Совершенствование методики обучения решению геометрических задач на построение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ие анализа: выделяется по условию задачи искомая точка; выясняется, каким условиям она должна удовлетворять, а значит, каким геометрическим местам точек она должна принадлежать (или геометрическому месту точек и данной фигуре); делается вывод: искомая точка - точка пересечения указанных геометрических мест точек. Учитель должен подвести учащихся к самостоятельным выводам и алгоритму построения искомой точки. Для этого можно задать следующие вопросы:
. Каким условиям удовлетворяет искомая точка? [ 1) она одинаково удалена от т. А и В; 2) она находится на заданном расстоянии от точки С].
. Что является ГМТ, удовлетворяющих первому свойству? (прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину).
. Что является ГМТ, удовлетворяющих второму свойству? (окружность данного радиуса с центром в точке С).
. Где будет находиться искомая точка Х? (на пересечении этих ГМТ).
Рассмотрим еще несколько задач, которые можно предложить для закрепления пройденного материала.
. На данной прямой найдите точку. Которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.
В задаче даны прямые а, m, расстояние h (рис. 26). Искомая точка должна удовлетворять двум условиям: 1) лежать на прямой m (прямая дана); 2) находиться на прямой а на данном расстоянии, которое обозначим через h. Геометрическим местом точек, находящихся на прямой а на расстоянии h, являются две прямые b и с, параллельные а и отстоящие от а на расстоянии h. Построим эти прямые. Искомая точка должна быть точкой пересечения прямых b или с с прямой m. На нашем рисунке две точки, удовлетворяющие этим условиям: А и В. (Если а||m, то могут представиться два случая: прямая m не пересекается с b и с и задача не имеет решения; прямая m совпадает с прямой b или прямой с, в этом случае любая точка прямой m является решением.)
. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек.
Искомая точка должна удовлетворять двум условиям: 1) равноудаленную от точек А и В, т.е. лежит на серединном перпендикуляре m к отрезку АВ; 2) лежит на данной прямой а. значит искомая точка Х есть точка пересечения прямых а и m (рис. 27). (Задача может не иметь решения, иметь бесконечное множество решений.)
. Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них - в данной точке.
Предположим, что задача решена.
Пусть точка О - центр искомой окружности (рис. 28). Проведем ОА и ОС - радиусы окружности. прямоугольные треугольники АВО и СВО равны по катету и гипотенузе (АО=СО=R, ВО - общая). Из равенства треугольников следует, что АВО=СВО, т.е. ВО - биссектриса угла АВС.
Построение. Проведем биссектрису АВС и перпендикуляр к стороне ВА, проходящий через точку А. Точка О пересечения биссектрисы и перпендикуляра является центром искомой окружности
угол отрезок треугольник геометрический
4. Построить треугольник АВС по периметру р, углу В, равному , и высоте h, опущенной из вершины А.
Пусть задача решена и АВС построен (рис. 29). Отложив на прямой ВС отрезки DВ=АВ и СЕ=АС, получим равнобедренные треугольники АВD и АСЕ.
Исходя из приведенных выше рассуждений построение можно осуществить в следующей последовательности:
1)Проводим прямую и на ней откладываем отрезок DE=р.
2)На расстоянии h от прямой DE проводим прямую , параллельную DE.
) С вершиной в точке D строим угол АDЕ, равный . Точка А - одна из вершин искомого треугольника.
4)Проводим серединные перпендикуляры к отрезкам AD и АЕ. Точки В и С пересечения этих серединных перпендикуляров с прямой DE - две другие вершины искомого треугольника.
Решение задач на построение с использованием свойств движений
Тема Движение, представленная в учебниках по геометрии для основной школы, содержит немного задач на применение преобразований фигур. Однако по данной теме можно найти интересные геометрические задачи. Они могут быть разнообразны и по уровню сложности, и по учебному материалу, необходимому для решения. Это разнообразие можно с успехом использовать в ходе повторения темы Движение. Опишем один урок повторения. Он начинается с того, что учащиеся повторяют определения и построения, относящиеся к центральной симметрии, осевой симметрии, повороту, параллельному переносу. Для этого предлагаются следующие задания; которые выполняются у доски:
1)Построить отрезок, симметричный относительно прямой; точки.
2)Выполнить параллельный перенос треугольника на заданный вектор.
)Построить прямую, которая получается из заданной прямой поворотом вокруг точки О на угол 80 по часовой стрелке.
После повторения теоретической части предлагаются задачи на построение, которые предлагается решать учащимися у доски.
Задача1. Построить параллелограмм по двум противоположным вершинам, лежащим на сторонах данного четырехугольника, причем остальные вершины параллелограмма также должны принадлежать сторонам данного четырехугольника.
Решение. 1. Анализ. Пусть искомый параллелограмм построен. На рис. 30а, это параллелограмм АВСD, который вписан в данный четырехугольник LMNK, точки В и D - данные.
Проанализируем, что можно предпринять, чтобы стала видна возможность построения. Пока видно только одно: можно провести диагонали. Проводим диагонали BD и СА ( рис. 30б) и тут же замечаем, что точка О их пересечения является центром симметрии параллелограмма. А это значит, что она лежит на пересечении отрезка ML с образом отрезка KN при симме?/p>