Geum.ru

Совершенствование методики обучения решению геометрических задач на построение

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

  1. Движения
  2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия)
  3. Параллельный перенос
  4. Поворот
  5. Центральная симметрия
  6. Подобие
  7. Гомотетия

Движение

Движением называется отображение плоскости на себя при котором сохраняются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

  1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Тогда выполняются равенства'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)

 

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

<AC+BC<AB+BC<AB+AC

 

но из равенств (1) следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек A', B', C' следовательно точки A', B', C' должны быть вершинами треугольника, следовательно точки A', B', C' не должны лежать на одной прямой.

. Отрезок движение переводится в отрезок.

  1. При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.
  2. Треугольник движением переводится в треугольник.
  3. Движение сохраняет величины углов.
  4. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.
  5. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.
  6. Композиция двух движений также является движением.

Используя определение движения можно дать такое определение равенства фигур:

Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

Виды движений

На плоскости существуют четыре типа движений:

  1. Параллельный перенос.
  2. Осевая симметрия
  3. Поворот вокруг точки
  4. Центральная симметрия

Рассмотрим подробнее каждый вид.

 

Симметрия относительно прямой

Определение. Симметрией S относительно прямой называется преобразование плоскости, при котором образом точки А является такая точка А' (этой же плоскости), что: 1) АА'; 2) точка А = АА' - середина отрезка АА' (рис. 13)

 

 

Прямая называется осью симметрии. Если точка К, то К'= К, т. е. каждая точка, принадлежащая , является двойной точкой преобразования симметрии; других точек плоскости, обладающих этим свойством, нет. Докажем с помощью метода координат, что симметрия относительно прямой: 1) преобразует прямую в прямую; 2) сохраняет расстояние между точками.

Примем ось симметрии за ось ОХ прямоугольной декартовой системы координат. Тогда образом точки А(х; у) при этой симметрии служит точка А'(х; -у) (рис. 14).

 

 

Если прямая g определяется уравнением ах+ by + с= 0, то образом этой прямой будет множество точек {(х'; у')}, где х = х, у' = -у, определяемое уравнением ах - bу' + с = 0, т. е. некоторая прямая g'.

Пусть А (х; y), В(х; y) - две произвольные точки плоскости, а точки А' (х; -y), В' (х; -y) - их образы. Тогда

 

А'В'= .

 

Определение. Если при симметрии относительно прямой некоторая фигура F отображается на себя, то прямая называется осью симметрии этой фигуры.

Так каждый диаметр окружности является осью симметрии этой окружности; каждая прямая, перпендикулярная данной прямой, является осью симметрии этой прямой; каждая высота правильного треугольника является его осью симметрии.

Параллельный перенос

Определение. Пусть - некоторый вектор плоскости. Преобразование, при котором каждой точке А плоскости ставится в соответствие такая точка А' этой же плоскости, что АА' =, называется параллельным переносом и обозначается: Т или же .

При параллельном переносе: 1) прямая отображается на параллельную ей прямую; 2) сохраняются расстояния между точками. Докажем это.

Если А' (х'; у') - образ точки А (х; у), то по определению, АА' = у. Но вектор АА' имеет при наших обозначениях координаты х' - x и у' - у. Следовательно, если = (m; n), то х' - х = m, у' - у = n. Значит, координаты х', у' образа выражаются через координаты х, у прообраза при параллельном переносе = (m; n) следующими формулами:

 

 

Пусть g - некоторая прямая, заданная уравнением ax + bу + с = 0. Подставляя в это уравнение х' - m вместо х и у' - n вместо у, получим:

 

а (х' - m) + b(y' - n) + с = 0.

 

Следовательно, координаты x', y' связаны зависимостью, выражаемой уравнением первой степени:

 

ax' + by' + (с - am - bn) = 0.

 

Это и означает, что множество образов точек прямой g есть также некоторая прямая g'. При этом коэффициенты при переменных в уравнениях прямых соответственно равны, так что прямые g и g'