Совершенствование методики обучения решению геометрических задач на построение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ужность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (Рис. 2, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ - искомый.
Рассмотрим треугольники АВС и ОDЕ. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а ОD и ОЕ - радиусами окружности с центром О. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то АВ=ОD , АС=ОЕ. Также по построению ВС= DЕ. Следовательно, DАВС=D ОDЕ по трем сторонам. Поэтому DОЕ=ВАС, т.е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.
Рис. 2
. Построение биссектрисы данного угла
Задача. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Она пересечет стороны угла в точках В и С. Затем проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке 3 изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках. Ту из этих точек, которая лежит внутри угла ВАС, обозначим буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла.
Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трем сторонам. В самом деле, АЕ - общая сторона; АС и АВ равны, как радиусы одной и той окружности; СЕ=ВЕ по построению. Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что САЕ=ВАЕ, т.е. луч АЕ - биссектриса данного угла.
Рис. 3
. Построение середины отрезка
Задача. Построить середину данного отрезка.
Решение. Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ (рис. 4). Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и искомая середина отрезка АВ.
В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам, поэтому 1=2.
Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т.е. точка О - середина отрезка АВ.
4. Построение перпендикулярных прямых
Задача. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.
Решение. Возможны два случая:1) точка О лежит на прямой а; 2) точка О не лежит на прямой а.
Рассмотрим первый случай (рис. 5). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает рямую а в двух точках: А и В. из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С - точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С.
Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим построение и доказательство
для второго случая (рис. 6).
Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и В - точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и О. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО. Треугольники АОВ и АОВ равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу ОАС. А тогда треугольники ОАС и ОАС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС - перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.
Построение треугольника по трем элементам
Задача 1. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Решение. Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить. Даны отрезки РQ, РQ и угол hk (рис. 7а). Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам РQ и РQ, а угол А между этими сторонами равен данному углу hk.
Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку РQ (рис. 7б). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk. На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку РQ, и проведем отрезок ВС. Треугольник АВС - искомый.
В самом деле, по построению АВ= РQ, АС= РQ, А=hk. описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках РQ, РQ и неразвернутом угле hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить , что данная задача имеет единственное решение.
Задача 2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Решение. Дан отрезок КМ и углы mp и rs (рис.8а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить такой треугольник АВС, у которого сторона АВ, равна отрезку КМ, а углы А и В равны соответственно углам mp и rs.
Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку КМ (рис. 8б). Затем построим угол ВАN, равный данному углу mp. Построим угол АВН равный углу rs. Обозначим точку пересечения АN и BH как С. Треугольник АВС - искомый.
В самом деле, по построению КМ=АВ, ВАN=mp, АВН=rs.
Описанный ход построения показывает, что при любом данном отрезке КМ и условии mp+rs<180 данный треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать пр?/p>