Элективный курс "Подготовка к Единому государственному экзамену по математике" как одна из форм развития продуктивного мышления
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Пример 2. Решить уравнение x3-x2-9x-6 = 0.
Рациональные неравенства.
Определение. Повторение общих правил решения линейных и квадратичных неравенств к решению более сложных неравенств. Графический метод решения, метод интервалов. Использование применения равносильности неравенств. Детальное рассмотрение частных ошибок при решении неравенств.
Для решения рациональных неравенств степеней, больших второй, и дробно-рациональных неравенств лучше использовать метод интервалов. Идея метода интервалов для решения неравенств вида Р(х) > 0, где Р(х) - заданный многочлен, заключается в следующем. На числовой оси выделяются интервалы, на которых функция, стоящая в левой части неравенства, имеет постоянный знак и отмечаются точки, в которых рассматриваемое выражение равно нулю. На каждом из получившихся интервалов ставят знак левой части на данном интервале и записывают ответ.
Пример 1. Решить неравенство -x2-2x+3 > 0.
Пример 2. Решить неравенство (2x+1)4(2-x)(x-1)4(x-3)7(3x-2) < 0.
Пример 3. Решить неравенство (x2-11x2+39x-45)/(x+2) ? 0.
Пример 4. Решить неравенство 1/x < 2.
Уравнения с модулем.
Повторение свойств модуля и решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины. Выявление типичных ошибок при решении уравнений с модулем.
Уравнения вида |f(x)| = g(x) можно решать двумя способами. Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к совокупности двух систем
Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной системе
Первый способ рациональнее применять в случае сложного выражения для функции g(x) и не очень сложного - для функции f(x); второй способ, наоборот, удобнее использовать, если выражение для функции g(x) не сложно.
Пример 1. Решить уравнение |x+2| = 6-2x.
Пример 2. Решить уравнение |x2-2x-1| = 2x+2.
Пример 3. Решить уравнение |3x+4|+2|x-3| = 16.
Рациональные неравенства с модулем
Повторение свойств модуля и решение неравенств, содержащую неизвестную под знаком абсолютной величины.
Решение неравенств с модулем строится аналогично решению соответствующих уравнений. Лишь на этапе освобождения от модуля решается, естественно, не уравнение, а неравенство.
Пример 1. Решить неравенство |x-4|+|x+1| < 7.
Пример 2. Решить неравенство |x2-2x| ? x-1.
Пример 3. Решить неравенство 2|x2-1| > x+1.
Заключительное занятие
Обобщение полученных знаний. Итоговое тестирование с целью проверки прочности полученных знаний и умений.
Вариант 1 (вариант 2).
1.Решите уравнение 3x2-7x+4 = 0 (3x2-7x+6 = 0);
2.Решите неравенство 8x2+11x+4 > 0 (5x2+6x+2 > 0);
3.При каких значениях параметра а уравнение (a+4)x2+6x-1 = 0 ((a+2)x2-3x+1 = 0) имеет единственное решение?
4.При каких значениях параметра а уравнение a(a+3)x2+(2a+6)x-3a-9 = 0 имеет более одного корня? (При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения 3x2+30x+a = 0 равна 40?)
5.При каких значениях параметра а уравнения х2-х+3а = 0 и ах2-х+3 = 0 (х2-3а3/2х+а2 = 0 и х2/а2-3vах+а2 = 0) имеют хотя бы один общий корень?
6.Пусть х1 и х2 - корни уравнения 3х2-ах+2а-1 = 0. Вычислите х13+х23. (При каких значениях параметра k уравнение x2+6x+k = 0 не имеет положительных корней?)
7.Решите уравнения: а) 1/х = (3-2х)/(х2+х-4); б) (х2-3х+2)/(3-х) = 2-2х (а) 1-25/х2 = 24/х; б) (х2-7х+6)/(3х-18) = 0).
8.Решите уравнение |3х-1| = х+2 (х2+|х-1| = 1).
Тема 5. Решение иррациональных уравнений и неравенств. (10 час.) Иррациональные уравнения. Метод равносильности. Иррациональные неравенства. Алгоритм решения неравенств методом интервалов.
Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; тестовая работа.
Определение. Иррациональным называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала.
Например, ; .
В элементарной математике иррациональные уравнения рассматриваются в множестве действительных чисел.
Сначала, разберём наиболее часто применяемые методы решения иррациональных алгебраических уравнений, так называемые стандартные методы.
К ним отнесём два метода:
) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
) метод введения новых переменных.
.Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;
б) возводят обе части полученного уравнения в n-ю степень:;
в) учитывая, что получают уравнение f(x)=q(x);
г) решают уравнение и делают проверку,так как возведение обеих частей уравнения
в одну и ту же чётную степень может привести к появлению посторонних корней.
В множестве действительных чисел возведение обеих уравнения в нечётную степень приводит к равносильному уравнению и поэтому проверка не требуется.
Пример №1. Решить уравнение .
Решение: Возведём обе части уравнения в шестую степень,
получим Х-3=64, откуда Х=67.
Проверка. Подставим 67 вместо Х в данное уравнение, получим, то есть 2=2 - верное равенство.
Ответ: Х=67.
Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы, то есть
При решении иррациональных уравнений следует иметь в виду, что не принадлежащие ОДЗ значения неизвестного всегда посторонние для решаемого уравнения; их можно отбросить без проверки по условию.
Примеры.
№1. Решить уравнение
Решение: ; ; ;
Х1= - 2 - не удовлетворяет условию х.
Ответ: х=3.
№2. Решить уравнение .
Решение: