Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
°ких систем, когда операторы переходов и выходов обладают свойствами однородности и аддитивности, вид уравнений (4) и (5) упрощается, что дает возможность аналитического решения или исследования известными методами с помощью вычислительных машин.
Построение математических моделей непрерывных линейных детерминированных систем в виде дифференциальных уравнений используется при анализе функционирования элементов и электрических цепей ВС.
Автоматы. Рассмотренные выше формализованные математические схемы применимы для систем, функционирующих в непрерывном времени. Системы, состояния которых определены в дискретные моменты времени получили название автоматов. Если за единицу времени выбран такт , то просто пишут: О, 1, 2, .... В каждый дискретный момент времени, за исключением в автомат поступает входной сигнал х (t), под действием которого автомат переходит в новое состояние в соответствии с функцией переходов
(6)
и выдает выходной сигнал, определяемый функцией выходов
(7)
Если автомат характеризуется конечными множествами состояний z, входных сигналов х и выходных сигналов у, он называется конечным автоматом. Функции переходов и выходов конечного автомата задаются таблицами, матрицами или графами.
Стохастические системы, функционирующие в дискретном времени, можно представлять вероятностными автоматами. Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а распределение вероятностей на множестве состояний, а функция выходов - распределение вероятностей на множестве выходных сигналов. Функционирование вероятностных автоматов изучается при помощи аппарата цепей Маркова. Для оценки характеристик систем, представляемых в виде автоматов, могут использоваться аналитические или имитационные методы.
Кроме приведенных математических схем для формализованного описания функционирования систем используются исчисление высказываний, тензорная алгебра, сети Петри, Е-сети и др..
Таким образом, построение математической модели предусматривает анализ концептуальной модели и исходных данных в целях выбора одной из подходящих формализованных схем, подбора необходимых множеств и конкретизации операторов. Если это не удается сделать для всей системы, то формализованные схемы могут быть применены для описания отдельных элементов, а вся система описывается с использованием программного или структурного подхода.
. Выбор метода моделирования
Аналитические методы. Разработанная математическая модель функционирования системы может быть исследована различными методами - аналитическими или имитационными. С помощью аналитических методов анализа можно провести наиболее полное исследование модели. В некоторых случаях наличие аналитической модели делает возможным применение математических методов оптимизации. Для использования аналитических методов необходимо математическую модель преобразовать к виду явных аналитических зависимостей между характеристиками и параметрами системы и внешних воздействий. Однако это удается лишь для сравнительно простых систем. Применение аналитических методов для более сложных систем связано с большей по сравнению с другими методами степенью упрощения реальности и абстрагирования. Поэтому аналитические методы исследования используются обычно для первоначальной грубой оценки характеристик всей системы или отдельных ее подсистем, а также на ранних стадиях проектирования систем, когда недостаточно информации для построения более точной модели. Они могут использоваться для анализа параллельных процессов в сложных системах.
Ряд аналитических моделей не поддается аналитическим решениям известными математическими методами. Для их исследования могут быть использованы численные методы. Они применимы к более широкому классу систем, для которых математическая модель представляется в виде системы уравнений, допускающей решение численными методами. Использование численных методов особенно эффективно с помощью быстродействующих ВС. Для исследования ВС, функционирование которых описывается марковскими процессами, разработано, например, программное средство для автоматизированного составления уравнений и их решения на ВС. Результатом исследования систем численными методами являются таблицы значений искомых величин для конечного набора значений параметров системы и нагрузки.
Если полученные уравнения не удается решить аналитическими или численными методами, то прибегают к качественным методам. Качественные методы позволяют в ряде случаев оценить асимптотические значения искомых величин, устойчивость, а также судить о поведении траектории системы в целом. Перечисленные свойства относятся к поведению отдельных траекторий. Рассматриваются и такие качественные свойства, которые характеризуют поведение совокупностей траекторий. Примером такого свойства является непрерывность, наличие которой говорит о том, что при малых изменениях параметров характеристики системы также мало изменяются. Следует отметить, что для сложных систем важность качественных методов возрастает.
Имитационные методы. Имитационное моделирование является наиболее универсальным методом исследования систем и количественной оценки характеристик их функционирования. При имитационном моделировании динамические процессы системы-оригинала подменяются про