Совершенствование методики обучения решению геометрических задач на построение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?овимся на некоторых из них.
1.Гомотетия есть взаимно однозначное отображение.
Действительно, если задана точка М, то при заданных центре О и коэффициенте k однозначно определяется вектор =k, а следовательно, и точка М'. Обратно: если задана точка М', центр О и коэффициент k, то однозначно определяется вектор , а значит, и вектор =, т.е. и точка М.
. Точка и ее образ в данной гомотетии лежат на одной прямой с центром гомотетии.
Это следует из коллинеарности векторов и . При этом, если k>0, векторы и сонаправлены, т.е. точка М и точка М' - ее образ - располагаются по одну сторону от центра гомотетии; в этом случае гомотетию называют прямой. Если же k<0, то точки М и М' располагаются по разные стороны от центра гомотетии; в этом случае гомотетию называют обратной.
. Гомотетия сохраняет коллинеарность точек.
Действительно, пусть точки А, В, С, лежат на одной прямой, точки А', В', С' - образы точек А, В, С в некоторой гомотетии Н.
Так как, по определению,
то
Пусть (векторы и коллинеарны), тогда из полученных выше равенств следует
т. е. векторы также коллинеарны. Это означает, что точки А', В' и С' лежат на одной прямой.
. Если гомотетия Н преобразует точки А, В соответственно в точки А', B', то
А'B'=kAB.
Это следует из того, что (как было показано при доказательстве свойства 3),
.
. Если гомотетия Н преобразует точки А, В соответственно в точки А', B', то
АВ || A'B'.
Это также непосредственно вытекает из соотношения .
. Множество гомотетий с данным центром О образуют группу.
Действительно:
) Композиция гомотетии Н и гомотетии Н есть гомотетия Н, потому что из следует, что .
) В множестве гомотетий с данным центром О имеется тождественное преобразование.
Действительно, при гомотетии Н получим: и, следовательно, образ М' совпадает с прообразом М, т. е. Н - тождественное преобразование.
) Преобразование, обратное гомотетии Н, есть гомотетия Н, потому что из соотношения следует соотношение .
Методические рекомендации по изучению данной темы
Простейшие задачи на построение
Набор простейших задач на построение в различных пособиях для школы примерно одинаков, хотя порядок рассмотрения этих задач может быть различным.
К простейшим обычно относятся следующие задачи на построение:
1)Построение угла, равного данному;
2)Построение биссектрисы угла;
)Деление отрезка пополам;
)Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой.
Эти задачи изучаются в 7 классе - глава II Треугольники. На изучение данной темы отводится 3 часа. В результате изучения ученики должны научиться решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки, уметь доказывать правильность выполняемых операций.
На первом уроке предлагается рассмотреть задачи: построение угла равного данному и построение биссектрисы угла. Второй урок посвящен решению задач: деление отрезка пополам и построение перпендикулярных прямых. Третий урок - решение задач, отрабатывающих умения и навыки построения циркулем и линейкой.
Первоначально учителю необходимо выявить систему условий, на которую должен опираться ученик для успешного овладения практическим действием.
Для того чтобы научиться производить построения с помощью циркуля и линейки, ученикам необходимо иметь знания о следующих фактах: о данных геометрических фигурах - полупрямой, полуплоскости и угле, отрезке, биссектрисе, перпендикуляре (определения, представления об их изображении и обозначении); о цели действия; об инструментах построения; о каждой из конструктивных операций и о последовательности их выполнения. Учащиеся должны быть также подготовлены к обоснованиям возможности каждого шага построения и доказательству правильности построения (аксиомы откладывания отрезков и углов, определение равных треугольников, признаки равенства треугольников). Нельзя обойтись и без навыков в выполнении элементарных конструктивных операций: построение окружности произвольного или указанного радиуса с центром в некоторой точке, построение полупрямой, имеющей данное начало и проходящей через данную точку.
Рассмотрим несколько уроков изучения нового материала темы Задачи на построение.
Урок№1
Тема: Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла
Цели: 1. Познакомить учащихся с задачами на построение, при решении которых, используются только циркуль и линейка.
. Научить выполнять построение угла, равного данному, строить биссектрису угла.
. Развитие пространственного мышления, внимания.
. Воспитание трудолюбия и аккуратности.
Оборудование: таблицы с порядком решения задач на построение.
Ход урока:
Актуализация основных теоретических понятий: окружность, заданного радиуса с данным центром; признаки равенства треугольников; через две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.
Для повторения признаков равенства треугольников можно предложить задание: укажите на каком из рисунков (рис. 18) есть равные треугольники.
Повторение понятия окружности и ее элементов можно организовать, предложив классу следующее задание, с выполнением его одним учеником на доске: дана прямая а и точка А, лежащая на прямой и точка В, не лежащая на прямой. Провести окружность с центром в точке А, проходящую через точку В. Отметьте точки пересечения окружности с прямой а. Назо