Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
? является математика.
Формализуем сказанное. Будем обозначать причину буквой Х, а следствие-Y. Связь между ними запишем условно в виде
Y=F(X),
где F-правило преобразования причины Х в следствие Y. Это и есть модель. Назовем F оператором модели.
На рис.5 показано взаимодействие моделируемого объекта со средой.
Рис.5. Взаимодействие объекта со средой.
Это взаимодействие происходит по каналом Х иY. По каналу Х среда воздействует на объект, а по какому Y объект воздействует на среду.
Задача моделирования сводится к определению оператора F, связывающего вход и выход объекта.
Пусть x1,x2, ... ,xN - наблюдения входа объекта, y1,y2, ... yN -соответствующие им наблюдения его выхода в дискретные моменты времени 1,2, ... , N эти наблюдения связаны неизвестным оператором объекта F0 , т.е.
Yi=F0(xi) (i=1,2,...,N)
задача моделирования заключается в построении (синтезе) модельного оператора F, т.е. в получении оценки F0 по наблюдениям хi и yi. Естественно потребовать, чтобы F был близок к F0 в смысле некоторого критерия, т.е. F~F0.
Существенной особенностью познавательных моделей является отражения механизма объекта или явления в структуре оператора F, т.е. всех причинно - следственных связей, имеющихся у объекта и выявленных в процессе моделирования. При не учете этих связей познавательная сторона модели существенно пострадала бы, так как для познания необходимо представлять не только как, но и почему это происходит. Мы эти вопросы не будем затрагивать.
Другой тип моделирования, который мы будем изучать связан непосредственно с потребностями управления объектом и по отношению к управлению имеет вспомогательный характер. Действительно, чтобы управлять, нужно прежде всего знать, чем управляешь, т.е. иметь модель объекта, на которой можно разыгрывать последствия предполагаемого управления и выбрать наилучшее. Поэтому в процессе моделирования такого рода должна быть создана модель, которая прежде всего обязана удовлетворять потребностям управления.
Следует отметить, что такая модель, синтезированная специально для потребностей управления, может и не отражать внутренних механизмов явления, что совершенно необходимо для познавательной модели. Ей достаточно лишь констатировать наличие определенной формальной связи между входом и выходом объекта.
В связи с этим целесообразно выяснить, что следует подразумевать под понятием управление и какие требования оно накладывает на модель управляемого объекта, получаемую в процессе моделирования.
Под управлением будем понимать процесс такого целенаправленного воздействия на объект, в результате которого объект оказывается в определенном смысле ближе к выполнению поставленных целей , чем до управления. На рис.6. показана общая схема управления объектом.
Здесь Х - неуправляемая, но контролируемая составляющая;
U-управляемая составляющая; Y-информация о состоянии объекта, доступная управляющему устройству.
Для синтеза управления необходимо прежде всего определить цель Z, т.е. то, к чему должно стремиться управляющее устройство при воздействии на объект, каким должен быть объект с точки зрения управления. Однако, этого мало, необходимого еще иметь алгоритм управления А, который указывает, как достигнуть этой цели.
Таким образом управление реализуется четверкой
,
где U-управляющее воздействие; I= - информация о состоянии среды и объекта; А- алгоритм; Z-цель управления.
Цель Z определяет требования, выполнение которых обеспечивается и организацией управляющего воздействия U с помощью алгоритма А и сбором информации по каналу Y. Не зная, как X и U влияют на состояние Y, т.е. не имея модели Y=F(X,U), нельзя определить управление U, достаточно лишь констатировать наличие определенной формальной связи.
5. Классификация объектов моделирования
Задача моделирования, как задача построения оператора модели, отражающего качественные и количественные стороны объекта, может быть сформулирована и соответственно решаться по схеме, приведенной на рис 7. Исторически эти подходы возникли независимо друг от друга и в связи с решением различных задач. Классификационных задач, породивших эти методы, удобно произвести на основе понятий динамического и статического объектов.
Рис. 7. Классификация объектов моделирования.
Первыми и простейшими объектами, которые были подвергнуты процедуре модулирования, оказались статические детерминированные (не стохастические) объекты, т.е. регулярные функции, связывающие вход и выход объекта. Это обстоятельство и породило первый подход в теории моделирования, который известен в математическом анализе в виде теории приближения функций многочленами и ведет свое начало от работ П.Л. Чебышева. Это направление связано с представлением функции в виде разложения по некоторой системе функций (чаще всего по системе полиномов). В этой теории известны два направления - теория аппроксимации и теория интерполяции. Для идентификации стохастических объектов используются методы мате