Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
? оператора модели F, которой был определенном смысле близок к оператора объекта F0 т.е.
FF0(1)
(Заметим, что указанная близость весьма относительно, так как оператора F0 и F могут иметь разные структуру, могут быть сформулированы на разных языках и иметь разные число входов. Именно поэтому близость операторов непосредственно оценить трудно или просто невозможно, тем более что часто об операторе объекта F0 мало что известно.) В связи с этим естественно оценивать близость операторов по их реакциям на одно и тоже входное воздействие Х , т.е. по выходом объекта Y(t)=F0[X, E(t)] и модели YM=F(X). Степень близости этих реакций в каждый момент времени можно оценить, например, значением квадрата модуля разности векторов выхода:
,(2)
где векторов выхода модели.
В общем случае близость объекта и модели оценивается так называемой функцией невязки ?. Это скалярная функция двух векторных аргументов - выходов объекта и модели:
,(3)
которая обладает следующими свойствами:
- не отрицательна для любых Y(t) и YM (t), т.е.
?(Y(t), YM (t)) ? 0
- равно нулю при Y(t) ? YM (t), т.е.
?(Y(t), YM (t))=0;
- непрерывна и выпукла вниз по обоим аргументам, т.е.
?((1-?)Y1+?Y2, YM) ? (1-?)?(Y1, YM)+??(Y2, YM) ?(Y(1-?)YM1+?YM2) ? (1-?)?(Y, YM1)+??(Y, YM2)
где 0 ? ? ? 1.
Говоря проще, эта функция всегда лежит ниже отрезка прямой , соединяющей две любые точки (Y1, YM1) и (Y2, YM2), где Yi , YM i - произвольные векторы . Удовлетворить этим требованиям не сложно. Так, соотношение (2') соответствует им. Именно оно и будет чаще всего применяться в дальнейшим.
Теперь сформулируем задачу идентификации. Она заключается в том, чтобы построит такой оператор модели F, которой бы реагировал на возмущение Х аналогично реакции объекта У . Реакция оператора модели на вход Х имеет вид:
УМ=F(X)
Следовательно модельный оператор F должен быть таким, чтобы:
УМ ~ У
где ~ знак эквивалентности, т.е. выходы модели и объекта при одинаковых входных воздействиях Х должен быть эквивалентны Этого можно добиться, если ввести единую меру близости на всем интервале наблюдения, а не только в каждой точке, как (3).
Такой мерой в непрерывном случае (объект А=???0) может быть интеграл
Действительно, в соответствии с определениям функции ?(., .) величина Q выражает степень близости функций Y(t) и YM (t) в интервале 0 ? t ? T. Значение явно зависит от F:
и задача идентификации заключается в ее минимизации путем соответствующего выбора оператора модели F. Если по физическому смыслу задачи важность информации В в различные моменты времени не одинакова, то целесообразно введение переменного веса h(t)>0:
(5)
с естественным нормированием
(6)
Выбор функции h(t) определяется ценностью информации. Например, для стохастического непрерывного объекта (А=???0) при неравноточных наблюдениях, т.е. когда дисперсия ошибки наблюдения выхода зависит определённым образом от времени
,
где f(t) - заданная функция, вес h(t) должен изменяться следующим образом:
где, k - нормирующий член, обеспечивающий выполнение условия (6) . Это означает, что ценность информации обратно пропорционально уровняю дисперсии случайных помех.
Величину Q(F) часто называют невязкой выходов объекта и модели. Эта невязка является функционалом, зависящим от оператора модели F. По своей конструкции эта невязка неотрицательно и равно нулю при , т. е. при совпадение выходов объекта и модели на исследуемом интервале.
Если объект является статическим и непрерывным А=0??0 т. е. , F() есть функция то невязка (5) принимает вид:
Для дискретного объекта ( ) функционал невязки записывается в очевидной форме:
(7)
а статическим дискретный объект () имеет функционал невязки в виде:
где, - вес информация в i-й момент времени. Если объект стохастический и дискретный () и измерения , например, зашумлены случайной помехой с изменяющейся дисперсией ?2i(i=1, . . . , N), то вес следует определять как
hi=k/?2i,
где k - нормирующий член.
Таким образом степень несоответствия (степень невязки) операторов модели и объекта можно выразить в виде функционалов типов (5) и (7), зависящих явно от оператора модели F.
Естественно, процесс идентификации, т. е. процесс определения оператора модели, строит так, чтобы минимизировать указанную невязку, т. е. решать задачи минимизации функционала Q(F) по оператору F:
(8)
Эта символическая запись выражает следующую простую мысль: нужно минимизировать функционал Q(F), варьируя оператором (или в простейшим случае функцией ) F не произвольно , а в некотором определенном классе операторов (или функцией) ?. Это обозначается с отношение F ? , т. е. F принадлежит классу ?, где ? - заданный класс операторов или функций. Результатом процедуры минимизации является некоторый оператор (или функция) F* (не обязательно единственно), обладающий свойством:
(9)
т. е. невязка Q* на этом операторе минимально (точнее, не превышает всех возможных невязок, которые можно получить в классе ?).
Говоря еще проще, для идентификации в заданном классе надо найти оператор F, минимизирующий функционал невязки Q(F) на этом классе.
Утверждения, что и?/p>