального числення досить важко, тому підемо іншим шляхом і використаємо метод Лагранжа. Нехай , , розглянемо функцію при умові , , (адже ). Функція Лагранжа: , де - множник Лагранжа. , тому Розглянемо функцію , вона непарна і зростає на проміжку , ( спадає при зростанні і т.д.). Тому, маємо: , і з умови , отримаємо: . . Залишилося дослідити функцію на межі, тобто коли або , або , або фактично або 1 для функції . Оскільки і більші за , то - шукана величина.

Задачі, наведені у даній роботі, розглядалися під час роботи з учнями секції «Математика» Кіровоградського територіального відділення Малої академії наук.


Вибрані теоретичні питання


1. Розв’язування рівнянь вищих порядків.

1. Рівняння четвертого степеня довільного виду , де  може бути розв’язане методом Феррарі: у лівій частині залишаємо множники четвертого і третього степенів та виділяємо повний квадрат:



Додамо у дужках лівої частини деяке число , щоб вираз у правій частині перетворився на повний квадрат, та урівняємо праву частину, отримаємо: . (*)

Квадратний тричлен у правій частині перетвориться на повний квадрат, якщо його дискримінант дорівнює нулю:

; звідки отримуємо рівняння третього степеня відносно невідомої (кубічну резольвенту)

. Знаходимо один (будь-який) корінь цього рівняння і підставляємо у рівняння (*). Якщо обчислення виконано вірно, отримаємо і у лівій частині, і у правій – повні квадрати, звідки отримаємо рівність модулів, а тоді - сукупність двох квадратних рівнянь, розв’язавши які матимемо корені початкового рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння: .

Виокремлюємо доданки четвертого і третього степенів і виділяємо повний квадрат:

. . Дискримінант: , звідки - кубічна резольвента. Корені шукаємо серед дільників вільного члена 42:

. Отже, є коренем. З рівняння маємо:

або , а тоді

.

Відповідь:

2. Рівняння четвертого степеня виду , де  і вільні члени задовольняють умову , зводиться до квадратного рівняння після об’єднання попарно множників , розкриття дужок , та заміни : . Звідки отримуємо та, повертаючись до заміни , маємо розв’язки вихідного рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння: .

Вільні члени задовольняють умову:

; заміна отримаємо: . Повертаємося до заміни:



Відповідь:

3. Рівняння четвертого степеня виду , де і вільні члени задовольняють умову , зводиться до квадратного рівняння після об’єднання попарно множників , розкриття дужок , ділення на (попередньо показуємо, що ): та заміни : . Звідки отримуємо та, повертаючись до заміни , маємо розв’язки вихідного рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння: .

Вільні члени задовольняють умову: ;



. не є коренем, тому . Заміна: , отримаємо:

, а тоді



Відповідь: .

4. Симетричні рівняння парного степеня (наприклад, четвертого) мають вигляд: , де  - коефіцієнти такого рівняння, рівновіддалені від початку і кінця, - рівні.

Якщо є коренем такого рівняння, то і обернене число є коренем рівняння. Заміна приводить до розв’язання такого рівняння. Оскільки не є коренем рівняння, то поділимо на (бо центральний член – рівновіддалений від початку і кінця – має степінь ). . Заміна: , а тоді – маємо квадратне рівняння відносно невідомої , розв’язавши яке, повертаємось до заміни і знаходимо значення невідомої .

Зауваження: відомо, що , причому знак рівності досягається при (для сума двох взаємно обернених чисел не менше двох: - доведено; , а тоді і знову маємо суму двох взаємно обернених додатних чисел, ми довели вище, що вона не менше двох). А тому, якщо отримуємо, що , то рівняння дійсних коренів не має.

Приклад. Розв’язати рівняння: .

, поділимо на , матимемо: . Заміна: , а тоді .

Маємо: , друге значення , рівняння дійсних розв’язків не має. Маємо 2 дійсних кореня.

Приклад. Розв’язати рівняння:

.

Згрупуємо доданки , поділимо на , матимемо: . Заміна: , тоді ,

, звідки . Маємо кубічне рівняння . Шукаємо раціональні корені у вигляді дробу , де - дільник вільного члена (-45), - дільник старшого коефіцієнта 5:

, маємо Значення не дасть дійсних коренів початкового рівняння, тому:

5. Симетричні рівняння непарного степеня (наприклад, п’ятого) мають вигляд: , де . Такі рівняння завжди мають коренем Поділивши на , отримаємо симетричний многочлен парного степеня.

Приклад. Розв’язати рівняння:

.

- корінь. Поділимо на :



Маємо розклад:

-

многочлен-частка є симетричний многочлен парного степеня:

. Заміна: , тоді , (дивись попередній приклад). Маємо кубічне рівняння . Шукаємо цілі корені серед дільників вільного члена:

, маємо А тому:

Відповідь:

Зауваження.  Рівняння виду відрізняються від симетричних знаками (через один), вони розв’язуються за допомогою підстановки (обмежень на різницю, таких, як ми отримали для суми: , немає).



, заміна , обчислимо і :

;

маємо: