Совершенствование методики обучения решению геометрических задач на построение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
еляют форму построенных треугольников?
Назовите подобные треугольники на рис.35.
Известны следующие элементы треугольника: а) углы в 75и 25; б) высота 1,5 см; в) углы в 75 и 25, высота 1,5 см. какие из этих данных определяют единственную фигуру на рис.35?
Подобны ли треугольники АВС и АВС на рис.36, если АСАС? если они подобны, то каков их коэффициент подобия?
Какие углы определяют форму треугольников на рис.36?
Можно ли будет определить размеры одного из треугольников на рис.36, если станут известны следующие данные: а) углы при основании треугольника; б) высоты треугольника; в) сторона и углы при основании?
На рис.31 равные углы помечены одинаково. Кроме того, NР=NP, МР=МР. Как расположены прямые NP и NP?
Каким отношением связаны треугольники MNP и MNP и их биссектрисы?
Набор заданий, предъявляемых учащимся после изучения 2 и 3 признаков подобия треугольников, составляются аналогично. Однако при переходе от данного признака к следующему вопросы несколько усложняются, а именно: расположение треугольников на рисунках меняется, удаляясь от стандартного, варьируется набор элемента, определяющего единственную фигуру. Задания, например, могут быть такими:
1.Подобны ли треугольники АВС и АВС, если: а) АВ=5см, ВС=7см,
В=30, АВ=10см, ВС=14см, В=60; б) АВ=5см, ВС=7см, В=30, АВ=10см, ВС=14см, В=30; в) АВ=3см, ВС=5см, СА=7см, АВ=4,5см, ВС=7,5см, СА=10,5см; г) АВ=1,7см, ВС=3см, СА=4,2см, АВ=34дм, ВС=60дм, СА=84дм?
2. В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВD (рис. 35). Докажите, что АВС подобен ЕDC.
. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
Дидактическая цель ознакомительного этапа в том, чтобы разъяснить учащимся структуру процесса построения методом подобия.
Объяснение начинается с задачи.
Задача 1. Построить треугольник по двум данным углам и и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.
Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает задания - вопросы, ответы на которые кратко фиксируются на доске. Вопросы могут быть такими:
1.Какие данные определяют форму искомого треугольника?
2.Какие данные определяют размеры искомого треугольника?
.Сколько треугольников можно построить построение двум углам? Какими будут построение форме все построенные треугольники?
.Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?
.Как построить искомый треугольник?
Ответы на вопросы сопровождаются выполнением на доске чертежа от руки (рис. 38).
Далее составляется план построения и выполняется само построение. Запись построения у учащихся в тетрадях может быть такой:
а) D АВС: А=, В=;
б) построить биссектрису угла С в треугольнике АВС,
в) построить СN=d, NCD;
г) через точку N провести прямую , АВ;
д) АC=А, ВС=В;
е) DАВС - искомый: А=, В=(так как DАВСD АВС по 1 признаку) и СN=d по построению.
Дидактическая цель этапа, формирующего умение решать задачи рассматриваемого вида, ясна уже из его названия. Основная форма деятельности на этом этапе - индивидуально-поисковая. Она завершается обобщающей беседой.
Приведем несколько примеров задач, которые можно предложить на данном этапе.
Задача. Внутри угла АОВ задана точка F. Построить на стороне ОА точку М, одинаково удаленную от F и от стороны ОВ
Решение. 1. Анализ. Обратимся к рисунку 39. Пусть точка М построена, тогда MF=MP. Это означает, что искомая точка М - есть центр окружности g радиуса МF с центром М, касающуюся стороны ОВ в точке Р.
Если мы возьмем на ОА произвольную точку М и опустим ^МР на СВ и найдем F пересечения окружности g с центром М радиуса МР с прямой ОF, то DМFP будет подобен DМFР. Отсюда вытекает требуемое построение.
. Построение. Проводим ОF, берем на СА произвольную точку М и опускаем ^МР на СВ. Проводим окружность g радиуса МР с центром в точке М. Пусть F - точка пересечения этой окружности с ОF. Проводим FM и затем проводим прямую через точку FFM. Точка М пересечения этой прямой с ОА - искомая.
. Доказательство. Очевидно из проведенного анализа.
. Исследование. Задача имеет 2 решения. Это следует из того, что окружность пересекается с ОF в 2-х точках.
Задача. Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Решение. 1. Анализ. Пусть и y - данные углы и Р - периметр искомого треугольника (рис.40). Допустим, что искомый треугольник построен,
тогда, если мы рассмотрим какой-либо DАВС, подобный искомому, отношение периметра Р DАВС к периметру Р DАВС равно отношению сторон
АС и АС.
. Построение. Построим DАВС подобный искомому. На луче АВ, отложим отрезки АD=Р и АD=Р, затем соединим точку D и С, и через точку D проведем прямую DC.
Пусть С - точка пересечения прямой с лучом АС. Через точку С проведем прямую СВ и обозначим В точку пересечения этой прямой с AD, тогда DАВС - искомый.
3. Доказательство. Очевидно, что DAСD подобен DАСD, поэтому . По соотношению сторон равно отношению периметров подобных DАВС и DАВС, поэтому периметр DАВС=Р, следовательно, DАВС - искомый.
. Исследование. Так как сумма любых двух углов треугольника <180, то условие +y<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый DАВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффиц?/p>