Элективный курс "Подготовка к Единому государственному экзамену по математике" как одна из форм развития продуктивного мышления

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

µй, принадлежащих промежутку. Способы решения тригонометрических уравнений.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач для самостоятельного решения, тестовая работа.

Уравнения, сводимые к алгебраическим.

Примеры :

Решить уравнения

а) 2sin2x - 7cosx - 5 = 0

 

Решение.

 

 

б) cos2x + 3sinx = 2.

Решение.

 

 

Однородные уравнения

Решить уравнения.

 

а) cos2x + sinx cosx = 0

 

В условии не указано, что cosx?0, а потому делить уравнение на cos2x нельзя. Но можно утверждать, что sinx 0, так как в противном случае cosx = 0, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2x, получим:

 

 

б) 4sin2x+2sin х cosx = 3.

 

Решение.

Умножим правую часть уравнения на sin2x + cos2x. Получим:

 

sin2 х + 2 sinx cos х =3 sin2x +cos2x,

sin2 х +2 sinx cos x - 3cos2x = 0.

 

Очевидно, что cos x ? 0. Разделим на cos2x, получим:

 

 

Уравнения, решаемые разложением на множители

Решить уравнения.

 

а) sin2x- sin х= 0.

 

Решение.

 

б) sin4x -cos2x = 0

 

Решение.

 

sin2x cos2x -cos2x = 0x (2 sin2x -cos2x) =0

) cos2x =0,

2x=p /2 +pn, nZ.=p /4 +n p /2, nZ

2) 2 sin2x -cos2x =0

tg2x -1 =0x=1/2

x= arctg1/2 + kp,k Z.

x=1/2 arctg1/2 +kp /2, kZ.

Ответ: x=p /4 +n p /2, x=1/2 arctg1/2 +kp /2, n,kZ.

 

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций

Решить уравнения

 

а) sinx + sin3x =4 cos3x

 

Решение.

 

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Решить уравнения.

 

а) 2 sin2x +cos4x = 0.

 

Решение.

 

 

б) sin2x - sin22x + sin23x =1/2.

 

Решение.

 

 

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Решить уравнения.

 

а) 3sinx + 4 cosx = 2

 

Решение.

a =3, b= 4, c=2, a2 + b2 =25, c2 =4, a2+b2 > c2, следовательно уравнение имеет решение.

 

sin (х +j) = 2,

sin (х +j) = 2/5, откуда получим

х +j = (-1) n arcsin 2/5 +pn, nZ

х = (-1) n arcsin 2/5 +pn- j,nZ

j = arctg 4/ 3. По четырехзначной математической таблице найдем

arcsin 2/5 23 35

j = arctg 4/ 3 53 08

х = (-1) n 23 35+180n- 53 08,nZ

 

Ответ:х = (-1) n 23 35+180n- 53 08,nZ

 

б) 3sinx - 4 cosx = 5

 

Решение.

a =3, b= - 4, c=5, 32 + 42 = 52,т.е. a2+b2 = c2 ,значит уравнение имеет решение.

 

Решить уравнения.

 

а) 4 arctg(х2 -3х -3 )-p = 0.

 

Решение.arctg(х2 -3х -3) =p/4

Так как значения арктангенса находятся в промежутке (-p/2 ; p/2 ), то в этом случае из равенства углов следует равенство функций. Пользуясь сделанными замечаниями, получим:

 

х2 -3х -3 = 1

х2 -3х -4 = 0

т.е. х1= -1 и х2 =4.

 

Ответ:. х1= -1,х2 =4.

 

б) 6 arcsin (х2 -6х + 8,5) =p

 

Решение.arcsin (х2 -6х + 8,5) =p/6,

 

х2 -6х + 8,5=0,5

х2 -6х + 8=0, откуда х1=2 и х2= 4.

Ответ: х1=2,х2= 4.

 

Тема 3. Преобразование рациональных и иррациональных выражений (9 час.) Свойства степени с целым показателем. Разложение многочлена на множители. Сокращение дроби. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Преобразование иррациональных выражений.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; тестовая работа.

Исключение иррациональности из числителя или знаменателя дробного выражения

Вычисление дробных выражений, содержащих радикалы, часто облегчается, если предварительно уничтожить иррациональность в числителе или знаменателе, то есть преобразовать дробь так, чтобы в числителе или знаменателе не содержались радикалы.

Чтобы исключить иррациональность из знаменателя (числителя) дроби, достаточно числитель и знаменатель умножить на так называемый дополнительный множитель.

В общем случае трудно указать универсальный способ нахождения дополнительного множителя для произвольного иррационального выражения.

В таблице приведены дополнительные множители для некоторых простейших иррациональных выражений, полученных с помощью формул сокращённого умножения.

 

Иррациональное алгебраическое выражениеДополнительный множитель для иррационального выраженияРациональное алгебраическое выражение (произведение ) xy x - y x - y

(n - нечетное) x - y

Примеры

Исключить иррациональность в знаменатели дроби:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

 

Решение.

1) = ;

) =;

) = ;

) = ;

) =

 

Рассмотрим более сложные примеры.

С дробью вида поступают так.

Умножают знаменатель на и получают

 

()() =

 

Затем это выражение умножают на

 

 

Отсюда видно, что дополнительным множителем для данной дроби может быть произведение

 

()().

Следовательно,

 

=где

 

Аналогично можно исключить иррациональность из знаменателей дробей вида

 

и

 

( предлагается учащимся самостоятельно найти дополнительный множитель для данного вида дробей)

Примеры.

Исключить иррациональность в знаменателе дроби:

 

) ; 2) .

 

Решение.

 

) =

)

 

Обозначим

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ), получаем

 

=

 

В результате обратной замены имеем

 

.

 

Если знаменатель дроби - сумма четырёх квадратных корней

,причём ab = cd, то исключить