Совершенствование методики обучения решению геометрических задач на построение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
параллельны.
Если А (х; y), В (х; y) -две произвольные точки и А'(х'; y') и В'(х'; y') - их образы, то
х' =x + m, y'= y + n, х' =x + m, y'= y + n, так что
А'В'= .
Поворот
Определение. Пусть заданы точка О - центр поворота и некоторый ориентированный угол а. Тогда поворотом вокруг точки О на угол называется преобразование, при котором каждой точке А плоскости ставится в соответствие такая точка А' этой плоскости, что: 1) ОА'=ОА; 2) угол АОМ конгруэнтен углу и ориентирован так же, как угол . Поворот на угол обозначается R. С помощью метода координат можно убедиться, что при повороте прямая отображается на прямую и сохраняются расстояния между точками.
Выберем начало координат прямоугольной декартовой системы в центре поворота (рис. 11) и ориентируем угол () так же, как данный угол .
Пусть А (х; у) А' (х'; у'). Если обозначить угол (,) через Р, то (рис. 15) угол (i, OA') будет иметь такую же величину, как и угол +. Поэтому
х' = ОА' =ОА'cos (+) = ОА' (cos cos - sin sin ).
Аналогично
y' = ОА' =ОА' sin (+) = ОА' (sincos + cossin).
А так как ОАcos =х, ОАsin=y, то
(2)
Решая уравнение системы (2) относительно х и y получим:
Значит, образом прямой ах+by+c=0 будет фигура, определяемая уравнением
Нетрудно проверить, что если при повороте АА', ВВ', то А'В'=АВ.
Центральная симметрия
Определение. Поворот вокруг точки О на угол, величина которого равна 180, называют симметрией относительно точки О или центральной симметрией. Точку О называют центром симметрии.
Ясно, что в этом преобразовании центр симметрии - точка О, а также точки А и А' (образ точки А) лежат на одной прямой (рис. 16) и ОА =OА'.
Определение. Если какая-либо фигура при симметрии относительно точки О отображается на себя, то точка О называется центром симметрии этой фигуры.
Так, центр окружности является одновременно и ее центром симметрии, точка пересечения диагоналей параллелограмма - центром симметрии этого параллелограмма.
Подобие
Определение. Преобразование плоскости называется подобием, если для любых двух точек А и В плоскости и их образов А' и В' имеет место соотношение:
А'B'=kAB, где k - положительное число, называемое коэффициентом подобия,
Определение. Фигура Ф называется подобной фигуре Ф' (Ф ~ Ф'), если существует преобразование подобия, при котором фигура Ф преобразуется в фигуру Ф'.
Отметим некоторые важнейшие свойства преобразования подобия.
. Преобразование подобия сохраняет коллинеарность точек, а также порядок расположения точек на прямой.
Действительно, если, например, точка В лежит между точками А и С, то AC=AB+BC. При этом, согласно определению подобия, для образов А', В', С' точек А, В, С мы получим следующее соотношение:
A'C'=kAC=k(AB+BC)=kAB+kBC=A'B'+B'C'.
Соотношение A'C'=A'B'+B'C' показывает, что точки A', B', C' лежат на одной прямой, причем точка В' лежит между точками А' и С'.
Из сохранения порядка точек вытекает также сохранение сорасположенности или противорасположенности двух точек относительно некоторой прямой.
. Точки, не лежащие на одной прямой, преобразуются в точки, не лежащие на одной прямой. Действительно, в противном случае при обратном преобразовании нарушалась бы коллинеарность точек.
Из сказанного вытекает, что:
. Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок прямой - в отрезок, луч - в луч, угол - в угол, многоугольник - в одноименный многоугольник, окружность - в окружность.
. Преобразование подобия сохраняет величину угла, т.е. является конформным преобразованием. В частности, при преобразовании подобия сохраняется перпендикулярность прямых.
. При подобии многоугольник преобразуется в одноименный ему многоугольник, углы которого конгруэнтны соответственным углам, а стороны пропорциональны соответственным сторонам данного многоугольника.
Докажем теперь теорему существования подобия.
Теорема. Если стороны треугольника А'В'С' пропорциональны соответственным сторонам треугольника АВС, то существует и притом единственное преобразование подобия, преобразующее вершины А, В, С треугольника АВС соответственно в вершины А', В', С' треугольника А'В'С'.
. Доказательство существования
Пусть АВС и А'В'С' - два треугольника, причем
A'B' : AB = A'C' : AC = B'C' : BC|= k.
Построим (рис. 17) на луче А'В' такую точку В", что A'B''=AB, и на луче А'С' такую точку С'', что A'C''=AC. Углы треугольника А'В'С' имеют те же величины, что и соответственные углы треугольника АВС. В частности, В'А'С'=ВАС. А так как углы В'А'С' и В''А'С'' совпадают, то В''А'С''=ВАС.
Из соотношений A'B''=AB, A'C''=AC и В''А'С'=ВАС следует, как известно, что B''C''=BC.
Из соотношений A'B''=AB, A'C''=AC, B''C''=BC следует, что существует перемещение L преобразующее точки А, В, С, соответственно в точки А', В'', С''.
. Доказательство единственности
Если точка М на прямой АВ, то точка М' - ее образ в подобии - однозначно определяется тем, что 1) М' А'В', 2)A'M'=kAM, 3) точки А', В', М' располагаются на прямой на прямой АВ.
Если же МАВ, то ее образ однозначно определяется следующими условиями: 1) В'А'М'=ВАМ, 2) A'M'=kAM, 3) точка М' сорасположена или противорасположена с точкой С' относительно прямой А'В' соответственно тому, сорасположена ли или противорасположена точка М с точкой С относительно прямой АВ.
Гомотетия
Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом k0 (Н) называется отображение плоскости на себя, при котором образом произвольной точки М является такая точка М', что =k.
Исходя из этого определения, можно установить ряд свойств гомотетии. Оста?/p>