Элективный курс "Подготовка к Единому государственному экзамену по математике" как одна из форм развития продуктивного мышления
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
иррациональность из знаменателя дроби можно так:
=,
где
Пример: Ответ:
) 1) -2-
Преобразование сложного корня (квадратного и кубического).
Выражение вида называют сложными квадратными корнями (радикалами).
Для их преобразования пользуются формулой
;где А>0, В>0 и
В правильности этой формулы легко убедится, если возвести обе части формулы в квадрат. Эта формула упрощает сложный радикал, если - точный квадрат.
Например:
)
)
На практике удобно пользоваться более простыми очевидными формулами:
где а?0, в?0
Рассмотрим примеры:
1)Упростить;
2)Упростить;
3)Упростить;
Для применения формулы представим данный корень в виде-
, тогда
Упражнения для самостоятельного решения:
Проверочная работа (На два варианта (а) и (б)).
Проверьте равенство.
а)
б)
Для упрощения сложных кубических корней, можно подкоренное выражение представить в виде куба двучленна. Например:
1)
)
Более сложные примеры:
№1 Упростить выражение.
Решение:
№2 Упростить выражение.
Решение:
==
Ответ: 3.
Некоторые приёмы упрощения иррациональных выражений.
1)Способ подстановки.
Данный метод значительно облегчает технику преобразований.
Рассмотрим примеры:
Пример №1
Упростить выражение.
Решение.
Положив и , получим и . Данное выражение принимает вид
Далее имеем
Делая обратную замену - имеем
Ответ: .
) Для упрощения ряда алгебраических выражений бывает полезно упростить не сами выражения, а их квадраты.
Пример №1.
Упростить
Решение:
Пусть А=
Область определения данного выражения
Ясно, что A>0 при x>2 A<0 при 1?x<2
Далее имеем
Откуда А=1 при х >2 и А=-1 при 1? х<2
Ответ: 1 если х >2.,-1 если 1? х <2
Тема 4. Решение рациональных уравнений и неравенств. (9 час.) Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители. Дробно-рациональное уравнение. Решение рациональных неравенств.
Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Форма контроля: проверка задач для самостоятельного решения, тестовая работа.
Рациональные уравнения
Определение. Основные приемы решения рациональных уравнений. Понятие равносильности преобразований уравнений.
Большое количество ошибок при решении задач данного раздела связано с неравносильными преобразованиями, следствием чего является приобретение или потеря решений.
Наиболее простыми рациональными уравнениями являются линейные и квадратные уравнения. Их решение можно записать в общем виде. Поэтому естественны попытки приводить более сложные уравнения к более простым.
Пример 1. Решить уравнение x4+x2-6 =0.
Пример 2. Решить уравнение (x2+x-1)(x2+x+1) = 0.
Пример 3. Решить уравнение x(x+1)(x+2)(x+3) = - .
Возвратные уравнения.
Определение. Методы решения. Применение теоремы Безу.
Уравнение вида
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 = 0
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если
an-k = an при k = 0, 1,…, n.
Рассмотрим возвратное уравнение четвертой степени вида
ax4+bx3+cx2+bx+a = 0,
где a, b, c - некоторые числа, причем а ? 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:
разделить левую и правую части уравнения на х2. При этом не происходит потери решения, так как х = 0 не является корнем исходного уравнения при а ? 0;
группировкой привести полученное уравнение к виду
a(x2+1/x2)+b(x+1/x)+c = 0;
ввести новую переменную t = x+1/x, тогда выполнено
t2 = x2+2+1/x2, то есть x2+1/x2 = t2-2;
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:
at2+bt+c-2a = 0;
- решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Для возвратных уравнений более высоких степеней вены следующие утверждения.
Возвратное уравнение четной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой x+1/x = t.
Возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х = -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен х+1, приводится к возвратному уравнению четной степени.
Теорема о делении многочлена с остатком. Для любых двух многочленов P(x) и Q(x) существуют единственные многочлены F(x) и R(x) такие, что выполняются следующие условия
) P(x) = Q(x)*F(x)+R(x);
) степень многочлена R(x) меньше степени многочлена делителя.
Следствия из теоремы о делимости многочленов.
Следствие 1 (Теорема Безу). Если многочлен Р(х) разделить на двучлен (х-а), то остатком от деления будет число, равное значению многочлена Р(х) при х = а, т. е. Р(а):
P(x) = (x-a)Q(x)+P(a).
Следствие 2. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на двучлен (х-а) нацело.
Следствие 3. Если многочлен Р(х) с целыми коэффициенты имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.
Пример 1. Решить уравнение x4-5x3+6x2-x+1 = 0.