Элективный курс "Подготовка к Единому государственному экзамену по математике" как одна из форм развития продуктивного мышления
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µй, принадлежащих промежутку. Способы решения тригонометрических уравнений.
Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Форма контроля: проверка задач для самостоятельного решения, тестовая работа.
Уравнения, сводимые к алгебраическим.
Примеры :
Решить уравнения
а) 2sin2x - 7cosx - 5 = 0
Решение.
б) cos2x + 3sinx = 2.
Решение.
Однородные уравнения
Решить уравнения.
а) cos2x + sinx cosx = 0
В условии не указано, что cosx?0, а потому делить уравнение на cos2x нельзя. Но можно утверждать, что sinx 0, так как в противном случае cosx = 0, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2x, получим:
б) 4sin2x+2sin х cosx = 3.
Решение.
Умножим правую часть уравнения на sin2x + cos2x. Получим:
sin2 х + 2 sinx cos х =3 sin2x +cos2x,
sin2 х +2 sinx cos x - 3cos2x = 0.
Очевидно, что cos x ? 0. Разделим на cos2x, получим:
Уравнения, решаемые разложением на множители
Решить уравнения.
а) sin2x- sin х= 0.
Решение.
б) sin4x -cos2x = 0
Решение.
sin2x cos2x -cos2x = 0x (2 sin2x -cos2x) =0
) cos2x =0,
2x=p /2 +pn, nZ.=p /4 +n p /2, nZ
2) 2 sin2x -cos2x =0
tg2x -1 =0x=1/2
x= arctg1/2 + kp,k Z.
x=1/2 arctg1/2 +kp /2, kZ.
Ответ: x=p /4 +n p /2, x=1/2 arctg1/2 +kp /2, n,kZ.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций
Решить уравнения
а) sinx + sin3x =4 cos3x
Решение.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Решить уравнения.
а) 2 sin2x +cos4x = 0.
Решение.
б) sin2x - sin22x + sin23x =1/2.
Решение.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
Решить уравнения.
а) 3sinx + 4 cosx = 2
Решение.
a =3, b= 4, c=2, a2 + b2 =25, c2 =4, a2+b2 > c2, следовательно уравнение имеет решение.
sin (х +j) = 2,
sin (х +j) = 2/5, откуда получим
х +j = (-1) n arcsin 2/5 +pn, nZ
х = (-1) n arcsin 2/5 +pn- j,nZ
j = arctg 4/ 3. По четырехзначной математической таблице найдем
arcsin 2/5 23 35
j = arctg 4/ 3 53 08
х = (-1) n 23 35+180n- 53 08,nZ
Ответ:х = (-1) n 23 35+180n- 53 08,nZ
б) 3sinx - 4 cosx = 5
Решение.
a =3, b= - 4, c=5, 32 + 42 = 52,т.е. a2+b2 = c2 ,значит уравнение имеет решение.
Решить уравнения.
а) 4 arctg(х2 -3х -3 )-p = 0.
Решение.arctg(х2 -3х -3) =p/4
Так как значения арктангенса находятся в промежутке (-p/2 ; p/2 ), то в этом случае из равенства углов следует равенство функций. Пользуясь сделанными замечаниями, получим:
х2 -3х -3 = 1
х2 -3х -4 = 0
т.е. х1= -1 и х2 =4.
Ответ:. х1= -1,х2 =4.
б) 6 arcsin (х2 -6х + 8,5) =p
Решение.arcsin (х2 -6х + 8,5) =p/6,
х2 -6х + 8,5=0,5
х2 -6х + 8=0, откуда х1=2 и х2= 4.
Ответ: х1=2,х2= 4.
Тема 3. Преобразование рациональных и иррациональных выражений (9 час.) Свойства степени с целым показателем. Разложение многочлена на множители. Сокращение дроби. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Преобразование иррациональных выражений.
Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; тестовая работа.
Исключение иррациональности из числителя или знаменателя дробного выражения
Вычисление дробных выражений, содержащих радикалы, часто облегчается, если предварительно уничтожить иррациональность в числителе или знаменателе, то есть преобразовать дробь так, чтобы в числителе или знаменателе не содержались радикалы.
Чтобы исключить иррациональность из знаменателя (числителя) дроби, достаточно числитель и знаменатель умножить на так называемый дополнительный множитель.
В общем случае трудно указать универсальный способ нахождения дополнительного множителя для произвольного иррационального выражения.
В таблице приведены дополнительные множители для некоторых простейших иррациональных выражений, полученных с помощью формул сокращённого умножения.
Иррациональное алгебраическое выражениеДополнительный множитель для иррационального выраженияРациональное алгебраическое выражение (произведение ) xy x - y x - y
(n - нечетное) x - y
Примеры
Исключить иррациональность в знаменатели дроби:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Решение.
1) = ;
) =;
) = ;
) = ;
) =
Рассмотрим более сложные примеры.
С дробью вида поступают так.
Умножают знаменатель на и получают
()() =
Затем это выражение умножают на
Отсюда видно, что дополнительным множителем для данной дроби может быть произведение
()().
Следовательно,
=где
Аналогично можно исключить иррациональность из знаменателей дробей вида
и
( предлагается учащимся самостоятельно найти дополнительный множитель для данного вида дробей)
Примеры.
Исключить иррациональность в знаменателе дроби:
) ; 2) .
Решение.
) =
)
Обозначим
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ), получаем
=
В результате обратной замены имеем
.
Если знаменатель дроби - сумма четырёх квадратных корней
,причём ab = cd, то исключить