Совершенствование методики обучения решению геометрических задач на построение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
sp;
Рассматривая такие точки, выделяют фигуры, которые состоят из всех точек плоскости, обладающим некоторым свойством.
Сначала объясняется слово состоит. Фигура состоит из точек, обладающих определенным свойством, это значит, что каждая точка фигуры обладает этим свойством или иначе, если точка принадлежит фигуре, то она обладает данным свойством. Затем объясняются слова: состоит из всех точек плоскости. Фигура может состоять из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством, но не включать все точки плоскости с данным свойством. Когда же говорят, что фигура состоит из всех точек плоскости с данным свойством, то это означает не только, что каждая точка фигуры обладает этим свойством, но и что каждая точка плоскости, обладающая данным свойством, принадлежит данной фигуре, или иначе, если точка плоскости обладает данным свойством, то она принадлежит данной фигуре.
Делая вывод, что слова фигура состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством означают:
. Если точка принадлежит фигуре, то она обладает данным свойством.
. Если точка обладает данным свойством, то она принадлежит фигуре.
Эти два условия - взаимно обратные утверждения. Разъясним сказанное на примере. Рассмотрим три фигуры: окружность, часть окружности и фигуру, состоящую из окружности и точек заштрихованной части плоскости (табл. 5). (Рисунок помещен в таблице, на которой знаки +, -, ГМТ пока не проставлены. Это будет сделано в процессе дальнейшей беседы с классом.)
Учитель обращает внимание учащихся на то, что будут рассматриваться точки плоскости со свойством: точки удалены от данной точки О на расстояние, равное R. Классу предлагается выяснить, для каких из данных трех фигур выполняются два указанных выше условия, т.е. какая из трех фигур состоит из всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние, равное R.
Заполняется таблица (ставятся знаки +, -). Необходимо объяснить, почему для второй фигуры не выполняется второе условие (фигуре принадлежат не все точки с указанным свойством); почему для третьей фигуры не выполняется первое условие (фигуре принадлежат и точки, не обладающие указанным свойством).
Заполнив таблицу учащиеся должны сделать вывод какая из фигур удовлетворяет двум поставленным условиям и дать определение геометрического места точек.
Задание. Приведите примеры точек, так же удовлетворяющих поставленным условиям ГМТ (серединный перпендикуляр, биссектриса угла).
ФигурыУсловияНазвание Фигурыесли точка принадлежит фигуре, то обладает данным свойствомЕсли точка обладает данным свойством, то принадлежит фигуре + + ГМТ + _ _ +
Закрепление
. Верно ли утверждение, что отрезок АВ, параллельный данной прямой а и удаленный от нее на 5 см, является геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой на 5 см? [Нет, так как хотя отрезок АВ и состоит из точек с данным свойством, но не все точки плоскости с данным свойством ему принадлежат, или не выполняется условие: ели точка обладает данным свойством, то она принадлежит отрезку АВ.]
Условие задачи можно варьировать: взять два отрезка, отрезок и прямую и, наконец, две прямые (рис. 24).
2. Можно ли прямую АВ, где А и В - различные точки прямой, считать геометрическим местом точек, лежащих между точками А и В? [Нет, так как про прямую АВ нельзя сказать, что она состоит из точек, лежащих между точками А и В, т.е. не выполняется условие: ели точка принадлежит прямой АВ, то она лежит между точками А и В.]
Затем в условиях данной задачи заменяется прямая лучом АВ, а луч отрезком АВ.
. Можно ли отрезок АВ, параллельный двум параллельным прямым а и b и одинаково отстоящий от них, считать геометрическим местом точек, одинаково удаленных от двух параллельных прямых? [Нет, так как не выполняется условие: если точка одинаково удалена от двух данных параллельных прямых, то она принадлежит отрезку АВ.]
. Найдите геометрическое место точек, одинаково удаленных от двух параллельных прямых а и b.
Решение. Проведем общий перпендикуляр DM прямых а и b и найдем его середину N (рис. 25). Через точку N проведем прямую m, параллельную прямой а (она будет параллельна и прямой b). Докажем, что прямая m есть искомое геометрическое место точек.
Доказательство. 1) Докажем, что если точка К принадлежит прямой m, то она удалена от прямых а и b на расстояние, равное р, где р-длина отрезка DN или MN. Так как параллельные прямые равноотстоящие, то точка К удалена как от прямой а, так и от прямой b на расстояние, равное р.
2) Докажем, что точка S, одинаково удаленная от прямых а и b, принадлежит прямой m. Так как расстояние между прямыми а и b равно 2р, то точка S середина отрезка СЕ, перпендикулярного к прямым а и b и равного 2р. Пусть Sm, а СЕ пересекает m в точке R. Тогда RC=RE=p по доказанному в первой части, т.е. отрезок СЕ имеет две середины R и S, что невозможно, значит, Sm.
Метод геометрических мест
Учитель разъясняет сущность метода геометрических мест так, например, как это сделано в главе 1 (геометрическое место точек и метод геометрических мест). Свой рассказ учитель может немного конкретизировать, а именно: сказать, что точкой Х может быть центр окружности, вершина треугольника и т.д.; точка Х может быть найдена и как точка пересечения построенного геометрического места точек и данной в условии задачи фигуры (прямой, угла и т. д.).
При решении задачи, особое внимание обращается на проведе?/p>